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人教版九年级数学上册同步练习 第26课 切线长定理（原卷版+解析）
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这是一份人教版九年级数学上册同步练习 第26课 切线长定理（原卷版+解析），共32页。
第26课 切线长定理目标导航知识精讲知识点01 切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理： 经过半径的 并且 的直线是圆的切线. 要点诠释：切线的判定方法：(1)定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；(2)定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆 ，二是直线与过交点的半径 ，缺一不可). 2．切线的性质定理： 圆的切线 . 要点诠释：切线的性质：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 知识点02 切线长定理1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线， 的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分 . 要点诠释： 切线长定理包含两个结论： 相等和 相等. 3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的 相等.知识点02 三角形的内切圆1．三角形的内切圆： 与三角形各边 的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都 内切圆，但任意一个圆都有 个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别：能力拓展考法01 切线长定理【典例1】如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．求证：直线是⊙O的切线. 【即学即练1】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【典例2】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线． 【即学即练2】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．考法02 三角形的内切圆【典例3】已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．(Ⅰ)如图1，求∠AOD的度数；(Ⅱ)如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；(Ⅲ)如图2，若F是AD的中点，在(Ⅱ)中条件下，求FO的长．考法03 与相切有关的计算与证明【典例4】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．分层提分题组A 基础过关练1．下列说法中，不正确的是 ( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为( )A．(a＋b＋c)r B．2(a＋b＋c) C．(a＋b＋c)r D．(a＋b＋c)r3．如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于( )A．150° B．130° C．155° D．135°4．如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为( )A．70° B．90° C．60° D．45°5．如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为OPAA．1 B.C.2 D.46．如图:⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F是切点，若∠DEF=50º，则∠A等于( ) A．40º B．50º C．80º D．100º7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．题组B 能力提升练1．如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为、，线段ED的长为，则的值为___2．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点.求证：直线EF是半圆O的切线.3．在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：(1)DE是⊙O的切线；(2)AB＝AC．4．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=8cm，求：△PEF的周长．5．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．(1)如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；(2)利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；(3)用文字叙述上面证明的结论： ；(4)若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长．题组C 培优拔尖练1．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：已知，则点为的准外心(如图)．如图，为正三角形的高，准外心在高上，且，求的度数．如图，若为直角三角形，，，，准外心在边上，试探究的长． 2．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．(1)求证：AB=AC；(2)求证：DE为⊙O的切线．3．阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P(1，2)，Q(3，4)，则|PQ|==2．对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．(1)到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是 ；(2)若动点C(x，y)满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；问题拓展：(3)若(2)中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②为定值．4．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC＝BD，连接AD，BC．(1)求证：△ADB≌△BCA；(2)若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的长；(3)在(2)的条件下，延长AB至点P，使BP＝2，连接PC．求证：PC是⊙O的切线． 课程标准1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 内心(三角形内切圆的圆心) 第26课 切线长定理目标导航知识精讲知识点01 切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释：切线的判定方法：(1)定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；(2)定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可). 