2023-2024学年青海省海东市互助县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年青海省海东市互助县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列代数式中，是分式的是( )
A. x+yB. x3C. −1xD. yπ
2.在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示为( )
A. 0.7×10−8B. 7×10−7C. 7×10−8D. 7×10−9
4.计算a6÷a2的结果是( )
A. a8B. a4C. a3D. a2
5.在△ABC中，AB=3，BC=7，则边AC的长可能是( )
A. 1B. 3C. 4D. 7
6.如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE=4，BD=13，则AB等于( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
7.若4y2+my+9是完全平方式，则m的值是( )
A. −12B. 12C. −12或11D. −12或12
8.甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月.若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为( )
A. 9x−12x+1=12B. 12x+1−9x=12C. 9x+1−12x=12D. 12x−9x+1=12
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若代数式11−x有意义，则实数x的取值范围是______．
10.快过年了，小明和妈妈去商场，发现如图是商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB的长为18m，倾斜角为30°，则自动扶梯的垂直高度BC等于______m.
11.分解因式：x2−1= ______．
12.七边形的内角和是______．
13.计算：c2a⋅a2bc=______．
14.若3m=2，则32m= ______．
15.若分式m−2x−1+x1−x=3无解，则m= ______．
16.定义一种新的运算：a*b=a2b−1，例如：3*5=32×5−1=13，若关于x的方程m*x=−3的解为非负数，则m的取值范围为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：xx+1=2x3x+3+1．
四、解答题：本题共7小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
计算：(a+1)2−a(1+a)．
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠ABC=50°，CE为AB边上的高，AF与CE交于点G.若∠AFC=80°，求∠AGC的度数．
20.(本小题6分)
先化简，再求值：(1x−1+1)÷x2−1x2−2x+1，其中x=2．
21.(本小题8分)
已知x、y满足xy=8，x2y−xy2=56.求下列各式的值：
(1)x−y；
(2)x2+y2．
22.(本小题8分)
已知2x+n与x2−3x+m的乘积中不含x2项，且一次项的系数为2，求m、n的值．
23.(本小题10分)
“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
24.(本小题12分)
已知，如图①，△ABC是等边三角形，AB=6，D是线段BC上的动点．
(1)问题解决：在图①中，若AD⊥BC，根据给出的已知条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
(2)问题探究：如图②，在(1)的条件下，以线段AD为边在右侧作等边△ADE，连接CE，猜想BD与CE的数量关系并证明；
(3)拓展延伸：如图③，以线段AD为边在右侧作等边△ADE，在点D从点B向点C的运动过程中，猜想点E的运动路径是什么？当AE的值最小时，E点运动路径的长度是______？(直接写出结果)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、x+y是多项式，故A不符合题意；
B、x3是单项式，故B不符合题意；
C、−1x是分式，故C符合题意；
D、yπ是单项式，故D不符合题意．
故选：C．
如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，由此即可判断．
本题考查分式的概念，关键是掌握分式的定义．
2.【答案】C
【解析】解：选项C的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、B、D的图形都不能找到一条(或多条)直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】D
【解析】解：0.000000007=7×10−9；
故选：D．
由科学记数法知0.000000007=7×10−9；
本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：a6÷a2=a4．
故选：B．
直接利用同底数幂的除法运算法则化简得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，AB=3，BC=7，
则7−3∴边AC的长可能是7，
故选：D．
根据三角形的三边关系列出不等式组，判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边．
6.【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△CDE，
∴AB=CD，BC=DE=4，
∵BD=13，
∴CD=BD−BC=13−4=9，
∴AB=CD=9．
故选：C．
由全等三角形的性质推出AB=CD，BC=DE=4，求出CD=BD−BC=13−4=9，即可得到AB的长．
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
7.【答案】D
【解析】解：4y2+my+9=(2y)2+my+32，
∴my=±2×2y×3，
∴m=±12．
故选：D．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
8.【答案】A
【解析】解：∵乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，且甲工程队每个月修x千米，
∴乙工程队每个月修(x+1)千米．
根据题意得：9x−12x+1=12．
故选：A．
根据两个工程队工作效率间的关系，可得出乙工程队每个月修(x+1)千米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合乙工程队所用的时间比甲工程队少半个月，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】x≠1
【解析】解：由题意得：1−x≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
10.【答案】9
【解析】解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=18m，
则BC=12AB=12×18−9(m)，
故答案为：9．
根据含30°角的直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】(x+1)(x−1)
【解析】解：x2−1=(x+1)(x−1)．
