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人教版九年级上册24.1.1 圆当堂检测题
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这是一份人教版九年级上册24.1.1 圆当堂检测题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为( )
A．40°B．50°C．60°D．70°
2．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( )
A．(4π+8)cm2B．(4π+16)cm2C．(3π+8)cm2D．(3π+16)cm2
3．如图，⊙O的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
4．如图所示，“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，求直径的长？”依题意的长为( )
A．6寸B．8寸C．10寸D．12寸
5．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是( )
A．0B．1C．2D．3
6．一条弦把圆周分成两部分，则这条弦所对的圆周角为( )
A．B．C．D．或
7．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是( )
A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°
二、填空题
8．如图，的半径为5，为的内接三角形，且，点P在劣弧上运动(不与点C、B重合)，连接并延长，在的延长线上取一点E，使得，则的最大值是________．
9．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，与⊙O相切于B，C两点，点A，D在圆上．若∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是____°．
10．已知⊙O1与⊙O2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O1与⊙O2的圆心距=5．则⊙O1与⊙O2的位置关系是 .
11．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是_________．
12．(2023广西省贺州市第25题)如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若AB=8，BC=6，求DE的长．
13．两圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是____．
14．如图中(1)、(2)、…(m)分别是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．
(1)3条弧的弧长的和为_____；
(2)4条弧的弧长的和为_____；
(3)求图(m)中n条弧的弧长的和 (用n表示)．_____
三、解答题
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
(1)证明：AF平分∠BAC；
(2)证明：BF＝FD；
(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
(1)求证：∠A=∠AEB；
(2)连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
17．如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边，求两圆相交弧间的阴影部分的面积．
18．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)连接OP，交AB于点Q，若OP＝6，⊙O的半径为2，求PB的长．
19．如图，已知的半径为1，是的直径，过点作的切线，是的中点，交于点．
(1)直接写出和的数量关系：__________；
(2)是的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
(3)填空：当__________时，四边形是平行四边形，同时以点、、、为顶点的四边形是__________．
20．如图，四边形是正方形，曲线…是由一段段度的弧组成的．其中：的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；在的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；…，，，，…的圆心依次按点，，，循环．若正方形的边长为，求的长．
第30课 圆单元检测(二)
一、单选题
1．如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为( )
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【分析】
根据切线的性质可得，再根据三角形内角和求出.
【详解】
∵AB是的切线
∴
∵
∴
故选D.
【点睛】
本题考查切线的性质，由切线得到直角是解题的关键.
2．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( )
A．(4π+8)cm2B．(4π+16)cm2C．(3π+8)cm2D．(3π+16)cm2
【答案】A
【分析】
图中阴影部分的面积可分为扇形、矩形、三角形的面积和与差，分别进行计算后即可得出结论．
【详解】
解：∵ 矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，
∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，
S扇形ADF＝(cm2)，S矩形ABCD＝(cm2)，
又AF=AD=4cm，
∴S△BCF＝(cm2)，
∴S阴影＝S扇形ADF＋S矩形ABCD－S△BCF＝(4π+8)cm2．
即商标图案(阴影部分)的面积等于(4π+8)cm2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形面积计算、矩形的性质等知识，掌握扇形面积计算公式及矩形的性质是解题的关键．
3．如图，⊙O的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：仔细分析图形特征可得：当M与A或B重合时，达到最大值；当OM⊥AB时，为最小．
当M与A或B重合时，达到最大值，即圆的半径5
当OM⊥AB时，为最小值
故OM的取值范围是
故选A．
考点：垂径定理，勾股定理
点评：本题容易出现错误的地方是对点M的运动状态不清楚，无法判断什么时候会为最大值，什么时候为最小值．
4．如图所示，“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，求直径的长？”依题意的长为( )
A．6寸B．8寸C．10寸D．12寸
【答案】C
【分析】
连接AO，设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，然后利用垂径定理得出AE，最后根据勾股定理进一步求解即可．
【详解】
如图，连接AO，设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，AB=8寸，
∴AE=BE=AB=4寸，
在Rt△AOE中，根据勾股定理可知：
，
∴，
解得：，
∴，
即CD长为10寸．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
5．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】
试题分析：取OP的中点N，连结MN，OQ，如图，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，在△OMN中，1＜OM＜3，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．
考点：1．点与圆的位置关系；2．三角形中位线定理；3．最值问题；4．轨迹．
6．一条弦把圆周分成两部分，则这条弦所对的圆周角为( )
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】
根据圆周角定理,可证∠AOB=72º,又由圆内接四边形的对角互补知, ∠E=180º-∠F=144º.