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释：切线的性质：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 知识点02 切线长定理1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.知识点02 三角形的内切圆1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别：能力拓展考法01 切线长定理【典例1】如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．求证：直线是⊙O的切线. 【答案与解析】 如图，连结OD、，则．∴． ∵ ，∴． ∴是的中点．∵是的中点，∴．∵于F．∴．∴是⊙O的切线． 【总结升华】连半径，证垂直.【即学即练1】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E， ∵ AB∥DC，∠B=90°， ∴ OE∥AB∥DC， ∵ OA=OD， ∴ EB=EC， ∴ BC是⊙O的切线． 【典例2】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线． 【答案与解析】 连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2． ∵ AD∥OC， ∴∠1=∠3，∠2=∠4． 因此 ∠3=∠4． 又∵ OB=OD，OC=OC，∴ △OBC≌△ODC． ∴∠OBC=∠ODC． ∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°， ∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．【即学即练2】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】 (1)设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2. (2)过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，∵OG⊥BC，∴BG=CG=，∴OG=，∵∠A=30°∴OA=， ∴x=AD=－2考法02 三角形的内切圆【典例3】已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．(Ⅰ)如图1，求∠AOD的度数；(Ⅱ)如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；(Ⅲ)如图2，若F是AD的中点，在(Ⅱ)中条件下，求FO的长．【答案与解析】解：(Ⅰ)∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；(Ⅱ)在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10(cm)，∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==(cm)；(Ⅲ)∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5(cm)．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．考法03 与相切有关的计算与证明【典例4】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：(1)如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；(2)如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．分层提分题组A 基础过关练1．下列说法中，不正确的是 ( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等【答案】C【分析】根据三角形的内心的性质得出A、B、D正确；根据切线的判定定理得出C不正确；即可得出结果．【详解】由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，故可知A正确； 由三角形内心的概念，可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，故可知B正确；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故可知C不正确；由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，可知三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故可知D正确． 故选C．【点睛】本题考查了三角形的内心与性质、切线的判定定理；熟练掌握三角形的内心性质与切线的判定定理是解决问题的关键．2．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为( )A．(a＋b＋c)r B．2(a＋b＋c) C．(a＋b＋c)r D．(a＋b＋c)r【答案】A【分析】首先根据题意画出图，观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算．【详解】如图，可得S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=ABr+BCr+ACr=(AB+BC+AC)r =(a+b+c)r ，故选A.【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心．解决本题的关键是将求△ABC转化为求S△AOB、S△BOC、S△AOC．3．如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于( )A．150° B．130° C．155° D．135°【答案】B【详解】试题分析：根据切线的性质可得：∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形的内角和定理可得：∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP=360°，则∠AOB=360°－90°－90°－50°=130°．考点：切线的性质、四边形的内角和4．如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为( )A．70° B．90° C．60° D．45°【答案】B【分析】由于AD、DC、CB都是⊙O的切线，根据切线长定理知：∠ADO=∠CDO，∠DCO=∠BCO；而AD∥BC，则2∠ODC和2∠OCD互补，由此可求得∠DOC的度数．【详解】∵DA、CD、CB都与⊙O相切， ∴∠ADO=∠ODC，∠OCD=∠OCB； ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD=180°； ∴∠ODC+∠OCD=90°，即∠DOC=90°； 故选B．【点睛】此题主要考查的是切线长定理及平行线的性质，准确的确定角的关系是解题关键．5．如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为OPAA．1 B.C.2 D.4【答案】C【解析】解：连接AO，则∠OAP=90°，又因为∠APO=30°，所以AO=1/2PO， 设AO=x，则PO=2X，根据勾股定理，(2X)² -X² =(2)² 解得x=2，即半径为2，故选C。