高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念巩固练习，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知复数和满足，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数，满足下列表达式，则（ ）
A．B．C．D．
4．“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．设复数，则复数的共轭复数的模为（ ）
A．7B．1C．5D．25
6．已知复数，则的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
7．若，，则复数等于（ ）
A．B．C．D．
8．如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（ ）
A．且B．
C．D．或
二、多选题
9．对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．
10．下列四个命题正确的是（ ）
A．若，则的最大值为3
B．若复数满足，则
C．若，则点的轨迹经过的重心
D．在中，为所在平面内一点，且，则
11．设复数z，w满足：，则的（ ）
A．最小值为B．最小值为
C．最大值为D．最大值为
12．已知，复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若复数z为纯虚数，则
B．若复数z为实数，则
C．若复数z的模为，则
D．若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则
三、填空题
13．设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则 .
14．复数，且，若是实数，则有序实数对可以是 .
15．已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为 ．
16．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第 象限， 且 .
四、解答题
17．求下列复数的模和共轭复数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．如图，已知复平面上的，是坐标原点，，分别对应复数，，是，的交点．求点，对应的复数．

19．（1）在复平面上画出与以下复数，，，分别对应的点，，，．，，，．
（2）求向量，，，的模．
（3）点，，，中是否存在两个点关于实轴对称？若存在，则它们所对应的复数有什么关系？
20．求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足：
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z在复平面中对应的点位于第三象限.
21．已知i是虚数单位，复数．
(1)若z为纯虚数，求实数a的值；
(2)若z在复平面上对应的点在直线上，求复数z的模．
参考答案：
1．B
【分析】利用复数的几何意义结合向量运算求解.
【详解】题设等价为向量满足，求，
因为
又,所以，
故选：B
2．D
【分析】根据复数与向量坐标关系及向量减法求对应点，即可得对应复数.
【详解】由题设，则，
所以向量对应的复数为.
故选：D
3．A
【分析】根据题中条件求出的值，再利用复数的模长公式可求得的值.
【详解】因为复数，则，
所以，，即，解得，
所以，，故.
故选：A.
4．B
【分析】求出复数在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件，利用集合的包含关系及充分条件、必要条件求解.
【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
而成立推不出成立，，
所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件，
故选：B
5．C
【分析】共轭复数的定义求出，再由复数的模长公式求解即可.
【详解】复数，则，
所以.
故选：C.
6．C
【分析】由复数虚部的概念即可得解.
【详解】由题意复数的虚部为.
故选：C.
7．B
【分析】利用复数相等的条件即可得解.
【详解】由，得，则，
根据复数相等的充要条件得，解得，
故．
故选：B．
8．B
【分析】根据纯虚数得到，解得答案.
【详解】复数是纯虚数，则，解得.
故选：B
9．AB
【分析】根据复数的概念判断AC，根据复数相等判断B，根据虚数单位的定义判断D.
【详解】对于A：当，，当时为实数，A错误；
对于B：若，则，B错误；
对于C：若，则为实数，C正确；
对于D：，D正确.
故选：AB.
10．ABC
【分析】A根据复数模的几何意义及圆的性质判断；B利用复数的运算和模的运算求解即可；C结合重心的性质进行判断；D利用平面向量基本定理，判断出D点位置，进而可求.
【详解】对A，由的几何意义，知复数对应的动点到定点的距离为1，即动点的轨迹以为圆心，1为半径的圆，表示动点点的轨迹以的距离，由圆的性质知： ，A正确；
对B，设，因为，
所以，，
所以，所以，B正确；
对C，由正弦定理的，即，
，设中点为，
如图：
则，则，由平面向量的共线定理得三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心,C正确；
对D，如图由已知点在中与平行的中位线上，且靠近的三等分点处，故有，所以，D错误.
故选：ABC
11．BC
【分析】利用复数模的性质可得可得.
【详解】根据题意，，于是，
当z，w是关于x的方程，的两根时有，
上述不等式可以取得等号，因此有最小值．
又，
当z，w是关于x的方程
的两根时有，上述不等式可以取得等号．
因此有最大值．
故选:BC.
12．ABD
【分析】先化简复数，再根据复数类型判断A，B选项，再根据模长判断C选项，根据复数所在象限得出参数范围判断D选项即可.
【详解】，
A中，若复数z为纯虚数，则，且，得．故A正确；
B中，若复数z为实数，则，得．故B正确；
C中，若复数z的模为，则，得．故C不正确；
D中，若复数z在复平面内对应的点在第一象限，则，且，得．故D正确．
故选：ABD.
13．
【分析】根据纯虚数的定义列出方程求解即可.
【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得.
故答案为：.
14．(答案不唯一)
【分析】将代入，根据为实数，则虚部为零求解.
【详解】因为为实数,
所以，解得,
所以有序实数对可以是(答案不唯一)
故答案为：(答案不唯一)
15．
【分析】根据题意，利用复数的几何意义，得到复数表示以为圆心，以为半径的圆的圆面，过原点作圆的切线，切点为，结合三角形和扇形的面积公式，即可求解.
【详解】因为，
根据复数的几何意义，可得复数表示以为圆心，以为半径的圆的圆面，
如图所示，过原点作圆的切线，切点为，
在直角中，可得，所以，且 ，
所以，
所以复数向量扫过的面积为.
故答案为：.
16． 二 1
【分析】根据欧拉公式即可将化为，进而根据复数的几何意义和模长求解即可.
【详解】由欧拉公式可得，故对应的点为，位于第二象限，且，
故答案为：二，1
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数的模和共轭复数的定义对（1）（2）（3）（4）逐一求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
18．，
【分析】在中，由复数的几何意义，结合向量运算求解即可．
【详解】由于，分别对应复数，，
在中，
有，则对应的复数为，
即点所对应的复数是，
又，则对应的复数为，
即点所对应的复数是．
19．（1）答案见解析；（2）1；1；5；5；（3）答案见解析
【分析】（1）直接根据复数的几何意义作图即可；（2）根据复数的模长公式计算即可；（3）利用共轭复数的定义判断即可.
【详解】解 （1）由题意可得图3.3-3．

（2）由于，，，的坐标分别为，，，，
则向量，，，的模分别为
，，，．
（3）点，关于实轴对称，它们所对应的复数与的实部相同，虚部互为相反数．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数的概念列式求解即可；
（2）根据复数的概念列式求解即可；
（3）根据复数的几何意义列不等式组求解即可.
【详解】（1）因为复数是实数，所以，所以；
（2）因为复数是纯虚数，所以，
所以；
（3）复数在复平面中对应的点为，
因为该点位于第三象限，所以，所以.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的概念计算即可；
（2）利用复数的几何意义计算即可.
【详解】（1）∵是纯虚数，
∴，解得；
（2）易知z在复平面上对应的点为，该点在直线上，
得，即，得．
∴．则．