2021-2022学年青海省海东市互助县九年级（上）期末数学试卷(解析版)

这是一份2021-2022学年青海省海东市互助县九年级（上）期末数学试卷(解析版)，共23页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年青海省海东市互助县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）
1．（3分）下列事件，是必然事件的是（　　）
A．投掷一枚硬币，向上一面是正面
B．射击一次，击中靶心
C．天气热了，新冠病毒就消失了
D．任意画一个多边形，其外角和是360°
2．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能是（　　）
A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm
4．（3分）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（　　）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
5．（3分）若关于x的方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．2 B．1 C． D．﹣2
6．（3分）有四张相同的卡片，正面上分别有2，3，4，3四个数字，将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到有数字3的卡片的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）下列说法中错误的是（　　）
A．直径是弦
B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆
C．三角形的外心到三个顶点的距离相等
D．两个半圆是等弧
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判断不正确的是（　　）
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣2.5
0
1.5
2
1.5
A．当x＜0时，y随x的增大而增大
B．当x＝4时，y＝﹣2
C．顶点坐标为（1，2）
D．x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的一个根
9．（3分）天猫某店铺9月份的销售额为100万元，11月份的销售额为144万元，设10、11月份的平均增长率为x，则可列方程（　　）
A．100（1+2x）＝144
B．100（1+x2）＝144
C．100（1+x）2＝144
D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝144
（多选）10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论正确的是（　　）

A．abc＜0 B．4a﹣2b+c＜0 C．2a+b＝﹣1 D．c＝﹣3a
二、填空题．（本大题8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）正方形的中心角为 　 　．
12．（3分）在一个透明的口袋中装有只有颜色不同的黑白两种颜色的小球，某小组做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，随着次数的增加，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则从口袋中随机摸出1个球是黑球的概率约为 　 　．
13．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线解析式为 　 　．
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于 　 　．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝3，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上，则BD＝　 　．

16．（3分）关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的一个根是x1＝3，则它的另一个根x2＝　 　．
17．（3分）第十四届全运会在陕西西安开幕，九年级（2）班李明同学利用扇形彩色纸，制作了一个圆锥形火炬模型，如图是火炬模型的侧面展开图（接痕忽略不计），已知扇形彩色纸的半径为45cm，圆心角为40°，则这个圆锥的侧面积 　 　cm2．（结果保留π）

18．（3分）如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长　 　．

三、解答题．（本大题10个小题，共66分）
19．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
20．（4分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标．

21．（4分）已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），且图象经过点（1，0），求该抛物线的解析式．
22．（6分）已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．

23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把Rt△ABC绕点B逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上，若BC＝8，AC＝6，求DE及BD的长．

24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D．
（1）求证：AD＝3BD；
（2）求的长．（结果保留π）

25．（8分）小明想购买70元的玩具汽车，他妈妈口袋里有四张面值分别为10元，20元，50元，100元的纸币．
（1）若从妈妈口袋里随机拿出1张纸币，则拿出的纸币是20元的概率为 　 　；
（2）妈妈随机从口袋中拿出2张纸币去购买玩具汽车，请用画树状图或列表的方法求能买到玩具汽车的概率是多少？
26．（8分）如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA、OB．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）点E是⊙O上一动点，且不与点A、B重合，连接AE、BE，若∠AOB＝100°，求∠AEB的度数．

27．（8分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：y＝﹣2x+160，且规定商品的单价不能低于成本价，但不高于50元．
（1）销售单价为多少元时，每天能获得800元的利润；
（2）若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？
28．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与直线AC交于点F，直接写出BF的长．


