第9章整式的乘法与因式分解单元测试（培优压轴卷，七下苏科）-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】

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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】第9章整式的乘法与因式分解单元测试（培优压轴卷，七下苏科）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2023春·七年级单元测试）下列计算正确的是（    ）A．a2⋅a3=a5 B．a−b2=a2−b2C．2−3=−8 D．x2+x2=x4【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，负指数幂和合并同类项法则分别判断即可．【详解】解：A、a2⋅a3=a5，原计算正确，故此选项符合题意；B、a−b2=a2+b2−2ab，原计算错误，故此选项不符合题意；C、2−3=18，原计算错误，故此选项不符合题意；D、x2+x2=2x2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，负指数幂和合并同类项，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）A．xx−2=x2−2x B．x+12=x2+2x+1C．x2−4=x+2x−2 D．x+2=x1+2x 【答案】C【详解】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解）逐项判断即可得．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；D、等式右边中的2x不是整式，不是因式分解，故此选项不符合题意.故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的意义；严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．3．（2023春·江苏·七年级专题练习）若x2+mx+81是完全平方式，则m的值是（    ）A．±18 B．±9 C．9 D．18【答案】A【分析】根据完全平方式得出mx=±2⋅x⋅9，再求出m即可．【详解】解：∵x2+mx+81是一个完全平方式，∴mx=±2⋅x⋅9，解得：m=±18．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的形式是关键．4．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）已知实数a,b满足b2+12=4b(1−a)，则4a2+b2的最小值为（    ）A．8 B．5 C．4 D．0【答案】A【分析】利用b2+12=4b(1−a)变形得到−4ab=b−22+8，由b−22≥0，进一步得到−4ab≥8，由4a2+b2=2a+b2−4ab进一步即可得到4a2+b2的最小值．【详解】解：∵b2+12=4b(1−a)∴b2−4b+4+8=−4ab，∴−4ab=b−22+8，∵b−22≥0，∴b−22+8≥8，∴−4ab≥8，∵4a2+b2=2a+b2−4ab，2a+b2≥0，∴4a2+b2=2a+b2−4ab≥−4ab≥8，即4a2+b2的最小值为8．故选：A【点睛】此题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式的灵活变形是解题的关键．5．（2023春·七年级单元测试）若A、B、C均为整式，如果A⋅B=C，则称A能整除C．例如由x+3x−2=x2+x−6，可知x−2能整除x2+x−6．若已知x−3能整除x2+kx−12，则k的值为（    ）A．−1 B．1 C．−4 D．4【答案】B【分析】根据x−3能整除x2+kx−12，设x−3x+a=x2+kx−12，运算得到同类项对应系数相等，即可得出答案．【详解】解：∵x−3能整除x2+kx−12，∴设x−3x+a=x2+kx−12，整理得：x2−3−ax−3a=x2+kx−12，∴−3a=−12,−3−a=k，解得：a=4,k=1，故选：B．【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意设出方程是本题的关键．6．（2023春·七年级单元测试）如图，若用两种方法表示图中阴影部分的面积，则可以得到的代数恒等式是（    ）A．(m+a)(m−b)=m2+(a−b)m−ab B．(m−a)(m+b)=m2+(b−a)m−a)C．(m−a)(m−b)=m2−(a−b)m+ab D．(m−a)(m−b)=m2−(a+b)m+ab【答案】D【分析】由阴影面积的不同表示法可求解．【详解】解：阴影部分面积可以表示为(m−a)(m−b)，也可以表示为m2−(a+b)m+ab，∴可得代数恒等式为(m−a)(m−b)=m2−(a+b)m+ab，故选：D．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练运用面积的不同表示法是本题的关键．7．（2023春·七年级单元测试）下列式子中，不能用平方差公式计算的是（     ）A．(−a−b)(a−b) B．(x2−y2)(x2+y2)C．(m−n)(n−m) D．(a2−b2)(b2+a2)【答案】C【分析】根据平方差公式的特点逐项判断即可．【详解】解：A. (−a−b)(a−b)有相同项，也有相反项，能用平方差公式计算，不符合题意；B. (x2−y2)(x2+y2)有相同项，也有相反项，能用平方差公式计算，不符合题意；C. (m−n)(n−m)没有相同项，都是相反项，不能用平方差公式计算，符合题意；D. (a2−b2)(b2+a2)有相同项，也有相反项，能用平方差公式计算，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平方差公式．