6．如图:⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F是切点，若∠DEF=50º，则∠A等于( ) A．40º B．50º C．80º D．100º【答案】C【详解】连接OD、OF；∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OF⊥AC；又∵⊙O中，∠DOF=2∠DEF=100°，四边形DOFA中，∠ODA=∠OFA=90°，∴∠A=180°-∠DOF=80°，故选C．7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．【答案】52【分析】利用圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，即可得．【详解】根据圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，∴AB+BC+CD+AD=52故填：52【点睛】此题主要考查了圆外切四边形的性质，对边和相等．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．【答案】115°【解析】试题分析：由三角形内切定义可知OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以可得到关系式∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)，把对应数值代入即可求得∠BOC的值．解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣50°)=65°，∴∠BOC=180°﹣65°=115°．考点：三角形的内切圆与内心．题组B 能力提升练1．如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为、，线段ED的长为，则的值为___【答案】8π【解析】过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，根据垂径定理及勾股定理可得的值，再根据两个半圆相切的性质即可求得结果．2．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点.求证：直线EF是半圆O的切线.【答案】证明见解析.【分析】连接OF，CF，由直径所对的圆周角是直角可得∠AFC=∠BFC=90°，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EF=EC，进而得到∠EFC=∠ECF，然后利用等量代换求证∠EFO=90°，得出OF⊥EF即可得证.【详解】证明：如图，连接OF，CF，∵AC是直径，∴∠AFC=90°，∴∠BFC=90°，又∵E是BC的中点，∴EF=EC， ∴∠EFC=∠ECF，∵OC=OF，∴∠OFC=∠FCO， ∵∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°，∴∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°，∴OF⊥EF，∴EF是⊙O的切线.【点睛】本题考查圆的切线证明，熟练掌握“连半径，证垂直”和“作垂直，证半径”是解决此类问题的关键.3．在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：(1)DE是⊙O的切线；(2)AB＝AC．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)连接OD，根据题意可得OD是△ABC的中位线，即OD∥AC，进而可证DE⊥OD，根据切线的判定即可得证；(2)连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，再根据垂直平分线的性质即可得证.【详解】证明：(1)连接OD，∵O是AB的中点，D是BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC， ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线； (2)连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC， ∵D是BC的中点，∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC．【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，中位线等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.4．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=8cm，求：△PEF的周长．【答案】16cm.【分析】直接利用切线长定理进而求出PA=PB，EA=EQ，FB=FQ，即可得出答案．【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点， ∴PA=PB，EA=EQ，FB=FQ，∵PA=8cm，∴△PEF的周长为：PE+EF+PF=PA+PB=8+8=16(cm)【点睛】考查了切线长定理，根据题意得出PE+EF+PF=PA+PB是解题关键．5．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．(1)如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；(2)利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；(3)用文字叙述上面证明的结论： ；(4)若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长．【答案】(1)=；(2)答案见解析；(3)圆外切四边形的对边之和相等；(4)4；10；12；6【分析】(1)根据圆外切四边形的定义猜想得出结论；(2)根据切线长定理即可得出结论；(3)由(2)可得出答案；(4)根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．【详解】(1)∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，∴猜想AB＋CD＝AD＋BC，故答案为：＝．(2)已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H，求证：AD＋BC＝AB＋CD，证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG＝AH，同理：BG＝BF，CE＝CF，DE＝DH，∴AD＋BC＝AH＋DH＋BF＋CF＝AG＋BG＋CE＋DE＝AB＋CD，即：圆外切四边形的对边和相等．(3)由(2)可知：圆外切四边形的对边和相等．故答案为：圆外切四边形的对边和相等；(4)∵相邻的三条边的比为2：5：6，∴设此三边为2x，5x，6x，根据圆外切四边形的性质得，第四边为2x＋6x−5x＝3x，∵圆外切四边形的周长为32，∴2x＋5x＋6x＋3x＝16x＝32，∴x＝2，∴此四边形的四边的长为2x＝4，5x＝10，6x＝12，3x＝6．即此四边形各边的长为：4，10，12，6．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切四边形的性质，四边形的周长，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键．题组C 培优拔尖练1．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：已知，则点为的准外心(如图)．