数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线课后测评

这是一份数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线课后测评，共32页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc6652" 【题型1 曲线方程与双曲线】 PAGEREF _Tc6652 \h 1
\l "_Tc16272" 【题型2 利用双曲线的定义解题】 PAGEREF _Tc16272 \h 2
\l "_Tc27642" 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 PAGEREF _Tc27642 \h 3
\l "_Tc26806" 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 PAGEREF _Tc26806 \h 3
\l "_Tc8264" 【题型5 利用双曲线的几何性质求标准方程】 PAGEREF _Tc8264 \h 5
\l "_Tc5427" 【题型6 双曲线的渐近线方程】 PAGEREF _Tc5427 \h 6
\l "_Tc13499" 【题型7 求双曲线的离心率的值或取值范围】 PAGEREF _Tc13499 \h 6
\l "_Tc10170" 【题型8 双曲线中的最值问题】 PAGEREF _Tc10170 \h 7
\l "_Tc13479" 【题型9 双曲线的实际应用问题】 PAGEREF _Tc13479 \h 7
【知识点1 双曲线的标准方程】
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
【题型1 曲线方程与双曲线】
【例1】（2023·高二课时练习）当ab0,b>0)的左，右焦点，点P在E上，D是线段F1F2上点，若∠F1PF2=π3,F1D:F2D=1:2,PD=4，则当△PF1F2面积最大时，双曲线E的方程是（ ）
A．x212−y29=1B．x29−y212=1
C．x23−y26=1D．x26−y23=1
【题型4 求双曲线的轨迹方程】
【例4】（2022·四川·高三统考对口高考）已知y轴上两点F10,−5，F20,5，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ）
A．x29−y216=1B．y216−x29=1
C．x29+y216=1D．x216+y29=1
【变式4-1】（2023·全国·高二专题练习）已知平面内两定点F1−3,0，F23,0，下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是（ ）
A．PF1−PF2=±7B．PF1−PF2=±6
C．PF1−PF2=±4D．PF12−PF22=±6
【变式4-2】（2022·高二课时练习）动圆M与圆C1：x+52+y2=25和圆C2：x−52+y2=1均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x24−y221=1x≥2B．x24−y221=1x≤−2
C．x29−y216=1x≥3D．x29−y216=1x≤−3
【变式4-3】（2023秋·安徽安庆·高二校考期末）已知定点F1(−2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是（ ）
A．x2+y23=1B．x2−y23=1C．x23+y2=1D．x23−y2=1
【知识点2 双曲线的简单几何性质】
1．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
2．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
3．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型5 利用双曲线的几何性质求标准方程】
【例5】（2023·河南·校联考模拟预测）若双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0其中一条渐近线的斜率为2，且点3,2在C上，则C的标准方程为（ ）
A．x22−y28=1B．x28−y22=1C．x2−y22=1D．5x23−y2=1
【变式5-1】（2023·四川成都·三模）已知双曲线C经过点4,2，且与双曲线x22−y2=1具有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．x28−y24=1B．x26−y23=1C．x24−y22=1D．x212−y212=1
【变式5-2】（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆y24+x23=1的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（ ）
A．3x216−y216=1B．3y216−x216=1
C．3y24−x24=1D．3x24−y24=1
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形ABCD的面积为122，则双曲线的方程为（ ）
A．x29−2y29=1B．x218−y29=1
C．x227−2y227=1D．x236−y218=1
【题型6 双曲线的渐近线方程】
【例6】（2023·山西·校联考模拟预测）已知双曲线x2a2−y23=1(a>0)经过点2,3，则其渐近线方程是（ ）
A．y=±3xB．y=±32x
C．y=±23xD．y=±33x
【变式6-1】（2023·河南开封·统考三模）已知双曲线x2−my2=1m>0的左、右焦点分别为F1−2,0，F22,0，则双曲线的渐近线方程式为（ ）
A．y=±22xB．y=±33xC．y=±2xD．y=±3x
【变式6-2】（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）已知点P为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，F1为双曲线C的左焦点，若PA=2AF1，则渐近线l的斜率为（ ）
A．−3B．−22C．−5D．−32
【变式6-3】（2023春·四川成都·高二校联考期末）已知双曲线C : x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1,F2，右支上一点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1, d2，若F1F22=16d1d2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y=±2xB．y=±3x