关键是掌握平方差公式的特征：两个二项因式中有一项相同，有一项互为相反数．8．（2023春·七年级单元测试）已知a=−12022x+2021，b=−12022x+2022，c=−12022x+2023，那么，代数式a2+b2+c2−ab−bc−ac的值是（   ）A．−2022 B．2022 C．−3 D．3【答案】D【分析】先求解a−b=−1，b−c=−1，a−c=−2，再把原式化为12a−b2+b−c2+a−c2，再代入求值即可．【详解】解：∵a=−12022x+2021，b=−12022x+2022，c=−12022x+2023，∴a−b=−1，b−c=−1，a−c=−2，∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=122a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac =12a−b2+b−c2+a−c2 =121+1+4 =3；故选D．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．二、填空题9．（2023春·七年级单元测试）分解因式：2a2−4a−6=______．【答案】2a−3a+1【分析】先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：2a2−4a−6=2a2−2a−3=2a−3a+1；故答案为：2a−3a+1；【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如x2+px+q的二次三项式，若能找到两数a、b，使a⋅b=q且a+b=p，那么x2+px+q=x2+a+bx+a⋅b=x+ax+b．10．（2023春·七年级单元测试）已知x2−x+3=0﹐则x−3x+2的值等于__________．【答案】−9【分析】先将x2−x+3=0变形为x2−x=−3，再根据多项式乘以多项式法则将x−3x+2进行运算并代入求值即可．【详解】解：∵x2−x+3=0，∴x2−x=−3，∴x−3x+2=x2−x−6=−3−6=−9．故答案为：−9．【点睛】本题主要考查了整式运算及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键．11．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知(−x)⋅(2x2−ax−1)−2x3+3x2中不含x的二次项，则a=__．【答案】−3【分析】首先利用单项式乘以多项式去括号，进而得出x2的系数为0，进而求出答案．【详解】解：∵(−x)⋅(2x2−ax−1)−2x3+3x2中不含x的二次项，∴−2x3+ax2+x−2x3+3x2中，a+3=0，解得：a=−3．故答案为：−3．【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．12．（2023春·江苏·七年级专题练习）若am+1bn+2⋅a2n−1b2n=a5b3，则m−n的值为 __．【答案】4【分析】先利用单项式乘单项式法则计算am+1bn+2⋅a2n−1b2n，再根据等式得到指数间关系，最后求出m−n．【详解】解：∵am+1bn+2⋅a2n−1b2n=am+1+2n−1bn+2+2n=am+2nb3n+2，∴am+2nb3n+2=a5b3，∴m+2n=5①，3n=1②．∴①−②，得m−n=5−1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键．13．（2023春·江苏·七年级专题练习）两名同学将同一个二次三项式因式分解，甲因看错了一次项系数而分解成(x+1)(x+9)；乙因看错了常数项而分解成(x−2)(x−4)，则多项式为______，因式分解后的正确结果应该是______．【答案】     x2−6x+9；     (x−3)2．【分析】根据题意可将(x+1)(x+9)与(x−2)(x−4)分别展开后即可求出原多项式．【详解】解：由题意可知：(x+1)(x+9)=x2+10x+9，(x−2)(x−4)=x2−6x+8，∴原多项式为：x2−6x+9，∴x2−6x+9=(x−3)2．故答案为：x2−6x+9，(x−3)2．【点睛】本题考查的是因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型14．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）已知x+y=3，x2−y2=21，则x−y=_____，2xy= _____．【答案】     7     −20【分析】根据平方差公式和完全平方公式变形计算即可．【详解】解：∵x+y=3，∴x2−y2=x+yx−y=3x−y=21，∴x−y=7，∴2xy=x+y2−x−y22=32−722=−20，故答案为：7，−20．【点睛】此题考查平方差公式和完全平方公式，关键是掌握公式的变形．15．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）现规定一种运算：a※b=ab+a−b，其中a，b为实数，则a※b+b−a※b＝_____．【答案】b2−b##−b+b2【分析】根据新定义运算展开，然后根据所学数学知识进行计算即可．【详解】解：∵a※b=ab+a−b∴ a※b+（b−a）※b＝ab+a−b+b（b−a）+b−a−b＝b2−b故答案为：b2−b．【点睛】本题主要考查整式的乘法运算，正确理解新定义运算法则，熟练掌握整式的乘法运算法则是关键．16．（2023春·七年级单元测试）如图，我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图揭示了a+bn（n为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，请你猜想a+b6的展开式中含a2b4项的系数是________．