如图，为正三角形的高，准外心在高上，且，求的度数．如图，若为直角三角形，，，，准外心在边上，试探究的长． 【答案】∠APB=90°；(2)PA=或6．【解析】【分析】(1)利用分类讨论：①若PB=PC，②若PA=PC，③若PA=PB，进而求出即可； (2)利用分类讨论：①若PB=PA，②若PA=PC，③若PC=PB，进而求出即可．【详解】(1)①若PB=PC，连结PB，则∠PCB=∠PBC． ∵CD为等边三角形的高．∴AD=BD，∠PCB=30°， ∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB． 与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC． ②若PA=PC，连结PA，则∠PCA=∠PAC． ∵CD为等边三角形的高．∴AD=BD，∠PCA=30°， ∴∠PAD=∠PAC=30°，∴PD=DA=AB． 与已知PD=AB矛盾，∴PA≠PC． ③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD， ∴∠BPD=45°， 故∠APB=90°； (2)①若PB=PA，设PA=x， ∵∠C=90°，AB=13，BC=5， ∴AC=12，则CP=12-x， ∴x2=(12-x)2+52， ∴解得：x=，即PA=． ②若PA=PC，则PA=6． ③若PC=PB，由图知，在Rt△PBC中，不可能， 故PA=或6．【点睛】考查了勾股定理以及三角形外心的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．2．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．(1)求证：AB=AC；(2)求证：DE为⊙O的切线．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【分析】(1)连接AD，根据中垂线定理不难求得AB=AC；(2)要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．【详解】(1)连接AD；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∵DC=BD，∴AD是BC的中垂线．∴AB=AC．(2)连接OD；∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED．又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．考点：切线的判定3．阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P(1，2)，Q(3，4)，则|PQ|==2．对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．(1)到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是 ；(2)若动点C(x，y)满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；问题拓展：(3)若(2)中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②为定值．【答案】(1)x2+(y﹣)2=1；(2)动点C轨迹的函数表达式y=x2；(3)①证明见解析；②证明见解析.【详解】【分析】(1)利用两点间的距离公式即可得出结论；(2)利用两点间的距离公式即可得出结论；(3)①先确定出m+n=2k，mn=﹣1，再确定出M(m，﹣)，N(n，﹣)，进而判断出△AMN是直角三角形，再求出直线AQ的解析式为y=﹣x+，即可得出结论；②先确定出a=mk+，b=nk+，再求出AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，即可得出结论．【详解】(1)设到点A的距离等于线段AB长度的点D坐标为(x，y)，∴AD2=x2+(y﹣)2，∵直线y=kx+交y轴于点A，∴A(0，)，∵点A关于x轴的对称点为点B，∴B(0，﹣)，∴AB=1，∵点D到点A的距离等于线段AB长度，∴x2+(y﹣)2=1，故答案为x2+(y﹣)2=1；(2)∵过点B作直线l平行于x轴，∴直线l的解析式为y=﹣，∵C(x，y)，A(0，)，∴AC2=x2+(y﹣)2，点C到直线l的距离为：(y+)，∵动点C(x，y)满足到直线l的距离等于线段CA的长度，∴x2+(y﹣)2=(y+)2，∴动点C轨迹的函数表达式y=x2；(3)①如图，设点E(m，a)点F(n，b)，∵动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，∴，∴x2﹣2kx﹣1=0，∴m+n=2k，mn=﹣1，∵过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，∴M(m，﹣)，N(n，﹣)，∵A(0，)，∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=(m+n)2﹣2mn+2=4k2+4，MN2=(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn=4k2+4，∴AM2+AN2=MN2，∴△AMN是直角三角形，MN为斜边，取MN的中点Q，∴点Q是△AMN的外接圆的圆心，∴Q(k，﹣)，∵A(0，)，∴直线AQ的解析式为y=﹣x+，∵直线EF的解析式为y=kx+，∴AQ⊥EF，∴EF是△AMN外接圆的切线；②∵点E(m，a)点F(n，b)在直线y=kx+上，∴a=mk+，b=nk+，∵ME，NF，EF是△AMN的外接圆的切线，∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，∴==2，即：为定值，定值为2．【点睛】本题是代数几何综合题，综合性较强，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，直角三角形的判定和性质，根与系数的关系，圆的切线的判定和性质，利用根与系数的确定出m+n=2k，mn=﹣1是解本题是关键．4．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC＝BD，连接AD，BC．(1)求证：△ADB≌△BCA；(2)若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的长；(3)在(2)的条件下，延长AB至点P，使BP＝2，连接PC．求证：PC是⊙O的切线．【答案】(1)详见解析；(2)；(3)详见解析.【分析】(1)可证∠ACB=∠ADB=90°，则由HL定理可证明结论； (2)可证AD=BC=DC，则∠AOD=∠ABC=60°，由直角三角形的性质可求出AC的长； (3)可得出BC=BP=2，∠BCP=30°，连接OC，可证出∠OCP=90°，则结论得证．【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AB，∴△ADB≌△BCA(HL)；(2)解：如图，连接DC，∵OD⊥AC，∴，∴AD＝DC，∵△ADB≌△BCA，∴AD＝BC，∴AD＝DC＝BC，∴∠AOD＝∠ABC＝60°，∵AB＝4，∴；(3)证明：如图，连接OC，由(1)和(2)可知BC= ∵BP＝2∴BC＝BP＝2∴∠BCP＝∠P，∵∠ABC＝60°，∴∠BCP＝30°，∵OC＝OB，∠ABC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝60°+30°＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键． 课程标准1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.