2021-2022学年青海省海东市互助县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）
1．（3分）下列事件，是必然事件的是（　　）
A．投掷一枚硬币，向上一面是正面
B．射击一次，击中靶心
C．天气热了，新冠病毒就消失了
D．任意画一个多边形，其外角和是360°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、投掷一枚硬币，向上一面是正面，是随机事件；
B、射击一次，击中靶心，是随机事件；
C、天气热了，新冠病毒就消失了，是不可能事件；
D、任意画一个多边形，其外角和是360°，是必然事件；
故选：D．
2．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）已知⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能是（　　）
A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm
【分析】直径是圆中最长的弦．
【解答】解：∵⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能大于10cm．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
4．（3分）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（　　）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，
∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1．
故选：C．
5．（3分）若关于x的方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．2 B．1 C． D．﹣2
【分析】先根据根的判别式的意义得到m＜，然后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4m＞0，
解得m＜，
即m的值可以为﹣2．
故选：D．
6．（3分）有四张相同的卡片，正面上分别有2，3，4，3四个数字，将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到有数字3的卡片的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据概率公式直接解答即可．
【解答】解：∵有四张相同的卡片，正面上分别有2，3，4，3四个数字，
∴从中任意摸出一张，摸到有数字3的卡片的概率是＝．
故选：A．
7．（3分）下列说法中错误的是（　　）
A．直径是弦
B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆
C．三角形的外心到三个顶点的距离相等
D．两个半圆是等弧
【分析】利用圆的有关性质，确定圆的的条件和三角形的外心的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵直径是经过圆心的弦，
∴A选项的说法正确；
∵经过不在同一直线上三点可以确定一个圆，
∴B选项的说法正确；
∵三角形的外心是三边垂直平分线的交点，
∴三角形的外心到三个顶点的距离相等，
∴C选项的说法正确；
∵只有在同圆或等圆中的两个半圆是等弧，
∴D选项的说法错误，
故选：D．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判断不正确的是（　　）
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣2.5
0
1.5
2
1.5
A．当x＜0时，y随x的增大而增大
B．当x＝4时，y＝﹣2
C．顶点坐标为（1，2）
D．x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的一个根
【分析】求出二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，得出抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，2），选项C不符合题意；得出x＜1时，y随x的增大而增大，选项A不符合题意；当x＝4时，y＝﹣2.5，选项B符合题意；由抛物线的对称性得出x＝﹣1时，y＝0，选项D不符合题意．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+，
∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，2），选项C不合题意；
∴x＜1时，y随x的增大而增大，
∴x＜0时，y随x的增大而增大，正确，选项A不符合题意；
当x＝4时，y＝﹣2.5，错误，选项B符合题意；
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的一个根，正确，选项D不符合题意；
故选：B．
9．（3分）天猫某店铺9月份的销售额为100万元，11月份的销售额为144万元，设10、11月份的平均增长率为x，则可列方程（　　）
A．100（1+2x）＝144
B．100（1+x2）＝144
C．100（1+x）2＝144
D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝144
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设利润平均每月的增长率为x，根据“9月份的销售额为100万元，11月份的销售额为144万元”，可得出方程．
【解答】解：根据题意，可列方程为：100（1+x）2＝144．
故选：C．
（多选）10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论正确的是（　　）

A．abc＜0 B．4a﹣2b+c＜0 C．2a+b＝﹣1 D．c＝﹣3a
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可判断a，b．c符号及a与b的关系，根据图象可得x＝﹣2时y＜0，当x＝﹣1时y＝0．
【解答】解：A、抛物线对称轴位于y轴右侧，a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．
所以abc＞0．
故结论不正确；
B、如图所示，当x＝﹣2时y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
故结论正确；
C、如图所示，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＝1，
2a+b＝0．
故结论不正确；
D、如图所示，当a＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
又由b＝﹣2a，
所以c＝﹣3a，
故结论正确．
故选：BD．
二、填空题．（本大题8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）正方形的中心角为 　90°　．
【分析】先确定正方形的边数为4，再根据正n边形的中心角的度数是360°的n分之一求出正方形的中心角的度数即可．
【解答】解：∵正方形有4条边，
∴正方形的中心角为＝90°，
故答案为：90°．
12．（3分）在一个透明的口袋中装有只有颜色不同的黑白两种颜色的小球，某小组做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，随着次数的增加，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则从口袋中随机摸出1个球是黑球的概率约为 　　．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：因为不断重复，随着次数的增加，摸到白球的频率稳定在0.4附近，
所以摸到白球的概率约为0.4，
所以随机摸出1个球是黑球的概率约为．
故答案为：．
13．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线解析式为 　y＝﹣x2+1　．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1+1）2+3﹣2，即y＝﹣x2+1．
故答案为：y＝﹣x2+1．
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于 　120°　．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB＝70°，根据圆周角定理得到∠D＝∠A＝40°，∠BCD＝90°，进而求出∠DBC，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
由圆周角定理得：∠D＝∠A＝40°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣40°＝50°，
∴∠AEB＝∠DBC+∠ACB＝50°+70°＝120°，
故答案为：120°．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝3，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上，则BD＝　3　．

【分析】由旋转得AD＝AB，而∠B＝60°，所以△ABD是等边三角形，则BD＝AB＝3，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，
∴AD＝AB＝3，
∵点B的对应点D恰好落在BC边上，且∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝3，
故答案为：3．
16．（3分）关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的一个根是x1＝3，则它的另一个根x2＝　﹣1　．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1x2＝﹣3，
即3x2＝﹣3，
所以x2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
17．（3分）第十四届全运会在陕西西安开幕，九年级（2）班李明同学利用扇形彩色纸，制作了一个圆锥形火炬模型，如图是火炬模型的侧面展开图（接痕忽略不计），已知扇形彩色纸的半径为45cm，圆心角为40°，则这个圆锥的侧面积 　225π　cm2．（结果保留π）

【分析】直接根据扇形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：这个圆锥的侧面积为＝225π（cm2）．
故答案为：225π．
18．（3分）如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．如图2，则抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长　2　．

【分析】过点B作BN⊥x轴于N，可推出△AOB和△BON为等腰直角三角形，设点B坐标为（n，n），根据点B在抛物线y＝x2上，可求得点B和点A的坐标，从而得出AB的长．
【解答】解：过点B作BN⊥x轴于N，如图所示：

由题意得△AOB为等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∵AB∥x轴，
∴∠BON＝45°，
∴△BON是等腰直角三角形，
设点B坐标为（n，n），
∵点B在抛物线y＝x2上，
∴n2＝n，
∴n＝1或n＝0（不合题意，舍去），
∴点B坐标为（1，1），
∴点A坐标为（﹣1，1），
∴AB＝2．
故答案为：2．
三、解答题．（本大题10个小题，共66分）
19．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
20．（4分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标．

