（人教A版2019选择性必修第一册）数学 专题2.8 圆与圆的位置关系【七大题型】（举一反三）（原卷版+解析）

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专题2.8 圆与圆的位置关系【七大题型】【人教A版（2019）】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc9599" 【题型1 圆与圆的位置关系的判定】  PAGEREF _Toc9599 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc6695" 【题型2 由圆与圆的位置关系确定参数】  PAGEREF _Toc6695 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc9094" 【题型3 两圆的公切线长】  PAGEREF _Toc9094 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc28689" 【题型4 两圆的公切线方程或条数】  PAGEREF _Toc28689 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc13416" 【题型5 相交圆的公共弦方程】  PAGEREF _Toc13416 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc32172" 【题型6 两圆的公共弦长】  PAGEREF _Toc32172 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc25203" 【题型7 圆系方程及其应用】  PAGEREF _Toc25203 \h 15【知识点1 圆与圆的位置关系及判定】1．圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.(2)圆与圆的位置关系的判定方法①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当0存在公共点，则m的值不可能为（    ）A．3 B．32 C．5 D．42【变式2-3】（2023秋·贵州黔东南·高二校考期末）已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x−22+y−22=r2r>1有两个交点，则r的取值范围是（    ）A．1,2+1 B．22−1,22+1C．1,2+1 D．22−1,22+1【知识点2 两圆的公切线】1．两圆的公切线(1)两圆公切线的定义两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.(2)两圆的公切线位置的5种情况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；③相交时，有2条公切线，都是外公切线；④内切时，有1条公切线；⑤内含时，无公切线.判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。(3)求两圆公切线方程的方法求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.【题型3 两圆的公切线长】【例3】（2022·全国·高二专题练习）若直线l与圆C1:x+12+y2=1，圆C2:x−12+y2=4都相切，切点分别为A、B，则AB=（    ）A．1 B．2 C．3 D．22【变式3-1】（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆A的方程为x2+y2−2x−2y−7=0，圆B的方程为x2+y2+2x+2y−2=0.(1)判断圆A与圆B是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.(2)求两圆的公切线长.【变式3-2】（2023·高二单元测试）已知圆C1:(x−1)2+(y−2)2=9，C2:(x−2)2+(y−3)2=4(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；(2)若动直线l与圆C1交于P，Q，且线段PQ的长度为26，求证：存在一个定圆C，直线l总与之相切.【变式3-3】（2022秋·吉林长春·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2−4x=0，C2：x2+y2+4x+3=0，及点A−1,0和B1,2.(1)求圆C1和圆C2公切线段的长度；(2)在圆C1上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由.【题型4 两圆的公切线方程或条数】【例4】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2−8x+6y+m=0相内切，则C1与C2的公切线方程为（    ）A．3x−4y−5=0 B．3x−4y+5=0C．4x−3y−5=0 D．4x−3y+5=0【变式4-1】（2022秋·贵州遵义·高二校联考期末）圆C1:(x+2)2+(y+4)2=25与圆C2:(x+1)2+y2=9的公切线的条数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式4-2】（2022秋·全国·高二专题练习）已知圆M:x−22+y−12=1，圆N:x+22+y+12=1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（    ）A．y=0 B．4x−3y=0C．x−2y+5=0 D．x+2y−5=0【变式4-3】（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆C1：x2+y−a2=a2a>0的圆心到直线x−y−2=0的距离为22，则圆C1与圆C2：x2+y2−2x−4y+4=0的公切线共有（    ）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【知识点3 两圆的公共弦】1．两圆的公共弦问题(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.设圆:，①圆:，②①-②，得，③若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.(2)求两圆公共弦长的方法①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长.