第26课 切线长定理目标导航知识精讲知识点01 切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理： 经过半径的 并且 的直线是圆的切线. 要点诠释：切线的判定方法：(1)定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；(2)定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆 ，二是直线与过交点的半径 ，缺一不可). 2．切线的性质定理： 圆的切线 . 要点诠释：切线的性质：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 知识点02 切线长定理1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线， 的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分 . 要点诠释： 切线长定理包含两个结论： 相等和 相等. 3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的 相等.知识点02 三角形的内切圆1．三角形的内切圆： 与三角形各边 的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都 内切圆，但任意一个圆都有 个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别：能力拓展考法01 切线长定理【典例1】如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．求证：直线是⊙O的切线. 【即学即练1】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【典例2】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线． 【即学即练2】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．考法02 三角形的内切圆【典例3】已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．(Ⅰ)如图1，求∠AOD的度数；(Ⅱ)如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；(Ⅲ)如图2，若F是AD的中点，在(Ⅱ)中条件下，求FO的长．考法03 与相切有关的计算与证明【典例4】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．分层提分题组A 基础过关练1．下列说法中，不正确的是 ( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为( )A．(a＋b＋c)r B．2(a＋b＋c) C．(a＋b＋c)r D．(a＋b＋c)r3．如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于( )A．150° B．130° C．155° D．135°4．如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为( )A．70° B．90° C．60° D．45°5．如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为OPAA．1 B.C.2 D.46．如图:⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F是切点，若∠DEF=50º，则∠A等于( ) A．40º B．50º C．80º D．100º7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．题组B 能力提升练1．如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为、，线段ED的长为，则的值为___2．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点.求证：直线EF是半圆O的切线.3．在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：(1)DE是⊙O的切线；(2)AB＝AC．4．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=8cm，求：△PEF的周长．5．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．(1)如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；(2)利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；(3)用文字叙述上面证明的结论： ；(4)若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长．题组C 培优拔尖练1．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：已知，则点为的准外心(如图)．如图，为正三角形的高，准外心在高上，且，求的度数．如图，若为直角三角形，，，，准外心在边上，试探究的长． 2．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．(1)求证：AB=AC；(2)求证：DE为⊙O的切线．3．阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P(1，2)，Q(3，4)，则|PQ|==2．对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．(1)到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是 ；(2)若动点C(x，y)满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；问题拓展：(3)若(2)中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②为定值．4．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC＝BD，连接AD，BC．(1)求证：△ADB≌△BCA；(2)若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的长；(3)在(2)的条件下，延长AB至点P，使BP＝2，连接PC．求证：PC是⊙O的切线． 课程标准1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 内心(三角形内切圆的圆心) 第26课 切线长定理目标导航知识精讲知识点01 切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释：切线的判定方法：(1)定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；(2)定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可). 