2023-2024学年青海省西宁市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年青海省西宁市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 2B. 0.5C. 16D. 4
2.下列化简正确的是( )
A. ( 13)2=19B. (−7)2=−7C. 2.5=0.5D. 27 3=3
3.某数学兴趣小组6位同学的数学竞赛成绩(单位：分)如下：78，96，86，86，9⬝，88，其中一个数据的个位数被墨水抹黑了，以下统计量不受影响的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
4.如图，直线a//b，△ABC和△DBC的面积分别为S1和S2，则( )
A. S1B. S1=S2
C. S1>S2
D. 不能确定
5.某市出租车收费y(元)与行驶公里数x(千米)之间的函数关系如图所示.根据图象提供的信息，下列说法错误的是( )
A. 出租车起步价是8元
B. 行驶2.8千米收费8元
C. 出租车每千米收费1.2元
D. 超过3千米时收费y与x之间的函数关系式是y=1.2x+4.4(x>3)
6.如图，直线y1=x+3与直线y2=kx交于点P(a,2)，则关于x的不等式x+3>kx的解集( )
A. x<−1
B. x>−1
C. x<2
D. x>2
7.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是8，则AB的长为( )
A. 4 2
B. 2 2
C. 6
D. 4
8.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，以2cm/s速度沿折线B−C−D−A匀速运动至点A停止.设点P的运动时间为t(s)，△PAB的面积为y(m2)，y关于t的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的对角线长为( )
A. 4 10cmB. 2 10cmC. 5cmD. 10cm
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9. 2x在实数范围内有意义，则x的范围是______.
10.小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是70分、90分、80分.若将三项得分依次按3：3：4的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分.
11.计算：4 5−1=______.
12.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=50∘，则∠BAO=______ ∘.
13.一次函数的图象经过第一、二、四象限，这个函数的解析式可以是______.(写出一个即可)
14.若一个直角三角形的两边长分别为6和8，则其斜边上的中线长为______.
15.两张全等的矩形纸片按如图的方式交叉叠放在一起，若AB=AF=1，BC=3，则图中重叠(阴影)部分的面积为______.
16.如图，在▱ABCD中，∠C=120∘，AB=2，点P是BC边上的动点，连接AP，DP，E是AD的中点，F是PD的中点，则EF的最小值是______.
三、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：2 20−10 15+ 45.
18.(本小题5分)
计算：(2 2− 3)2− 2( 3+ 2).
19.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOB=60∘，AB=6，求四边形ABCD的面积.
20.(本小题8分)
某校要从一个班级中选取10名同学组成礼仪队，八(1)班和八(2)班选取的学生身高(单位：厘米)如下：
八(1)班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170
八(2)班：165 167 169 170 165 168 170 170 169 167
根据以上信息回答下列问题：
(1)m=______，n=______；
(2)请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取.
21.(本小题8分)
已知△ABC≌△EDF，∠ACB=90∘，将它们按照如图所示摆放在直线l上，使点B与点E重合，连接AD，得到的四边形ACFD是梯形.设△ABC的三边分别为a，b，c，请用此图证明勾股定理.
22.(本小题8分)
小明的妈妈先从家出发，以40米/分钟的速度步行到离家a米的公园散步；小明随后也从家跑步到公园锻炼，在到达公园后立即以原速返回家中.两人离家的距离y(米)与出发时间x(分钟)的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
(1)a=______，b=______；
(2)求CD所在直线的函数解析式；
(3)妈妈出发______分钟后与小明第二次相遇.
23.(本小题8分)
小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
【概念理解】
(1)在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是______.(填写相应的序号)
【类比学习】
(2)如图1，若AC=3 6，BD=4 2，则S四边形ABCD=______；
【性质探究】
(3)探究垂美四边形的四条边AB，BC，CD，AD之间的数量关系：(将下列探究过程补充完整)
在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2，在Rt△BOC中，BC2=OB2+OC2
在Rt△COD中，CD2=OC2+OD2，在Rt△AOD中，AD2=OA2+OD2
∴AB2+CD2=______+______.
【问题解决】
(4)如图2，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，且AD⊥BE，垂足为O.若AC=6，BC=8，则AB的长为______.
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+52与x轴，y轴分别交于点A和点B，与直线y=−2x交于点C.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)判断△OBC的形状，并说明理由；
(3)点P在直线AB上，点N是平面内一点，且满足以O，C，P，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、 2是最简二次根式，符合题意；
B、 0.5= 22，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 16，含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 4=2，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A.