【分析】根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．
【解答】解：如图所示，△A1B1C1即为所求；C1（﹣1，﹣3）．

21．（4分）已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），且图象经过点（1，0），求该抛物线的解析式．
【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x+1）2+3，然后把（1，0）代入求出a即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+3，
把（1，0）代入得a•（1+1）2+3＝0，
解得a＝﹣．
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+3．
22．（6分）已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．

【分析】由圆内接四边形的性质得到∠ABC＝60°，由＝得到AB＝AC，根据等边三角形的判定可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∵＝，
∴AB＝AC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把Rt△ABC绕点B逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上，若BC＝8，AC＝6，求DE及BD的长．

【分析】由勾股定理可求AB的长，由旋转的性质可得DE＝AC＝6，AB＝BD＝10．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，
∴AB＝＝10，
∵把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，
∴DE＝AC＝6，AB＝BD＝10．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D．
（1）求证：AD＝3BD；
（2）求的长．（结果保留π）

【分析】（1）两次应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”即可证得结论；
（2）直接利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵BC＝4，BC为半圆O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4BD，
∴AD＝3BD；
（2）由（1）得∠B＝60°，
∴OC＝OD＝OB＝2，
∴弧BD的长为＝．
25．（8分）小明想购买70元的玩具汽车，他妈妈口袋里有四张面值分别为10元，20元，50元，100元的纸币．
（1）若从妈妈口袋里随机拿出1张纸币，则拿出的纸币是20元的概率为 　　；
（2）妈妈随机从口袋中拿出2张纸币去购买玩具汽车，请用画树状图或列表的方法求能买到玩具汽车的概率是多少？
【分析】（1）妈妈口袋里有四张纸币，其中20元的有1张，据此解答．
（2）列表得出所有等可能情况，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵妈妈口袋里有四张纸币，其中20元的有1张，
∴妈妈拿出的纸币是20元的概率为；
（2）依题意列表得：

10
20
50
100
10

（10，20）
（10，50）
（10，100）
20
（20，10）

（20，50）
（20，100）
50
（50，10）
（50，20）

（50，100）
100
（100，10）
（100，20）
（100，50）

由上表可得，共有12种等可能的结果，能买到玩具汽车的有8种，
所以能买到玩具汽车的概率＝＝．
26．（8分）如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA、OB．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）点E是⊙O上一动点，且不与点A、B重合，连接AE、BE，若∠AOB＝100°，求∠AEB的度数．

【分析】（1）根据切线的性质得到OB⊥BC，证明AD∥OB，根据平行线的性质得到∠DAB＝∠OBA，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，等量代换证明结论；
（2）分点E在优弧AB上、在劣弧AB上两种情况，根据圆周角定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵直线BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴AD∥OB，
∴∠DAB＝∠OBA，
∵OB＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠DAB＝∠OAB，
∴AB平分∠OAD；
（2）解：当点E在优弧AB上时，∠AEB＝∠AOB＝50°，
当点E′在劣弧AB上时，∠AE′B＝180°﹣50°＝130°，
综上所述，∠AEB的度数为50°或130°．

27．（8分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：y＝﹣2x+160，且规定商品的单价不能低于成本价，但不高于50元．
（1）销售单价为多少元时，每天能获得800元的利润；
（2）若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？
【分析】（1）根据销量×每件的利润＝800列出一元二次方程，解方程并根据x的取值范围确定x的值；
（2）根据销量×每件的利润＝总利润列出函数解析式，并根据函数的性质以及自变量的取值范围求最值．
【解答】解：（1）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
整理得：x2﹣110x+2800＝0，
解得x1＝40，x2＝70，
∵商品的单价不能低于成本价，但不高于50元，
∴30≤x≤50，
∴x＝40，
答：销售单价为40元时，每天能获得800元的利润；
（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，
∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，
答：若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价定为50元，最大利润1200元．
28．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与直线AC交于点F，直接写出BF的长．

【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式．
（2）先求△ABC面积，△ABD以AB为底，D的纵坐标的绝对值为高，根据面积求D纵坐标．
（3）先求F坐标，再根据勾股定理求出BF的长．
【解答】解：（1）根据题意，得
．
解得．
所以．
（2）当x＝0时，y＝2．
∴点C的坐标为（0，2）．
∵AB＝1+4＝5，
∴．
设点D的坐标为．
①由．
得x1＝1，x2＝2．
∴当x＝1时，．
当x＝2时，．
∴点D的坐标为（1，3）或（2，3）．
②当．
得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）．
∴当x＝5时，．
∴点D的坐标为（5，﹣3）．
所以存在点D的坐标为（1，3），（2，3）或（5，﹣3）．
．
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形，
∴BC⊥AC，
过F作FM⊥x轴于点M．
∵∠FBC＝∠CFB＝45°，
∴，
∵OC∥FM，
∴．
∴AM＝3，FM＝6．
∴点F的坐标为（2，6）．
∴BF＝＝2．