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释：切线的性质：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 知识点02 切线长定理1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.知识点02 三角形的内切圆1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别：能力拓展考法01 切线长定理【典例1】如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．求证：直线是⊙O的切线. 【答案与解析】 如图，连结OD、，则．∴． ∵ ，∴． ∴是的中点．∵是的中点，∴．∵于F．∴．∴是⊙O的切线． 【总结升华】连半径，证垂直.【即学即练1】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E， ∵ AB∥DC，∠B=90°， ∴ OE∥AB∥DC， ∵ OA=OD， ∴ EB=EC， ∴ BC是⊙O的切线． 【典例2】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线． 【答案与解析】 连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2． ∵ AD∥OC， ∴∠1=∠3，∠2=∠4． 因此 ∠3=∠4． 又∵ OB=OD，OC=OC，∴ △OBC≌△ODC． ∴∠OBC=∠ODC． ∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°， ∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．【即学即练2】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】 (1)设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2. (2)过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，∵OG⊥BC，∴BG=CG=，∴OG=，∵∠A=30°∴OA=， ∴x=AD=－2考法02 三角形的内切圆【典例3】已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．(Ⅰ)如图1，求∠AOD的度数；(Ⅱ)如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；(Ⅲ)如图2，若F是AD的中点，在(Ⅱ)中条件下，求FO的长．【答案与解析】解：(Ⅰ)∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；(Ⅱ)在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10(cm)，∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==(cm)；(Ⅲ)∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5(cm)．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．考法03 与相切有关的计算与证明【典例4】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：(1)如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；(2)如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．分层提分题组A 基础过关练1．下列说法中，不正确的是 ( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等【答案】C【分析】根据三角形的内心的性质得出A、B、D正确；根据切线的判定定理得出C不正确；即可得出结果．【详解】由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，故可知A正确； 由三角形内心的概念，可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，故可知B正确；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故可知C不正确；由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，可知三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故可知D正确． 故选C．【点睛】本题考查了三角形的内心与性质、切线的判定定理；熟练掌握三角形的内心性质与切线的判定定理是解决问题的关键．2．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为( )A．(a＋b＋c)r B．2(a＋b＋c) C．(a＋b＋c)r D．(a＋b＋c)r【答案】A【分析】首先根据题意画出图，观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算．【详解】如图，可得S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=ABr+BCr+ACr=(AB+BC+AC)r =(a+b+c)r ，故选A.【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心．解决本题的关键是将求△ABC转化为求S△AOB、S△BOC、S△AOC．3．如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于( )A．150° B．130° C．155° D．135°【答案】B【详解】试题分析：根据切线的性质可得：∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形的内角和定理可得：∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP=360°，则∠AOB=360°－90°－90°－50°=130°．考点：切线的性质、四边形的内角和4．如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为( )A．70° B．90° C．60° D．45°【答案】B【分析】由于AD、DC、CB都是⊙O的切线，根据切线长定理知：∠ADO=∠CDO，∠DCO=∠BCO；而AD∥BC，则2∠ODC和2∠OCD互补，由此可求得∠DOC的度数．【详解】∵DA、CD、CB都与⊙O相切， ∴∠ADO=∠ODC，∠OCD=∠OCB； ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD=180°； ∴∠ODC+∠OCD=90°，即∠DOC=90°； 故选B．【点睛】此题主要考查的是切线长定理及平行线的性质，准确的确定角的关系是解题关键．5．如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为OPAA．1 B.C.2 D.4【答案】C【解析】解：连接AO，则∠OAP=90°，又因为∠APO=30°，所以AO=1/2PO， 设AO=x，则PO=2X，根据勾股定理，(2X)² -X² =(2)² 解得x=2，即半径为2，故选C。6．如图:⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F是切点，若∠DEF=50º，则∠A等于( ) A．40º B．50º C．80º D．