根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含有分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可．
本题考查最简二次根式的判别，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：( 13)2=13≠19，故选项A化简不正确；
(−7)2= 49=7≠−7，故选项B化简不正确；
2.5= 102≠0.5，故选项，C化简不正确；
27 3= 273= 9=3，故选项D化简正确．
故选：D.
利用二次根式的性质和二次根式的运算法则逐个计算得结论．
本题考查了二次根式，掌握二次根式的性质和分母有理化是解决本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：这组数据从小到大重新排列为78，86，86，88，96，9⬝或78，86，86，88，9⬝，96，
这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，
而这组数据的中位数为86与88的平均数，与被涂污数字无关．
故选：B.
根据中位数的定义求解即可．
此题主要考查了方差、平均数、众数、中位数．
4.【答案】B
【解析】解：过点A作AE⊥b交直线于b于点E，过点D作DF⊥b交直线b于点F.
S1=S△ABC=12BC⋅AE，S2=S△DBC=12BC⋅DF，
∵直线a//b，
∴AE=DF，
∴S1=S2.
故选：B.
过点A作AE⊥b交直线于b于点E，过点D作DF⊥b交直线b于点F，由三角形面积公式写出S1和S2的表达式，根据“两条平行线之间的距离处处相等”即可得出结论．
本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及两条平行线之间的距离处处相等是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由图象过(0,8)知，行驶0千米，收费8元，故出租车起步价是8元，A正确，不符合题意；
由图象知，0≤x≤3时，y=8，故x=2.8时，y=8，即行驶2.8千米收费8元，B正确，不符合题意；
出租车在0≤x≤3时，收费8元，当x>3时，超过部分每千米收费1.2元，故C错误，符合题意；
超过3千米，即x>3时，收费y与x之间的函数关系式是y=8+(9.2−8)×(x−3)=1.2x+4.4，故D正确，不符合题意；
故选：C.
由图象过(0,8)知知租车起步价是8元，判断A正确；由图象知，0≤x≤3时，y=8，可判断B正确；出租车在0≤x≤3时，收费8元，当x>3时，超过部分每千米收费1.2元，可判断C错误；超过3千米，即x>3时，收费y与x之间的函数关系式是y=8+(9.2−8)×(x−3)=1.2x+4.4，判断D正确．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
6.【答案】B
【解析】解：∵直线y1=x+3与直线y2=kx交于点P(a,2)，
∴2=a+3，
解得a=−1，
∴P(−1,3)，
由函数图象可知，当x>−1时x+3>kx，
故选：B.
先求出P点坐标，再利用函数图象可直接得出结论．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题，能利用函数图象得出不等式的解集是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥CD于点F，
则：∠OEM=∠OFN=∠OFD=90∘，
∵正方形ABCD，
∴OA=OD=OC，∠ADC=90∘，
∴AE=DE=12AD=12CD=DF，四边形OEDF为矩形，
∴四边形OEDF为正方形，
∴OE=OF，∠EOF=90∘，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90∘=∠EOF，
∴∠EOM=∠FON，
∴△OEM≌△OFN(ASA)，
∴正方形OFDE的面积等于四边形MOND的面积，
∴DE2=8，
∴DE=2 2(负值已舍掉)；
∴AB=AD=2DE=4 2；
故选：A.
过点O作OE⊥AD，OF⊥CD，证明△OEM≌△OFN，进而得到四边形MOND的面积等于正方形OFDE的面积，进而求出DE的长，即可得解．
本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
8.【答案】D
【解析】解：∵点P以2cm/s速度运动t秒，
∴点P路程为2t cm，
当点P运动到点C处时，t=3，
∴BC=2×3=6(cm)，
当点P运动到点D处时，t=7，
∴BC+CD=2×7=14(cm)，
∴CD=8cm，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=8cm，
∴AC= AB2+BC2=10(cm).
故选：D.
分别分析当点P运动到点C处时和当点P运动到点D处时的路程，求出BC和CD，利用勾股定理求出AC即可．
本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
9.【答案】x≥0
【解析】解：根据题意得：2x≥0，
解得x≥0.
故答案为：x≥0.
根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10.【答案】80
【解析】解：小明的最终比赛成绩为70×310+90×33+3+4+80×43+3+4=80(分).
故答案为：80.
根据加权平均数的公式计算，即可求解．
本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．
11.【答案】 5+1
【解析】解：4 5−1=4( 5+1)( 5−1)( 5+1)= 5+1.
故答案为： 5+1.
直接利用有理化因式将原式化简进而求出答案．
此题主要考查了分母有理化，正确找出有理化因式是解题关键．
12.【答案】65
【解析】解：∵菱形ABCD中，∠ABC=40∘，AC⊥BC，
∴∠ABO=12∠ABC=25∘，∠AOB=90∘，
∴∠BAC=90∘−∠ABO=90∘−25∘=65∘.