【答案】15【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得到含a2b4项的系数．【详解】解：根据题意得：a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，a+b6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，∴a+b6的展开式中含a2b4项的系数是15．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了整式乘法，以及规律型：数字的变化类，弄清“杨辉三角”中系数的规律是解本题的关键．解答题17．（2023春·江苏·七年级专题练习）因式分解：(1)−20a−15ax；(2)a−32−2a−6．【答案】(1)−5a4+3x(2)a−3a−5【分析】（1）原式提取公因式后即可因式分解；（2）原式提取公因式后即可因式分解．【详解】（1）解：原式=−5a4+3x；（2）解：原式=a−32−2a−3=a−3a−5．【点睛】本题考查了提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．（2020秋·江苏南通·八年级校考期中）计算：(1)-a5⋅a2+a⋅-a6；(2)-3a3⋅a3--3a2+[-3a⋅-a2]2；(3)y-2x-y-2x；(4)x-12x+1-2x-5x+2．【答案】(1)−2a7(2)6a6+3a2(3)4x2−y2(4)5x+19【分析】（1）先利用同底数幂乘法的运算法则计算，再合并同类项求解；（2）根据同底数幂乘法的运算法则，积的乘方和幂的乘方的运算法则来计算求解；（3）根据多项式乘多项式来计算求解；（4）先根据多项式乘多项式来计算，再合并同类项即可．（1）解：-a5⋅a2+a⋅-a6=-a5⋅a2−a6⋅a=−a7−a7 =−2a7；（2）解：-3a3⋅a3--3a2+[-3a⋅-a2]2=−3a6+3a2+−3a32 =−3a6+3a2+9a6 =6a6+3a2；（3）解：y-2x-y-2x=−y2−2xy+2xy+4x2 =4x2−y2；（4）解：x-12x+1-2x-5x+2=2x2+x−2x−1−2x2+2x−5x−10 =2x2−x−1−2x2−4x+10x+20 =5x+19．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的运算法则，积的乘方和幂的乘方的运算法则，多项式乘多项式，合并同类项，理解相关知识是解答关键．19．（2023春·七年级单元测试）先化简，再求值．12x−2y2−−y+12x12x+y+yx2y−5y÷xy，其中x−1+y+22=0．【答案】xy−2，−4【分析】利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式的运算法则去掉中括号里面的小括号，再合并同类项，然后根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后根据非负数的性质求出x、y的值并代值计算即可．【详解】解：12x−2y2−−y+12x12x+y+yx2y−5y÷xy =14x2−2xy+4y2−14x2−y2+x2y2−5y2÷xy=14x2−2xy+4y2−14x2+y2+x2y2−5y2÷xy=x2y2−2xy÷xy=x2y2÷xy−2xy÷xy=xy−2，∵x−1+y+22=0，x−1≥0，y+22≥0，∴x−1=0，y+22=0，∴x−1=0，y+2=0，∴x=1，y=−2，∴原式=1×−2−2=−2−2=−4．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的混合计算法则是解题的关键．20．（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）已知−2x23x2−ax−6−3x3+x2中不含x的三次项，求a的值．（2）按村镇建设规划的要求，需将小张家一块正方形土地的一边增加5米，另一边减少5米，这块土地的面积改变了吗？请说明理由．【答案】（1）32；（2）这块土地的面积改变了．理由见解析【分析】（1）根据单项式乘以多项式先进行化简，然后再根据题意可进行求解；（2）设原来正方形土地的边长是x米，则原来正方形土地的面积是x2平方米，然后根据题意可列代数式进行求解．【详解】解：（1）−2x23x2−ax−6−3x3+x2=−6x4+2ax3+12x2−3x3+x2=−6x4+2a−3x3+13x2，∵不含x的三次项，∴2a−3=0，解得a=32；（2）设原来正方形土地的边长是x米，则原来正方形土地的面积是x2平方米，现在这块地的一边增加5米，另一边减少5米后的面积是x+5x−5平方米，∴x2−x+5x−5=x2−x2+25=25，∴这块土地的面积改变了．【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式及平方差公式，熟练掌握单项式乘以多项式及平方差公式是解题的关键．21．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读以下材料：x−1x+1=x2−1；x−1x2+x+1=x3−1；x−1x3+x2+x+1=x4−1…(1)根据以上规律，x−1xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1=　　；(2)利用（1）的结论，求1+5+52+53+…+599+5100的值；(3)利用（1）的结论，求2200−2199+2198−2197+…+24−23+22−2的值．【答案】(1)xn−1(2)5101−14(3)2201−23【分析】（1）读懂题意利用规律填空即可：（2）利用（1）得到的规律把x=5，n=101代入求解即可；（3）利用（1）得到的规律把x=−2，n=201代入求出2200−2199+2198−2197+…+24−23+22−2+1=2201+13，由此即可得到答案．