C．y=±2xD．y=±x
【题型7 求双曲线的离心率的值或取值范围】
【例7】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知双曲线C:3mx2−my2=3的一个焦点坐标为−2,0，则双曲线C的离心率为（ ）
A．32B．233C．2D．4
【变式7-1】（2023春·四川凉山·高二统考期末）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．2C．3D．5
【变式7-2】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C的右支交于A、B两点，若在双曲线C左支上存在点P使得PA⊥PB，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．1,3B．3,+∞C．1,2D．2,+∞
【变式7-3】（2023·安徽合肥·校考模拟预测）双曲线x2a2−y2b2=1（a>2，b>0）的焦距为2cc>0，已知点Aa,0，B0,b，点2,0到直线AB的距离为d1，点−2,0到直线AB的距离为d2，且d1+d2≥45c，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．22,2B．52,5C．102,10D．3,23
【题型8 双曲线中的最值问题】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x24−y24=1的左焦点为F，点P是双曲线C右支上的一点，点M是圆E:x2+(y−22)2=1上的一点，则PF+PM的最小值为（ ）
A．5B．5+22C．7D．8
【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）若点P在曲线C1:x216−y29=1上，点Q在曲线C2:x−52+y2=1上，点R在曲线C3:x+52+y2=1上，则PQ−PR的最大值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【变式8-2】（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知双曲线C:y24−x22=1的焦点分别是F1、F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．PF1⋅PF2的最大值为4B．PF1⋅PF2的最大值为2
C．PF1⋅PF2的最小值为−4D．PF1⋅PF2的最小值为−2
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）已知F1,F2分别为双曲线x29−y24=1的左､右焦点，P为双曲线右支上任一点，则PF12−PF2PF2最小值为（ ）
A．19B．23C．25D．85
【题型9 双曲线的实际应用问题】
【例9】（2023春·河南商丘·高二开学考试）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y216−x2m=1的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为43米，则当水面宽度为46米时，拱顶M到水面的距离为（ ）
A．4米B．82−4米C．26−4米D．47−4米
【变式9-1】（2023·全国·高三专题练习）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离3403mB．东偏南45°方向，距离3403m
C．西偏北45°方向，距离1703mD．东偏南45°方向，距离1703m
【变式9-2】（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为x2a2−y2b2=1，F1,F2分别为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（F2，A，B在同一直线上），满足AB⊥AD,∠ABC=3π4，则该双曲线的离心率的平方为（ ）
A．2+1B．2+3C．5+22D．5−22
【变式9-3】（2023·江西鹰潭·统考一模）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为（ ）
A．423cmB．924cmC．22cmD．823cm
专题3.4 双曲线的标准方程和性质【九大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc6652" 【题型1 曲线方程与双曲线】 PAGEREF _Tc6652 \h 1
\l "_Tc16272" 【题型2 利用双曲线的定义解题】 PAGEREF _Tc16272 \h 3
\l "_Tc27642" 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 PAGEREF _Tc27642 \h 5
\l "_Tc26806" 【题型4 求双曲线的轨迹方程】 PAGEREF _Tc26806 \h 7
\l "_Tc8264" 【题型5 利用双曲线的几何性质求标准方程】 PAGEREF _Tc8264 \h 10
\l "_Tc5427" 【题型6 双曲线的渐近线方程】 PAGEREF _Tc5427 \h 12
\l "_Tc13499" 【题型7 求双曲线的离心率的值或取值范围】 PAGEREF _Tc13499 \h 14
\l "_Tc10170" 【题型8 双曲线中的最值问题】 PAGEREF _Tc10170 \h 16
\l "_Tc13479" 【题型9 双曲线的实际应用问题】 PAGEREF _Tc13479 \h 18
【知识点1 双曲线的标准方程】
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
【题型1 曲线方程与双曲线】
【例1】（2023·高二课时练习）当abm，则曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，C对B错；
对D，若曲线表示双曲线，则有m2m+50,b>0)的左，右焦点分别为F1,F2，右支上一点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1, d2，若F1F22=16d1d2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y=±2xB．y=±3x
C．y=±2xD．y=±x
【解题思路】求得双曲线的渐近线方程，求得点P到双曲线C的两条渐近线的距离d1,d2，根据题意化简得到c2=2ab，结合c2=a2+b2，求得a=b，即可求解.