故答案为：65.
由菱形的性质可得∠ABO的度数，再根据余角的性质可得答案．
此题考查的是菱形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
13.【答案】y=−x+1(答案不唯一)
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二，四象限，
∴k<0，b>0，
∴k的值可以为−1，
故答案为：y=−x+1(答案不唯一).
由一次函数的图象经过的象限判断出k的取值范围，由此即可确定最后的答案．
本题主要考查的是一次函数的性质，熟知直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限．k<0时，直线必经过二、四象限．b>0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交是解题的关键．
14.【答案】5或4
【解析】解：当6和8均为直角边时，
斜边= 62+82=10，
则斜边上的中线等于5，
当6为直角边，8为斜边时，
则斜边上的中线等于4，
所以，斜边上的中线长为5或4，
故答案为：5或4.
分两种情况，当6和8均为直角边时，当6为直角边，8为斜边时，进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，分两种情况进行计算是解题的关键．
15.【答案】53
【解析】解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB=CE，∠B=∠E=90∘，AD//BC，AE//CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
∠B=∠E∠AGB=∠CGEAB=CE，
∴△ABG≌△CEG(AAS)，
∴AG=CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG=CG=x，则BG=BC−CG=3−x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3−x)2=x2，
解得：x=53，
∴CG=53，
∴菱形AGCH的面积=CG×AB=53×1=53，
即图中重叠(阴影)部分的面积为53，
故答案为：53.
先证四边形AGCH是平行四边形，再证△ABG≌△CEG(AAS)，得AG=CG，则四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC−CG=3−x，然后在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程得出CG的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出CG的长是解题的关键．
16.【答案】 32
【解析】解：如图，过点A作AN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=120∘，
∴∠B=60∘，
∵AN⊥BC，
∴∠BAN=30∘，
∴BN=12AB=1，
∴AN= 3，
∵E、F分别为AD、DP的中点，
∴EF=12AP，
∴当AP⊥BC时，AP有最小值，即EF有最小值，
∴当点P与点N重合时，AP的最小值为 32，
∴EF的最小值为 32.
故答案为： 32.
由三角形中位线定理可得EF=12AP，当AP⊥BC时，AP有最小值，即EF有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17.【答案】解：原式=4 5−2 5+3 5
=5 5.
【解析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
18.【答案】解：原式=(2 2)2+( 3)2−4 6− 6−2
=8+3−4 6− 6−2
=9−5 6.
【解析】先进行完全平方公式和乘法运算，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=12ACOB=OD=12BD，
∵∠1=∠2，
∴OB=OC，
∴OA=OB=OC=OD，即AC=BD，
∴▱ABCD是矩形；
(2)解：∵OA=OB∠AOB=60∘，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=6，
∴AC=12，
∵▱ABCD是矩形，
∴∠ABC=90∘，
在Rt△ABC中，AC=12AB=6，
∴BC= AC2−AB2= 122−62=6 3，
∴S矩形ABCD=6×6 3=36 3.
【解析】(1)根据等角对等边得出OB=OC，根据平行四边形性质求出OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，推出AC=BD，根据矩形的判定推出即可；
(2)根据矩形的性质和等边三角形的性质解答即可．
本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，灵活运用矩形的性质是本题的关键．
20.【答案】168168.5
【解析】解：(1)八(1)班的数据中：168出现的次数最多，
∴m=168；
八(2)班的数据排序后，第5个和第6个数据分别为：168，169，
∴n=12(168+169)=168.5；
(2)两个班学生身高的平均数相同，(1)班学生身高的方差小，身高的波动较小，所以会选择(1)班．
(1)根据众数和中位数的方法进行求解即可；
(2)利用方差作决策即可．
本题考查求中位数和众数，利用方差作决策，熟练掌握各统计量的特征是解答本题的关键．
21.【答案】证明：∵△ABC≌△BDF，
∴∠ACB=∠BFD=90∘，∠BAC=∠DBF，BC=DF=a，AC=BF=b，AB=BD=c，
∵∠ABC+∠BAC=90∘，
∴∠DBF+∠ABC=90∘，
∴∠ABD=90∘，
∵S梯形ACFD=S△ABC+S△DBF+S△ABD，
∴12(a+b)(a+b)=12ab+12ab+12c2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2.