【题型5 相交圆的公共弦方程】【例5】（2022秋·高二课时练习）已知圆C1：x2+y2+2x−6y+1=0与圆C2：x2+y2−4x+2y−11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程（    ）A．3x+4y+6=0 B．3x+4y−6=0C．3x−4y−6=0 D．3x−4y+6=0【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）已知圆 C1:x2+y2−kx+2y=0与圆C2:x2+y2+2ky−1=0的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（    ）A．1,−12 B．1,12C．−1,−12 D．−1,12【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过点P(3,0)作圆O:(x−1)2+(y−23)2=4的两条切线，切点分别为A,B．则直线AB的方程为（    ）A．x−3y+3=0 B．x+3y+3=0C．3x−y+3=0 D．3x+y+3=0【变式5-3】（2023·河南·统考二模）若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x−a)2+(y−b)2=1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（    ）A．2ax+by−1=0 B．2ax+by−3=0C．2ax+2by−1=0 D．2ax+2by−3=0【题型6 两圆的公共弦长】【例6】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆O1:x2+y2−4y−6=0与圆O2:x2+y2−6x+8y=0公共弦长为（    ）A．5 B．10C．25 D．35【变式6-1】（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）圆C1：x2+y2−4=0与圆C2：x2+y2−4x+4y+4=0的公共弦的弦长等于（    ）A．2 B．4 C．2 D．22【变式6-2】（2021秋·高二课时练习）圆C1:x2+y2+2ax+2ay+2a2−1=0与圆C2:x2+y2+2bx+2by+2b2−2=0的公共弦长的最大值是（    ）A．12 B．1 C．32 D．2【变式6-3】（2022秋·河南·高二校联考期中）已知圆O:x2+y2=r2r>0与圆C:x2+y2+8x+6y+16=0交于A、B两点，且四边形OACB的面积为3r，则AB=（    ）A．95 B．165 C．245 D．365【知识点4 圆系方程及其应用】1．圆系方程及其应用技巧具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是.(5)过两圆:和:的交点的圆系方程是 ().(其中不含有:,注意检验是否满足题意,以防漏解).①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程.②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程.【题型7 圆系方程及其应用】【例7】（2022·高二课时练习）求过两圆x2+y2−2y−4=0和x2+y2−4x+2y=0的交点，且圆心在直线2x+4y−1=0上的圆的方程（    ）A．x2+y2+3x+y−1=0 B．x2+y2−4x−y−1=0C．x2+y2+3x+y−4=0 D．x2+y2−3x+y−1=0【变式7-1】（2023·全国·高二专题练习）过点M(2,−2)以及圆x2+y2−5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是（    ）A．x2+y2−154x−12=0 B．x2+y2−154x+12=0C．x2+y2+154x−12=0 D．x2+y2+154x+12=0【变式7-2】（2022秋·重庆·高二校联考阶段练习）求过两圆x2+y2+2x−4y−4=0和x2+y2−4x+2y+2=0的交点，且圆心在直线x+2y+2=0上的圆的方程（    ）A．x2+y2−8x+6y+6=0 B．x2+y2−4x+4y+6=0C．x2+y2−8x+6y−6=0 D．x2+y2−4x+4y−6=0【变式7-3】（2022·全国·高二专题练习）若圆C的圆心在直线x−y−4=0上，且经过两圆x2+y2−4x−6=0和x2+y2−4y−6=0的交点，则圆C的圆心到直线3x+4y+5=0的距离为（    ）A．0 B．85 C．2 D．185专题2.8 圆与圆的位置关系【七大题型】【人教A版（2019）】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc9599" 【题型1 圆与圆的位置关系的判定】  PAGEREF _Toc9599 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc6695" 【题型2 由圆与圆的位置关系确定参数】  PAGEREF _Toc6695 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc9094" 【题型3 两圆的公切线长】  PAGEREF _Toc9094 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc28689" 【题型4 两圆的公切线方程或条数】  PAGEREF _Toc28689 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc13416" 【题型5 相交圆的公共弦方程】  PAGEREF _Toc13416 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc32172" 【题型6 两圆的公共弦长】  PAGEREF _Toc32172 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc25203" 【题型7 圆系方程及其应用】  PAGEREF _Toc25203 \h 15【知识点1 圆与圆的位置关系及判定】1．圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.(2)圆与圆的位置关系的判定方法①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当1有两个交点，则r的取值范围是（    ）A．1,2+1 B．22−1,22+1C．1,2+1 D．22−1,22+1【解题思路】根据两圆相交的性质直接得出.【解答过程】由题意知，圆心C10,0与圆心C22,2，则圆心距C1C2=22，因为圆C1与圆C2有两个交点，则圆C1与圆C2相交，则r−1