【详解】
如图，AB把圆分成1:4两部分,则∠AOB==72º,
由圆周角定理知, ∠F=∠AOB=36º,
由圆内接四边形的对角互补知,∠E=180º-∠F=144º.
故选D.
【点睛】
本题利用了圆内接四边形的性质和圆周角定理, 同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补.
7．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是( )
A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°
【答案】C
【分析】
根据切线的性质得到OB⊥AB，OC⊥AC，求出∠BOC，分点P在优弧BC上、点P在劣弧BC上两种情况，根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】
解：∵AB、AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠OBA＝90°，∠OCA＝90°
∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
如图，
当点P在优弧BPC上时，∠BPC＝∠BOC＝65°，
当点P′在劣弧BC上时，∠BP′C＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理是解题的关键．
二、填空题
8．如图，的半径为5，为的内接三角形，且，点P在劣弧上运动(不与点C、B重合)，连接并延长，在的延长线上取一点E，使得，则的最大值是________．
【答案】40
【详解】
∵，∴，∵，∴，∴，∴，要使的面积最大，则与边上的高最大即可，当为直径时最大，且边上的高最大，最大值为，如图，∵为的直径，的半径为5，∴，∴．
9．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，与⊙O相切于B，C两点，点A，D在圆上．若∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是____°．
【答案】99
【解析】
试题分析：∵EB，EC是⊙O的两条切线，
∴EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC，
∴∠ECB=(180°-∠E)=×(180°-46°)=67°，
∴∠BCD=180°-∠ECB-∠DCF=180°-67°-32°=81°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=180°-81°=99°．
故答案为99．
考点：切线的性质．
10．已知⊙O1与⊙O2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O1与⊙O2的圆心距=5．则⊙O1与⊙O2的位置关系是 .
【答案】相交
【解析】略
11．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是_________．
【答案】①②④．
【详解】
连接AD，AB是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；
∵AD是∠BAC的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；
∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；
∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；
∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．
综上所述，正确的结论是：①②④．
故答案为①②④．
【点睛】
本题考查了1．圆周角定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．弧长的计算．
12．(2023广西省贺州市第25题)如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若AB=8，BC=6，求DE的长．
【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、1.6
【解析】
试题分析：(1)、由AE=AB，可得∠ABE=90°﹣∠BAC，又由∠BAC=2∠CBE，可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°，继而证得结论；(2)、首先连接BD，易证得△ABD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
试题解析：(1)、∵AE=AB， ∴△ABE是等腰三角形，
∴∠ABE=(180°﹣∠BAC=)=90°﹣∠BAC， ∵∠BAC=2∠CBE， ∴∠CBE=∠BAC，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=(90°﹣∠BAC)+∠BAC=90°， 即AB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线；
(2)、连接BD，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠ADB=∠ABC，
∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴=， ∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6， ∴AC==10，
∴， 解得：AD=6.4， ∵AE=AB=8， ∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．
考点：切线的判定
13．两圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是____．
【答案】3或7
【解析】
试题分析：当半径为5的圆是大圆时，此时小圆半径为，当半径为5的圆是小圆时，此时大圆半径为
考点：两圆内切的掌握
点评：题目难度不大，考查学生对于两圆内切时的认识和掌握，两元内切时，圆心距等于大圆半径与小圆半径之差，做此题时，学生要注意，题目中没有说明哪个是大圆哪个是小圆，所以需要分类讨论
14．如图中(1)、(2)、…(m)分别是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．
(1)3条弧的弧长的和为_____；
(2)4条弧的弧长的和为_____；
(3)求图(m)中n条弧的弧长的和 (用n表示)．_____
【答案】π 2π (n﹣2)π
【解析】
【分析】
(1)(2)利用弧长公式和三角形和四边形的内角和公式代入计算；
(3)利用多边形的内角和公式和弧长公式计算．
【详解】
解：(1)∵n1+n2+n3＝180°
∴利用弧长公式可得：
(2)∵因为四边形的内角和为360度；
∴四边形：
(3)n条弧＝
故答案为：π；2π；(n﹣2)π．
【点睛】
本题综合考查了多边形的内角和和弧长公式的应用．关键是掌握多边形的内角和公式和弧长计算公式．
三、解答题
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
(1)证明：AF平分∠BAC；
(2)证明：BF＝FD；
(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【详解】
证明(1)连结OF
∵FH是⊙O的切线
∴OF⊥FH
∵FH∥BC ，
∴OF垂直平分BC
∴
∴∠1=∠2，
∴AF平分∠BAC
(2)证明：∵∠ABC的平分线BD交AF于D，
∴∠4=∠3，
∠1=∠2，
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∵∠5=∠2
∴∠1+∠4=∠5+∠3
∴∠FDB=∠FBD
∴BF=FD
(3)解： 在△BFE和△AFB中
∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠EFB
∴△BFE∽△AFB
∴，
∴
∴
∵BF=DF=EF+DE=7
∴
∴AD==
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
(1)求证：∠A=∠AEB；
(2)连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【解析】
试题分析：(1)根据圆内接四边形的性质可得，根据邻补角互补可得，进而得到，然后利用等边对等角可得，进而可得；
(2)首先证明是等边三角形，进而可得，再根据，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．
试题解析：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵DC=DE，
∴，
∴；
(2)∵，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF=DF，
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED=EC，
∵DC=DE，
∴DC=DE=EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴，
∴△ABE是等边三角形．
考点：(1)圆内接四边形的性质；(2)等边三角形的判定与性质；(3)圆周角定理．
17．如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边，求两圆相交弧间的阴影部分的面积．
【答案】4200π﹣3600﹣3600
【解析】
试题分析：
如图，连接O1O2 ， O1A，O1B，O2A，O2B，则可得O1O2垂直平分AB，由题意可得AC=BC=60，∠AO1B=60°，∠AO2B=90°，由此可得△AO1B是等边三角形，△AO2B是等腰直角三角形，再由S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B -S△AO2B，即可求得所求面积.
试题解析：
如图，连接O1O2 ， O1A，O1B，O2A，O2B；
则O1O2垂直平分AB，
∵AB=120，
∴AC=BC=60；
由题意得：∠AO1B=，∠AO2B=90°，
又∵O1A=O1B，O2A=O2B，
∴△O1AB，△O2AB分别是等边三角形和等腰直角三角形，
∴O1A=AB=120，O2C=AC=60，O2A=O2C=
∴S扇形AO1B=，S扇形AO2B=，
S△AO1B=，S△AO2B=，
∴S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B -S△AO2B
=
=(cm2)．
点睛：本题的解题要点是：S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B -S△AO2B，然后根据已知条件围绕这四个图形的面积进行计算即可.