【解析】根据全等三角形的性质得到BC=DF=a，AC=BF=b，AB=BD=c，证明∠ABD=90∘，再根据梯形面积公式、三角形面积公式计算，即可证明．
本题考查的是梯形的性质、勾股定理的证明，掌握全等三角形的性质、梯形的面积公式是解题的关键．
22.【答案】48099.6
【解析】解：(1)小明的妈妈12分钟时离家的距离为40×12=480(米)，
∴a=480；
∵小明去公园与返回家的过程中速度相等，路程相等，
∴这两个过程所用的时间相等，即b−6=12−b，
∴b=9.
故答案为：480，9.
(2)∵a=480，b=9，
∴C(9,480).
设CD所在直线的函数解析式为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0).
将坐标C(9,480)和D(12,0)分别代入y=kx+b，
得9k+b=48012k+b=0，
解得k=−160b=1920，
∴CD所在直线的函数解析式为y=−160x+1920(9≤x≤12).
(3)OA所在直线的函数解析式为y=40x(0≤x≤12).
当妈妈与小明第二次相遇时，得40x=−160x+1920，
解得x=9.6，
∴妈妈出发9.6分钟后与小明第二次相遇．
故答案为：9.6.
(1)根据“路程=速度×时间”求出小明的妈妈12分钟时离家的距离，即a的值；根据“小明去公园与返回家的过程中速度相等，路程相等，从而所用时间相等”列方程并求解即可；
(2)利用待定系数法求解即可；
(3)根据“路程=速度×时间”求出OA所在直线的函数解析式，求出OA与CD交点的横坐标即可．
本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键．
23.【答案】③④ 12 3 AD2 BC2 2 5
【解析】解：(1)∵菱形的对角线互相垂直，正方形的对角线互相垂直，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形，
故答案为：③④；
(2)∵S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD，
∴S四边形ABCD=12×BD×OA+12×BD×OC=12×BD×(OA+OC)=12×BD×AC=12×4 2×3 6=12 3，
故答案为：12 3；
(3)∵在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2，在Rt△BOC中，BC2=OB2+OC2，在Rt△COD中，CD2=OC2+OD2，在Rt△AOD中，AD2=OA2+OD2，
∴AB2+CD2=(OA2+OB2)+(OC2+OD2)=(OA2+OD2)+(OB2+OC2)=AD2+BC2，
故答案为：AD2；BC2；
(4)∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE=12AB，BD=12BC=4，AE=12AC=3，
由(3)得：AB2+DE2=AE2+BD2，
∴AB2+(12AB)2=32+42，
∴54AB2=25，
∴AB=2 5，
故答案为：2 5.
(1)菱形的对角线互相垂直，正方形的对角线互相垂直，菱形和正方形一定是垂美四边形；
(2)S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=12×BD×OA+12×BD×OC=12×BD×(OA+OC)=12×BD×AC=12×4 2×3 6=12 3；
(3)AB2+CD2=(OA2+OB2)+(OC2+OD2)=(OA2+OD2)+(OB2+OC2)=AD2+BC2；
(4)根据点D，E分别是边BC，AC的中点，得出DE=12AB，BD=12BC=4，AE=12AC=3，由(3)得：AB2+DE2=AE2+BD2，得出AB2+(12AB)2=32+42，得到AB=2 5.
本题考查了菱形的性质，正方形的性质，新定义“垂美四边形”，勾股定理等，掌握勾股定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)直线y=12x+52与x轴的交点，令y=0，
∴12x+52=0，解得：x=−5，
∴A(−5,0)，
∵直线y=12x+52与y轴的交点，令x=0，则y=2.5，
故点B(0,2.5)，
直线y=12x+52与直线y=−2x的交点是点C，
∴y=12x+52y=−2x，解得：x=−1y=2；
故点C(−1,2)；
(2)△OBC是直角三角形，理由如下：
过点C作CD⊥y轴于点D，
∴D(0,2)，
在Rt△COD中，OC2=22+12=5，
在Rt△BCD中，BC2=(52−2)2+12=54，
∴OB2=(52)2=254，
∵CO2+BC2=5+54=254，
故OC2+BC2=OB2，
∴△OBC是直角三角形；
(3)设点P(x,12x+52)，
由题意得，PC=OC，
即12+22=(x+1)2+(12x+52−2)2，
解得：x=1或=3，
故P的坐标是(−3,1)，(1,3).
【解析】(1)对于y=12x+52，令y=0，求出A(−5,0)，令x=0，求出点B(0,2.5)，联立直线y=12x+52与直线y=−2x的表达式得到点C(−1,2)；
(2)证明OC2+BC2=OB2，即可求解；
(3)由题意得，PC=OC，即可求解．
本题是一次函数综合题，涉及到正方形的性质、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中．班级
平均数
方差
中位数
众数
八(1)班
168
3.2
168
m
八(2)班
168
3.4
n
170