100º【答案】C【详解】连接OD、OF；∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OF⊥AC；又∵⊙O中，∠DOF=2∠DEF=100°，四边形DOFA中，∠ODA=∠OFA=90°，∴∠A=180°-∠DOF=80°，故选C．7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．【答案】52【分析】利用圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，即可得．【详解】根据圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，∴AB+BC+CD+AD=52故填：52【点睛】此题主要考查了圆外切四边形的性质，对边和相等．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．【答案】115°【解析】试题分析：由三角形内切定义可知OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以可得到关系式∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)，把对应数值代入即可求得∠BOC的值．解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣50°)=65°，∴∠BOC=180°﹣65°=115°．考点：三角形的内切圆与内心．题组B 能力提升练1．如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为、，线段ED的长为，则的值为___【答案】8π【解析】过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，根据垂径定理及勾股定理可得的值，再根据两个半圆相切的性质即可求得结果．2．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点.求证：直线EF是半圆O的切线.【答案】证明见解析.【分析】连接OF，CF，由直径所对的圆周角是直角可得∠AFC=∠BFC=90°，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EF=EC，进而得到∠EFC=∠ECF，然后利用等量代换求证∠EFO=90°，得出OF⊥EF即可得证.【详解】证明：如图，连接OF，CF，∵AC是直径，∴∠AFC=90°，∴∠BFC=90°，又∵E是BC的中点，∴EF=EC， ∴∠EFC=∠ECF，∵OC=OF，∴∠OFC=∠FCO， ∵∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°，∴∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°，∴OF⊥EF，∴EF是⊙O的切线.【点睛】本题考查圆的切线证明，熟练掌握“连半径，证垂直”和“作垂直，证半径”是解决此类问题的关键.3．在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：(1)DE是⊙O的切线；(2)AB＝AC．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)连接OD，根据题意可得OD是△ABC的中位线，即OD∥AC，进而可证DE⊥OD，根据切线的判定即可得证；(2)连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，再根据垂直平分线的性质即可得证.【详解】证明：(1)连接OD，∵O是AB的中点，D是BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC， ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线； (2)连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC， ∵D是BC的中点，∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC．【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，中位线等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.4．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=8cm，求：△PEF的周长．【答案】16cm.【分析】直接利用切线长定理进而求出PA=PB，EA=EQ，FB=FQ，即可得出答案．【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点， ∴PA=PB，EA=EQ，FB=FQ，∵PA=8cm，∴△PEF的周长为：PE+EF+PF=PA+PB=8+8=16(cm)【点睛】考查了切线长定理，根据题意得出PE+EF+PF=PA+PB是解题关键．5．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．(1)如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；(2)利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；(3)用文字叙述上面证明的结论： ；(4)若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长．【答案】(1)=；(2)答案见解析；(3)圆外切四边形的对边之和相等；(4)4；10；12；6【分析】(1)根据圆外切四边形的定义猜想得出结论；(2)根据切线长定理即可得出结论；(3)由(2)可得出答案；(4)根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．【详解】(1)∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，∴猜想AB＋CD＝AD＋BC，故答案为：＝．(2)已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H，求证：AD＋BC＝AB＋CD，证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG＝AH，同理：BG＝BF，CE＝CF，DE＝DH，∴AD＋BC＝AH＋DH＋BF＋CF＝AG＋BG＋CE＋DE＝AB＋CD，即：圆外切四边形的对边和相等．(3)由(2)可知：圆外切四边形的对边和相等．故答案为：圆外切四边形的对边和相等；(4)∵相邻的三条边的比为2：5：6，∴设此三边为2x，5x，6x，根据圆外切四边形的性质得，第四边为2x＋6x−5x＝3x，∵圆外切四边形的周长为32，∴2x＋5x＋6x＋3x＝16x＝32，∴x＝2，∴此四边形的四边的长为2x＝4，5x＝10，6x＝12，3x＝6．即此四边形各边的长为：4，10，12，6．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切四边形的性质，四边形的周长，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键．题组C 培优拔尖练1．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：已知，则点为的准外心(如图)．如图，为正三角形的高，准外心在高上，且，求的度数．如图，若为直角三角形，，，，准外心在边上，试探究的长． 【答案】∠APB=90°；(2)PA=或6．