18．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)连接OP，交AB于点Q，若OP＝6，⊙O的半径为2，求PB的长．
【答案】(1)见解析；(2) ．
【分析】
(1)连接OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C+∠BAC＝90°，再由OA＝OB，得出∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA+∠OBA＝90°，即可得出结论；
(2)由勾股定理即可求PB的长．
【详解】
(1)证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
(2)解：∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，
∵PB⊥OB，
∴∠OBP＝90°，
∵OP＝6，
∴PB＝．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握切线的证明方法是解答本题的关键．
19．如图，已知的半径为1，是的直径，过点作的切线，是的中点，交于点．
(1)直接写出和的数量关系：__________；
(2)是的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
(3)填空：当__________时，四边形是平行四边形，同时以点、、、为顶点的四边形是__________．
【答案】(1)；(2)是，理由见解析；(3)2，正方形
【分析】
(1)如图，连接，由圆周角定理得到，然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到；
(2)如图，连接，利用切线性质得，再利用等腰三角形的性质得，，所以，根据切线的判定定理知是的切线；
(3)要判断四边形是平行四边形，，，当时，为等腰直角三角形，则，又可判断为等腰直角三角形，得到，，四边形是平行四边形，，判断四边形为正方形．
【详解】
解：(1)如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴∠BDC=90°，
∵是的中点，
∴；
故答案为：；
(2)是的切线．
理由如下：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴是的切线；
(3)当时，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形；
∵，，
∴四边形为正方形．
故答案为：2，正方形．
【点睛】
本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线为：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．解决(3)小题的关键是熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法．
20．如图，四边形是正方形，曲线…是由一段段度的弧组成的．其中：的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；在的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；…，，，，…的圆心依次按点，，，循环．若正方形的边长为，求的长．
【答案】4039π
【分析】
曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到ADn-1=AAn=4(n-1)+1，BAn=BBn=4(n-1)+2，再计算弧长．
【详解】
解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，
AD=AA1=1，BA1=BB1=2，
……，
ADn-1=AAn=4(n-1)+1，BAn=BBn=4(n-1)+2，
故的半径为BA2020=BB2020=4(2023-1)+2=8078，
的弧长=×8078π＝4039π．
【点睛】
此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：l＝，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．
1．如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为( )
A．40°B．50°C．60°D．70°
2．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( )
A．(4π+8)cm2B．(4π+16)cm2C．(3π+8)cm2D．(3π+16)cm2
3．如图，⊙O的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
4．如图所示，“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，求直径的长？”依题意的长为( )
A．6寸B．8寸C．10寸D．12寸
5．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是( )
A．0B．1C．2D．3
6．一条弦把圆周分成两部分，则这条弦所对的圆周角为( )
A．B．C．D．或
7．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是( )
A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°
二、填空题
8．如图，的半径为5，为的内接三角形，且，点P在劣弧上运动(不与点C、B重合)，连接并延长，在的延长线上取一点E，使得，则的最大值是________．
9．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，与⊙O相切于B，C两点，点A，D在圆上．若∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是____°．
10．已知⊙O1与⊙O2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O1与⊙O2的圆心距=5．则⊙O1与⊙O2的位置关系是 .
11．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是_________．
12．(2023广西省贺州市第25题)如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若AB=8，BC=6，求DE的长．
13．两圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是____．
14．如图中(1)、(2)、…(m)分别是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．
(1)3条弧的弧长的和为_____；
(2)4条弧的弧长的和为_____；
(3)求图(m)中n条弧的弧长的和 (用n表示)．_____
三、解答题
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
(1)证明：AF平分∠BAC；
(2)证明：BF＝FD；
(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
(1)求证：∠A=∠AEB；
(2)连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
17．如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边，求两圆相交弧间的阴影部分的面积．
18．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)连接OP，交AB于点Q，若OP＝6，⊙O的半径为2，求PB的长．
19．如图，已知的半径为1，是的直径，过点作的切线，是的中点，交于点．
(1)直接写出和的数量关系：__________；
(2)是的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
(3)填空：当__________时，四边形是平行四边形，同时以点、、、为顶点的四边形是__________．
20．如图，四边形是正方形，曲线…是由一段段度的弧组成的．其中：的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；在的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；…，，，，…的圆心依次按点，，，循环．若正方形的边长为，求的长．
第30课 圆单元检测(二)
一、单选题
1．如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为( )
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【分析】
根据切线的性质可得，再根据三角形内角和求出.