【解答过程】设P(x0,y0)，则x02a2−y02b2=1，即b2x02−a2y02=a2b2，
渐近线方程为y=±bax，即bx±ay=0，
则点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为：d1=|bx0−ay0|b2+a2=|bx0−ay0|c， d2=|bx0+ay0|b2+a2=|bx0+ay0|c，
因为F1F22=16d1d2，则d1d2=|b2x02−a2y02|c2=a2b2c2=(2c)216=c24，
可得c4=4a2b2，即c2=2ab，
又由c2=a2+b2，可得(a−b)2=0，所以a=b，
所以双曲线C的渐近线方程为y=±x，
故选：D．
【题型7 求双曲线的离心率的值或取值范围】
【例7】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知双曲线C:3mx2−my2=3的一个焦点坐标为−2,0，则双曲线C的离心率为（ ）
A．32B．233C．2D．4
【解题思路】把双曲线方程化成标准形式，求出m即可求出离心率作答.
【解答过程】双曲线C:3mx2−my2=3化为：x21m−y23m=1，依题意，1m+3m=22，解得m=1，
因此双曲线C的实半轴长为1，所以双曲线C的离心率为2.
故选：C.
【变式7-1】（2023春·四川凉山·高二统考期末）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．2C．3D．5
【解题思路】根据渐近线方程可得ba=1，再由e=ca=1+ba2可求得结果.
【解答过程】因为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+y=0，
所以ba=1，
所以双曲线的离心率为e=ca=1+ba2=1+1=2，
故选：B.
【变式7-2】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C的右支交于A、B两点，若在双曲线C左支上存在点P使得PA⊥PB，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．1,3B．3,+∞C．1,2D．2,+∞
【解题思路】求出点A、B的坐标，设点Px,y，其中x≤−a，可得出y2=b2x2a2−b2，由已知可得出AP⋅BP=0，可得出x=2a2−c2c≤−a，整理可得出关于e的不等式，结合e>1可求得e的取值范围.
【解答过程】将x=c代入双曲线C的方程可得c2a2−y2b2=1，可得y=±b2a，
不妨取点Ac,b2a、Bc,−b2a，设点Px,y，其中x≤−a，且y2=b2x2a2−b2，
AP=x−c,y−b2a，BP=x−c,y+b2a，
因为PA⊥PB，所以AP⋅BP=x−c2+y2−b4a2=x2−2c+c2+b2a2x2−b2−b4a2
=c2a2x2−2cx+a2−b4a2=cax−a2−b4a2=0，
因为x≤−a，则cax−a1，解得e≥2.
故选：D.
【变式7-3】（2023·安徽合肥·校考模拟预测）双曲线x2a2−y2b2=1（a>2，b>0）的焦距为2cc>0，已知点Aa,0，B0,b，点2,0到直线AB的距离为d1，点−2,0到直线AB的距离为d2，且d1+d2≥45c，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．22,2B．52,5C．102,10D．3,23
【解题思路】首先表示出直线AB的方程，利用距离公式表示出d1，d2，依题意可得2abc≥45c，再根据a、b、c的关系得到关于e的不等式，解得即可.
【解答过程】依题意直线AB：xa+yb=1，即bx+ay−ab=0，又a>2，
所以d1=2b−aba2+b2=ba−2a2+b2，d2=−2b−aba2+b2=ba+2a2+b2，
所以d1+d2=ba−2a2+b2+ba+2a2+b2=2abc≥45c，所以5c2−a2⋅a≥2c2，
即25c2−a2⋅a2≥4c4，即4e4−25e2+25≤0，解得54≤e2≤5，
又e>1，所以e∈52,5.
故选：B.
【题型8 双曲线中的最值问题】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x24−y24=1的左焦点为F，点P是双曲线C右支上的一点，点M是圆E:x2+(y−22)2=1上的一点，则PF+PM的最小值为（ ）
A．5B．5+22C．7D．8
【解题思路】由双曲线定义PF等于P到右焦点F1的距离PF1 +4，而PF1+PM的最小值是EF1−r（r是圆半径），由此可得结论．
【解答过程】记双曲线C的右焦点为F122,0，所以PF+PM=PF1+PM+4≥PF1+PE+4−1≥EF1+3 =4+3=7，
当且仅当点P为线段EF1与双曲线C的交点时，取到最小值．
故选：C．
【变式8-1】（2023·全国·高二专题练习）若点P在曲线C1:x216−y29=1上，点Q在曲线C2:x−52+y2=1上，点R在曲线C3:x+52+y2=1上，则PQ−PR的最大值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【解题思路】分析可知两圆圆心为双曲线C1的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得PQ−PR的最大值.