【解析】【分析】(1)利用分类讨论：①若PB=PC，②若PA=PC，③若PA=PB，进而求出即可； (2)利用分类讨论：①若PB=PA，②若PA=PC，③若PC=PB，进而求出即可．【详解】(1)①若PB=PC，连结PB，则∠PCB=∠PBC． ∵CD为等边三角形的高．∴AD=BD，∠PCB=30°， ∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB． 与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC． ②若PA=PC，连结PA，则∠PCA=∠PAC． ∵CD为等边三角形的高．∴AD=BD，∠PCA=30°， ∴∠PAD=∠PAC=30°，∴PD=DA=AB． 与已知PD=AB矛盾，∴PA≠PC． ③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD， ∴∠BPD=45°， 故∠APB=90°； (2)①若PB=PA，设PA=x， ∵∠C=90°，AB=13，BC=5， ∴AC=12，则CP=12-x， ∴x2=(12-x)2+52， ∴解得：x=，即PA=． ②若PA=PC，则PA=6． ③若PC=PB，由图知，在Rt△PBC中，不可能， 故PA=或6．【点睛】考查了勾股定理以及三角形外心的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．2．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．(1)求证：AB=AC；(2)求证：DE为⊙O的切线．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【分析】(1)连接AD，根据中垂线定理不难求得AB=AC；(2)要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．【详解】(1)连接AD；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∵DC=BD，∴AD是BC的中垂线．∴AB=AC．(2)连接OD；∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED．又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．考点：切线的判定3．阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P(1，2)，Q(3，4)，则|PQ|==2．对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．(1)到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是 ；(2)若动点C(x，y)满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；问题拓展：(3)若(2)中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②为定值．【答案】(1)x2+(y﹣)2=1；(2)动点C轨迹的函数表达式y=x2；(3)①证明见解析；②证明见解析.【详解】【分析】(1)利用两点间的距离公式即可得出结论；(2)利用两点间的距离公式即可得出结论；(3)①先确定出m+n=2k，mn=﹣1，再确定出M(m，﹣)，N(n，﹣)，进而判断出△AMN是直角三角形，再求出直线AQ的解析式为y=﹣x+，即可得出结论；②先确定出a=mk+，b=nk+，再求出AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，即可得出结论．【详解】(1)设到点A的距离等于线段AB长度的点D坐标为(x，y)，∴AD2=x2+(y﹣)2，∵直线y=kx+交y轴于点A，∴A(0，)，∵点A关于x轴的对称点为点B，∴B(0，﹣)，∴AB=1，∵点D到点A的距离等于线段AB长度，∴x2+(y﹣)2=1，故答案为x2+(y﹣)2=1；(2)∵过点B作直线l平行于x轴，∴直线l的解析式为y=﹣，∵C(x，y)，A(0，)，∴AC2=x2+(y﹣)2，点C到直线l的距离为：(y+)，∵动点C(x，y)满足到直线l的距离等于线段CA的长度，∴x2+(y﹣)2=(y+)2，∴动点C轨迹的函数表达式y=x2；(3)①如图，设点E(m，a)点F(n，b)，∵动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，∴，∴x2﹣2kx﹣1=0，∴m+n=2k，mn=﹣1，∵过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，∴M(m，﹣)，N(n，﹣)，∵A(0，)，∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=(m+n)2﹣2mn+2=4k2+4，MN2=(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn=4k2+4，∴AM2+AN2=MN2，∴△AMN是直角三角形，MN为斜边，取MN的中点Q，∴点Q是△AMN的外接圆的圆心，∴Q(k，﹣)，∵A(0，)，∴直线AQ的解析式为y=﹣x+，∵直线EF的解析式为y=kx+，∴AQ⊥EF，∴EF是△AMN外接圆的切线；②∵点E(m，a)点F(n，b)在直线y=kx+上，∴a=mk+，b=nk+，∵ME，NF，EF是△AMN的外接圆的切线，∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，∴==2，即：为定值，定值为2．【点睛】本题是代数几何综合题，综合性较强，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，直角三角形的判定和性质，根与系数的关系，圆的切线的判定和性质，利用根与系数的确定出m+n=2k，mn=﹣1是解本题是关键．4．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC＝BD，连接AD，BC．(1)求证：△ADB≌△BCA；(2)若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的长；(3)在(2)的条件下，延长AB至点P，使BP＝2，连接PC．求证：PC是⊙O的切线．【答案】(1)详见解析；(2)；(3)详见解析.【分析】(1)可证∠ACB=∠ADB=90°，则由HL定理可证明结论； (2)可证AD=BC=DC，则∠AOD=∠ABC=60°，由直角三角形的性质可求出AC的长； (3)可得出BC=BP=2，∠BCP=30°，连接OC，可证出∠OCP=90°，则结论得证．【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AB，∴△ADB≌△BCA(HL)；(2)解：如图，连接DC，∵OD⊥AC，∴，∴AD＝DC，∵△ADB≌△BCA，∴AD＝BC，∴AD＝DC＝BC，∴∠AOD＝∠ABC＝60°，∵AB＝4，∴；(3)证明：如图，连接OC，由(1)和(2)可知BC= ∵BP＝2∴BC＝BP＝2∴∠BCP＝∠P，∵∠ABC＝60°，∴∠BCP＝30°，∵OC＝OB，∠ABC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝60°+30°＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键． 课程标准1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.
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