【详解】
∵AB是的切线
∴
∵
∴
故选D.
【点睛】
本题考查切线的性质，由切线得到直角是解题的关键.
2．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( )
A．(4π+8)cm2B．(4π+16)cm2C．(3π+8)cm2D．(3π+16)cm2
【答案】A
【分析】
图中阴影部分的面积可分为扇形、矩形、三角形的面积和与差，分别进行计算后即可得出结论．
【详解】
解：∵ 矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，
∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，
S扇形ADF＝(cm2)，S矩形ABCD＝(cm2)，
又AF=AD=4cm，
∴S△BCF＝(cm2)，
∴S阴影＝S扇形ADF＋S矩形ABCD－S△BCF＝(4π+8)cm2．
即商标图案(阴影部分)的面积等于(4π+8)cm2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形面积计算、矩形的性质等知识，掌握扇形面积计算公式及矩形的性质是解题的关键．
3．如图，⊙O的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：仔细分析图形特征可得：当M与A或B重合时，达到最大值；当OM⊥AB时，为最小．
当M与A或B重合时，达到最大值，即圆的半径5
当OM⊥AB时，为最小值
故OM的取值范围是
故选A．
考点：垂径定理，勾股定理
点评：本题容易出现错误的地方是对点M的运动状态不清楚，无法判断什么时候会为最大值，什么时候为最小值．
4．如图所示，“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，求直径的长？”依题意的长为( )
A．6寸B．8寸C．10寸D．12寸
【答案】C
【分析】
连接AO，设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，然后利用垂径定理得出AE，最后根据勾股定理进一步求解即可．
【详解】
如图，连接AO，设直径CD的长为2x寸，则半径OA=OC=x寸，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，AB=8寸，
∴AE=BE=AB=4寸，
在Rt△AOE中，根据勾股定理可知：
，
∴，
解得：，
∴，
即CD长为10寸．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
5．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】
试题分析：取OP的中点N，连结MN，OQ，如图，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，在△OMN中，1＜OM＜3，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．
考点：1．点与圆的位置关系；2．三角形中位线定理；3．最值问题；4．轨迹．
6．一条弦把圆周分成两部分，则这条弦所对的圆周角为( )
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】
根据圆周角定理,可证∠AOB=72º,又由圆内接四边形的对角互补知, ∠E=180º-∠F=144º.
【详解】
如图，AB把圆分成1:4两部分,则∠AOB==72º,
由圆周角定理知, ∠F=∠AOB=36º,
由圆内接四边形的对角互补知,∠E=180º-∠F=144º.
故选D.
【点睛】
本题利用了圆内接四边形的性质和圆周角定理, 同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补.
7．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是( )
A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°
【答案】C
【分析】
根据切线的性质得到OB⊥AB，OC⊥AC，求出∠BOC，分点P在优弧BC上、点P在劣弧BC上两种情况，根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】
解：∵AB、AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠OBA＝90°，∠OCA＝90°
∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
如图，
当点P在优弧BPC上时，∠BPC＝∠BOC＝65°，
当点P′在劣弧BC上时，∠BP′C＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理是解题的关键．
二、填空题
8．如图，的半径为5，为的内接三角形，且，点P在劣弧上运动(不与点C、B重合)，连接并延长，在的延长线上取一点E，使得，则的最大值是________．
【答案】40
【详解】
∵，∴，∵，∴，∴，∴，要使的面积最大，则与边上的高最大即可，当为直径时最大，且边上的高最大，最大值为，如图，∵为的直径，的半径为5，∴，∴．
9．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，与⊙O相切于B，C两点，点A，D在圆上．若∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是____°．
【答案】99
【解析】
试题分析：∵EB，EC是⊙O的两条切线，
∴EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC，
∴∠ECB=(180°-∠E)=×(180°-46°)=67°，
∴∠BCD=180°-∠ECB-∠DCF=180°-67°-32°=81°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=180°-81°=99°．
故答案为99．
考点：切线的性质．
10．已知⊙O1与⊙O2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O1与⊙O2的圆心距=5．则⊙O1与⊙O2的位置关系是 .