故答案为：(x+1)(x−1)．
利用平方差公式分解即可求得答案．
此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
12.【答案】900°
【解析】解：七边形的内角和是：180°×(7−2)=900°．
故答案为：900°．
由n边形的内角和是180°×(n−2)，将n=7代入即可求得答案．
此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式：n边形的内角和为180°×(n−2)是解此题的关键．
13.【答案】acb
【解析】解：原式=c2⋅a2a⋅bc=acb．
故答案为：acb．
根据分式的乘法法则计算即可．
本题考查分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
14.【答案】4
【解析】解：∵3m=2，
∴32m
=(3m)2
=22
=4．
故答案为：4．
根据幂的乘方的计算方法进行计算即可．
本题考查幂的乘方，掌握“幂的乘方，底数不变，指数相乘”是正确解答的关键．
15.【答案】3
【解析】解：原方程去分母得：m−2−x=3(x−1)，
∵分式m−2x−1+x1−x=3无解，
∴x−1=0，
∴x=1，
把x=1代入m−2−x=3(x−1)得，m−2−1=0，
∴m=3，
故答案为：3．
将原方程去分母得：m−2−x=3(x−1)，由原方程无解求出x的值，再把x的值代入这个整方程即可．
本题主要考查了分式方程无解的问题，掌握分式方程无解(即产生增根)的原因是解题的关键．
16.【答案】m≤3且m≠0
【解析】解：由题意得：m2x−1=−3，
∴m=−6x+3，
∴x=3−m6，
∵关于x的方程m*x=−3的解为非负数，
∴x=3−m6≥0，2x−1≠0，
解得：m≤3，m≠0，
∴m的取值范围为：m≤3且m≠0，
故答案为：m≤3且m≠0．
根据新运算得出分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，然后根据解为非负数得出关于m的不等式，解之即可得到m的取值范围．
本题考查了新运算，解分式方程以及解一元一次不等式，能够根据新运算得出关于x的方程是解题的关键．
17.【答案】解：方程两边都乘3(x+1)，
得：3x=2x+3(x+1)，
化简得：3x=5x+3
解得：x=−32，
经检验x=−32是方程的解，
∴原方程的解为x=−32．
【解析】本题的最简公分母是3(x+1)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
18.【答案】解：原式=a2+2a+1−a−a2
=a+1．
【解析】根据完全平方公式，单项式乘单项式的计算方法进行计算即可．
本题考查完全平方公式，单项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及单项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
19.【答案】解：∵CE是AB边上的高，
∴∠BEC=90°，
在△ABC中，∠ABC=50°，
∴∠BCE=180°−∠ABC−∠BEC=40°，
∵∠AFC=80°，
∴∠CGF=180°−∠AFC−∠BCE=60°，
∴∠AGC=180°−∠CGF=120°．
【解析】由高的定义可得∠BEC=90°，由三角形内角和可得∠BCE的度数，再根据三角形内角和可得出∠CGF的度数，由平角的定义可得出∠AGC的度数．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1x−1+1)÷x2−1x2−2x+1
=(1x−1+x−1x−1)÷(x+1)(x−1)(x−1)2
−1+(x−1)x−1⋅(x−1)2(x+1)(x−1)
=xx−1⋅(x−1)2(x+1)(x−1)
=xx+1，
当x=2时，原式=22+1=23．
【解析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
21.【答案】解：(1)∵xy=8，x2y−xy2=xy(x−y)=56，
∴x−y=56÷8=7；
(2)∵x−y=7，xy=8，
∴x2+y2=(x−y)2+2xy=72+2×8=65．
【解析】(1)分解因式，求出x−y=7；
(2)根据完全平方公式进行变形，最后代入求出即可．
本题考查了完全平方公式，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键，注意：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2．
22.【答案】解：根据题意得：(2x+n)(x2−3x+m)
=2x3−6x2+2mx+nx2−3nx+mn
=2x3+(n−6)x2+(2m−3n)x+mn，
∵2x+n与x2−3x+m的乘积中不含x2项，且一次项的系数为2，
∴n−6=0且2m−3n=2，
解得：m=10，n=6．
【解析】先根据题意列出算式，再根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，根据题意得出n−6=0且2m−3n=2，再求出m、n即可．
本题考查了多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键．
23.【答案】解：(1)设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个．
由题意得：1200x−15001.5x=20，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的解，
∴B型玩具的进价为10×1.5=15(元/个)，
答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．
(2)设购买A型玩具m个，则购进B型玩具(75−m)个．
根据题意得，(12−10)m+(20−15)(75−m)≥300，
解得：m≤25，
答：最多可购进A型玩具25个．
【解析】(1)设A型玩具的单价为x元/件．根据用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，列方程即可得到结论；
(2)设购买A型玩具m个．根据张老板购进A，B型玩具共75个，总利润不低于300元，列不等式即可得到结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地理解题意是解题的关键．
24.【答案】3
【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，
即BD=3(答案不唯一)；
(2)BD与CE的数量关系为：BD=CE．
理由如下：∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE=∠CAD=∠BAC=∠CAD，
即∠CAE=∠BAD，
在△CAE与△BAD中，
AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(3)连接CE，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE=60°，
∴E点的运动路径是一条线段，
当AE⊥CE时，AE有最小值，如图，
∵AC=6，
∴CE=12AC=3，
∴E点的运动路径长度是3，
故答案为：3．
(1)由等腰三角形的性质可得出BD=CD=3；
(2)证明△ABD≌△ACE(SAS)，由全等三角形的性质得出BD=CE；
(3)连接CE，证明∠ABD=∠ACE=60°，则E点的运动路径是一条线段，当AE⊥CE时，AE有最小值，则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．