【解答过程】在双曲线C1中，a=4，b=3，c=5，易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点，
记点F1−5,0、F25,0，当PQ−PR取最大值时，P在双曲线C1的左支上，
所以，PQ−PR≤PF2+1−PF1−1=PF2−PF1+2=2a+2=10.
故选：B.
【变式8-2】（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知双曲线C:y24−x22=1的焦点分别是F1、F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．PF1⋅PF2的最大值为4B．PF1⋅PF2的最大值为2
C．PF1⋅PF2的最小值为−4D．PF1⋅PF2的最小值为−2
【解题思路】设出点P的坐标，结合双曲线的范围，利用数量积的坐标运算求解即可.
【解答过程】根据题意，F1,F2的坐标为0,6,0,−6，设点P的坐标为x,y，则x∈R，
故PF1⋅PF2=−x,6−y⋅−x,−6−y=x2+y2−6，
又y2=41+x22=4+2x2，故PF1⋅PF2 =x2+4+2x2−6=3x2−2，
又x∈R，故当x=0时，取得最小值−2，且其没有最大值，
故PF1⋅PF2的最小值为−2，无最大值.
故选：D.
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）已知F1,F2分别为双曲线x29−y24=1的左､右焦点，P为双曲线右支上任一点，则PF12−PF2PF2最小值为（ ）
A．19B．23C．25D．85
【解题思路】设P(x,y)且x≥3，应用两点距离公式及P在双曲线上，结合基本不等式求|PF1|2|PF2|的范围，注意等号成立条件，进而可求目标式的最小值.
【解答过程】令P(x,y)且x≥3，则|PF1|2|PF2|=(x+13)2+y2(x−13)2+y2，而y2=4x29−4，
所以|PF1|2|PF2|=(133x+3)2133x−3，令t=133x−3≥13−3，
则|PF1|2|PF2|=t+36t+12≥2t⋅36t+12=24，当且仅当t=6，即x=271313时等号成立，
所以|PF1|2−|PF2||PF2|=|PF1|2|PF2|−1≥23，即最小值为23.
故选：B.
【题型9 双曲线的实际应用问题】
【例9】（2023春·河南商丘·高二开学考试）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y216−x2m=1的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为43米，则当水面宽度为46米时，拱顶M到水面的距离为（ ）
A．4米B．82−4米C．26−4米D．47−4米
【解题思路】将A−23,−8代入双曲线得到m=4，当x=−26得到y=−47，得到答案.
【解答过程】根据题意：M0,−4，A−23,−8，故6416−12m=1，解得m=4，即y216−x24=1，
当水面宽度为46米时，即x=−26时，y=−47，
拱顶M到水面的距离为47−4.
故选：D.
【变式9-1】（2023·全国·高三专题练习）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离3403mB．东偏南45°方向，距离3403m
C．西偏北45°方向，距离1703mD．东偏南45°方向，距离1703m
【解题思路】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.
【解答过程】如图，

以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（−680，0），B（680，0），C（0，680）.
设P（x，y）为巨响为生点，由A、C 同时听到巨响声，得PA=PC，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=−x，因B点比A点晚2s听到爆炸声，故，PB−PA=340×2=680
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线左支x2a2−y2b2＝1(x0)，因为双曲线的离心率为10=1+ba2，所以b=3a.
所以方程可化简为9x2−y2=9a2*，
将A和B的坐标代入*式可得36−m2=9a281−(m−9)2=9a2，解得a=423，
则喉部的直径为2a=823cm.
故选：D.
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
图形
标准方程
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点
A1(-a,0),A2 (a,0)
A1(0,-a),A2 (0,a)
半轴长
实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率
渐近线方程
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
图形
标准方程
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点
A1(-a,0),A2 (a,0)
A1(0,-a),A2 (0,a)
半轴长
实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率
渐近线方程