【答案】相交
【解析】略
11．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是_________．
【答案】①②④．
【详解】
连接AD，AB是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确；
∵AD是∠BAC的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；
∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确；
∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确；
∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误．
综上所述，正确的结论是：①②④．
故答案为①②④．
【点睛】
本题考查了1．圆周角定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．弧长的计算．
12．(2023广西省贺州市第25题)如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若AB=8，BC=6，求DE的长．
【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、1.6
【解析】
试题分析：(1)、由AE=AB，可得∠ABE=90°﹣∠BAC，又由∠BAC=2∠CBE，可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°，继而证得结论；(2)、首先连接BD，易证得△ABD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
试题解析：(1)、∵AE=AB， ∴△ABE是等腰三角形，
∴∠ABE=(180°﹣∠BAC=)=90°﹣∠BAC， ∵∠BAC=2∠CBE， ∴∠CBE=∠BAC，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=(90°﹣∠BAC)+∠BAC=90°， 即AB⊥BC， ∴BC是⊙O的切线；
(2)、连接BD，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠ADB=∠ABC，
∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB， ∴=， ∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6， ∴AC==10，
∴， 解得：AD=6.4， ∵AE=AB=8， ∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．
考点：切线的判定
13．两圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是____．
【答案】3或7
【解析】
试题分析：当半径为5的圆是大圆时，此时小圆半径为，当半径为5的圆是小圆时，此时大圆半径为
考点：两圆内切的掌握
点评：题目难度不大，考查学生对于两圆内切时的认识和掌握，两元内切时，圆心距等于大圆半径与小圆半径之差，做此题时，学生要注意，题目中没有说明哪个是大圆哪个是小圆，所以需要分类讨论
14．如图中(1)、(2)、…(m)分别是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．
(1)3条弧的弧长的和为_____；
(2)4条弧的弧长的和为_____；
(3)求图(m)中n条弧的弧长的和 (用n表示)．_____
【答案】π 2π (n﹣2)π
【解析】
【分析】
(1)(2)利用弧长公式和三角形和四边形的内角和公式代入计算；
(3)利用多边形的内角和公式和弧长公式计算．
【详解】
解：(1)∵n1+n2+n3＝180°
∴利用弧长公式可得：
(2)∵因为四边形的内角和为360度；
∴四边形：
(3)n条弧＝
故答案为：π；2π；(n﹣2)π．
【点睛】
本题综合考查了多边形的内角和和弧长公式的应用．关键是掌握多边形的内角和公式和弧长计算公式．
三、解答题
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
(1)证明：AF平分∠BAC；
(2)证明：BF＝FD；
(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【详解】
证明(1)连结OF
∵FH是⊙O的切线
∴OF⊥FH
∵FH∥BC ，
∴OF垂直平分BC
∴
∴∠1=∠2，
∴AF平分∠BAC
(2)证明：∵∠ABC的平分线BD交AF于D，
∴∠4=∠3，
∠1=∠2，
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∵∠5=∠2
∴∠1+∠4=∠5+∠3
∴∠FDB=∠FBD
∴BF=FD
(3)解： 在△BFE和△AFB中
∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠EFB
∴△BFE∽△AFB
∴，
∴
∴
∵BF=DF=EF+DE=7
∴
∴AD==
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
(1)求证：∠A=∠AEB；
(2)连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
【解析】
试题分析：(1)根据圆内接四边形的性质可得，根据邻补角互补可得，进而得到，然后利用等边对等角可得，进而可得；
(2)首先证明是等边三角形，进而可得，再根据，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．
试题解析：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵DC=DE，
∴，
∴；
(2)∵，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF=DF，
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED=EC，
∵DC=DE，
∴DC=DE=EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴，
∴△ABE是等边三角形．
考点：(1)圆内接四边形的性质；(2)等边三角形的判定与性质；(3)圆周角定理．
17．如图，相交两圆的公共弦AB长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边，求两圆相交弧间的阴影部分的面积．
【答案】4200π﹣3600﹣3600
【解析】
试题分析：
如图，连接O1O2 ， O1A，O1B，O2A，O2B，则可得O1O2垂直平分AB，由题意可得AC=BC=60，∠AO1B=60°，∠AO2B=90°，由此可得△AO1B是等边三角形，△AO2B是等腰直角三角形，再由S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B -S△AO2B，即可求得所求面积.