【详解】（1）解：∵x−1x+1=x2−1；x−1x2+x+1=x3−1；x−1x3+x2+x+1=x4−1……，∴可以推出x−1xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1=xn−1，故答案为：xn−1（2）解：∵x−1xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1=xn−1，∴当x=5，n=101时，x−1xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1=5−1×1+5+52+53+…+599+5100=4×1+5+52+53+…+599+5100=5101−1，∴1+5+52+53+…+599+5100=5101−14；（3）解：∵x−1xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1=xn−1，∴当x=−2，n=201时，x−1xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1=−2−1×2200−2199+2198−2197+…+24−23+22−2+1=−3×2200−2199+2198−2197+…+24−23+22−2+1=−2201−1，∴2200−2199+2198−2197+…+24−23+22−2+1=−−2201−13=2201+13，∴2200−2199+2198−2197+…+24−23+22−2=2201+13−1=2201−23．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．22．（2022秋·江苏扬州·七年级统考期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2−2ab+a．如：1☆3=1×32−2×1×3+1=4．(1)求(−2)☆5的值；(2)化简：a+12☆3☆a☆(−2)；(3)若m=2☆x，n=(1−x)☆3−3（其中x为有理数），试比较大小m_______n（填“>”、“【分析】（1）根据新运算展开，再求出即可；（2）根据新运算按顺序展开计算即可；（3）先根据新运算展开，再求出m、n，然后作差与0比较大小即可得出答案．【详解】（1）解：(−2)☆5=−2×52−2×(−2)×5+(−2)=−50+20−2=−32；（2）a☆b=ab2−2ab+a=a(b−1)2a+12☆3☆a☆(−2)=a+12×(3−1)2☆a☆(−2)=(2a+2)☆a☆(−2)=(2a+2)×(a−1)2☆(−2)=2(a+1)(a−1)2☆(−2)=2(a+1)(a−1)2×(−2−1)2=18(a+1)(a−1)2=18a3−18a2−18a+18；（3）由题意m=2x2−2×2x+2=2x2−4x+2，n=(1−x)☆3−3=9(1−x)−2×3×(1−x)+(1−x)−3=1−4x所以m−n=2x2+1>0．所以m>n，故答案为：>．【点睛】本题考查了新定义的运算及有理数的混合运算与整式的混合运算，解题的关键是能根据新运算展开并且熟练运用各个运算法则．23．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例：如图①可以得到a+2ba+b=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：(1)写出图②中所表示的数学等式；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=12，ab+bc+ac=40，求a2+b2+c2的值；(3)小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a，b的长方形纸片拼出了一个面积为25a+4b2a+5b的长方形，求x+y+z的值．【答案】(1)a+b+ca+b+c=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．(2)64．(3)133．【分析】(1)从整体看正方形的边长为a+b+c，因此可得到正方形的面积；再计算各部分面积的和；(2)根据(1)的结论化简求值即可；(3)根据面积的计算方法求出x、y、z的系数进而得出结果．【详解】（1）解：∵正方形的边长为：a+b+c，∴正方形的面积为：a+b+ca+b+c，∵正方形是由3个正方形和6个长方形组成，∴正方形的面积可表示为：a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴a+b+ca+b+c=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，（2）解：∵a+b+ca+b+c=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝12，ab+bc+ac＝40，∴a+b+ca+b+c=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴122=2×40+a2+b2+c2，∴a2+b2+c2=64．（3）解：∵25a+4b2a+5b=50a2+125ab+8ab+20b2=50a2+133ab+20b2，∴根据题意可知长方形的组成是：x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长为a，b的长方形，∴x=50，y=20，z=133，∴x+y+z=50+20+133=203．【点睛】本题考查了整式的乘法运算，多项式乘以多项式与图形面积，掌握多项式的乘法法则是解题的关键．24．（2023春·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）将周长相等的矩形ABCD和正方形CEFH按如图所示的方式叠放在一起（其中点D在EC上，点B在CH的延长线上，AD和FH相交于点G），正方形CEFH的边长为m，矩形ABCD的宽为x，长为yx