试题解析：
如图，连接O1O2 ， O1A，O1B，O2A，O2B；
则O1O2垂直平分AB，
∵AB=120，
∴AC=BC=60；
由题意得：∠AO1B=，∠AO2B=90°，
又∵O1A=O1B，O2A=O2B，
∴△O1AB，△O2AB分别是等边三角形和等腰直角三角形，
∴O1A=AB=120，O2C=AC=60，O2A=O2C=
∴S扇形AO1B=，S扇形AO2B=，
S△AO1B=，S△AO2B=，
∴S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B -S△AO2B
=
=(cm2)．
点睛：本题的解题要点是：S阴影=S扇形AO1B+S扇形AO2B-S△AO1B -S△AO2B，然后根据已知条件围绕这四个图形的面积进行计算即可.
18．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)连接OP，交AB于点Q，若OP＝6，⊙O的半径为2，求PB的长．
【答案】(1)见解析；(2) ．
【分析】
(1)连接OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C+∠BAC＝90°，再由OA＝OB，得出∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA+∠OBA＝90°，即可得出结论；
(2)由勾股定理即可求PB的长．
【详解】
(1)证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
(2)解：∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，
∵PB⊥OB，
∴∠OBP＝90°，
∵OP＝6，
∴PB＝．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握切线的证明方法是解答本题的关键．
19．如图，已知的半径为1，是的直径，过点作的切线，是的中点，交于点．
(1)直接写出和的数量关系：__________；
(2)是的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
(3)填空：当__________时，四边形是平行四边形，同时以点、、、为顶点的四边形是__________．
【答案】(1)；(2)是，理由见解析；(3)2，正方形
【分析】
(1)如图，连接，由圆周角定理得到，然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到；
(2)如图，连接，利用切线性质得，再利用等腰三角形的性质得，，所以，根据切线的判定定理知是的切线；
(3)要判断四边形是平行四边形，，，当时，为等腰直角三角形，则，又可判断为等腰直角三角形，得到，，四边形是平行四边形，，判断四边形为正方形．
【详解】
解：(1)如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴∠BDC=90°，
∵是的中点，
∴；
故答案为：；
(2)是的切线．
理由如下：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴是的切线；
(3)当时，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形；
∵，，
∴四边形为正方形．
故答案为：2，正方形．
【点睛】
本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线为：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．解决(3)小题的关键是熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法．
20．如图，四边形是正方形，曲线…是由一段段度的弧组成的．其中：的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；在的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；…，，，，…的圆心依次按点，，，循环．若正方形的边长为，求的长．
【答案】4039π
【分析】
曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到ADn-1=AAn=4(n-1)+1，BAn=BBn=4(n-1)+2，再计算弧长．
【详解】
解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，
AD=AA1=1，BA1=BB1=2，
……，
ADn-1=AAn=4(n-1)+1，BAn=BBn=4(n-1)+2，
故的半径为BA2020=BB2020=4(2023-1)+2=8078，
的弧长=×8078π＝4039π．
【点睛】
此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：l＝，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．
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