人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用当堂检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用当堂检测题，共42页。
考点一：空间向量中的距离问题
1.点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq \r(a2－a·u2)
2.点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)．
考点二：空间向量中的夹角问题

【题型归纳】
题型一：点到平面的距离的向量求法
1．如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为？


2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
（1）求点M到直线AC1的距离；
（2）求点N到平面MA1C1的距离．











题型二：平行平面的距离的向量求法
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，
（1）证明：平面AMN∥平面EFBD；
（2）求平面AMN与平面EFBD间的距离．




4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离.










题型三：异面直线夹角的向量求法
5．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，为的中点.
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值.



6．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成角的余弦值.






题型四：线面角的向量求法
7．如图，在多面体中，平面，点到平面的距离为，是正三角形，，．
（1）证明：．
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，.
（1）求证：；
（2）若为棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值.
题型五：面面角的向量
9．如图1，在平面四边形ABCD中，BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且ME⊥AB.沿着AC将△ACD折起来，使得平面ACD⊥平面ABC，如图2.
（1）求证∶BC⊥AD；
（2）求二面角A-DM-E的余弦值.



10．如图，在四棱柱中，平面，，，，，若与交于点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．




【双基达标】
11．在正四棱柱中，AB=2，过、、B三点的平面截去正四棱柱的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为，点P，Q分别是和AC的中点.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求直线C1D与平面所成角的大小.（用反三角函数表示）


12．如图，在矩形中，，E为边上的点，，以为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且使二面角为直二面角，三棱锥的体积为.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.




13．直角梯形绕直角边旋转一周的旋转的上底面面积为，下底面面积为，侧面积为，且二面角为，，分别在线段，上．
（Ⅰ）若，分别为，中点，求与所成角的余弦值；
（Ⅱ）若为上的动点、为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值．


14．如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
15．已知四棱锥，底面为平行四边形，，，，，．
（Ⅰ）若平面平面，证明：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．



16．如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求点到直线的距离；
（4）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值.


【高分突破】
17．如图，四边形ABCD是矩形，，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF⊥平面ABCD；
（1）求证：AF⊥平面BEG；
（2）若，求直线EG与平面ABG所成的角的正弦值.


18．如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．
（1）求证：平面CC1D1D⊥底面ABCD；
（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段ED1的长度．







19．如图，在中，．O为的外心，平面，且．
（1）求证： 平面；
（2）设平面平面；若点M在线段上运动，且，当直线l与平面所成角取最大值时，求的值




20．如图，在三棱台中，，、分别为、中点.
（1）求证：平面；
（2）若，且平面，令二面角的平面角为，求.



21．在四棱锥中，底面为梯形，，，侧棱底面，E为侧棱上一点，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．



22．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点．
（1）求与所成角的余弦值．
（2）求证：平面．
（3）求平面与平面的夹角的正弦值．




23．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；




24．如图，在三棱锥中，平面平面，，，．
（1）证明：．
（2）若为的中点，为上一点，，求直线与平面所成角的正弦值．




25．如图，已知为圆锥底面的直径，点在圆锥底面的圆周上，，，平分，是上一点，且平面平面.
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.


26．如图，在三棱柱中，平面，，.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小；
（3）点在线段上，且，试问在线段上是否存在一点，满足平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由？


【答案详解】
1．
解：如图以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，设＝λ，λ∈[0，1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)．
又＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，
设为平面AED的法向量，则⇒
取x＝1，则y＝，z＝2，即，
由于d＝＝，
∴＝，又λ∈(0，1)，解得λ＝，
所以，存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为.
2．
由题意，分别以为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，
（1）直线AC1的一个单位方向向量为，，
故点M到直线AC1的距离.
（2）设平面MA1C1的法向量为，
则,即
不妨取x＝1，得z＝2，故为平面MA1C1的一个法向量，
因为N(1，1，0)，所以,
故N到平面MA1C1的距离
.
3．
（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，
E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．
从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，
所以，，所以EF∥MN，AM∥BF．
又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD，
平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD，
因为MN∩AM＝M，
所以平面AMN∥平面EFBD；
（2）解：因为平面AMN∥平面EFBD，
所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离．
设是平面AMN的法向量，
则有即，可取，
由于＝(0，4，0)，
所以点B到平面AMN的距离为，
所以平面AMN与平面EFBD间的距离为．
4．.
如图，连接OO1，则，且
所以四边形为平行四边形，所以AO1OC1，
平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，
又OBO1B1，
平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，
又AO1O1B1＝O1，所以平面AB1O1平面BC1O.
∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离.
根据题意，OO1⊥底面ABC，，两两垂直.
则以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∵O(0,0,0)，，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，

设为平面BC1O的法向量，则
即取可得
点O1到平面BC1O的距离记为d，
则d＝＝＝.
∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离为.
5．
如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）依题意得、，因此，，
因此，线段的长为；
（2）依题意得、、、，
，，
所以，，
故与所成角的余弦值为.
6．
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz.
则E（），，
（1）∵，，
∵，
（2）由（1）知，
∴，
，
，
设EF与C1G所成角为，则
故EF与C1G所成角的余弦值为
7．
（1）证明：如图，取的中点，连接，．
，
，且，
就是点到平面的距离，即平面
平面，
，
又，四边形是平行四边形，
是正三角形，
，
．
（2）解：由（1）得平面，
以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，，
，，
则由得，令，得．
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值．
8．
（1）∵，，为的中点，∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴，∵平面，平面，∴平面，
∵平面，平面平面，∴.
（2）∵，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，分别以，，所在的直线为，，轴，
建立直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，则，，
即，令，则，
∴直线与平面所成角的正弦值.
9．
（1）∵平面ACD⊥平面ABC.平面ACD∩平面ABC=AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD，∵AD平面ACD，∴BC⊥AD.
（2）根据题意，以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立如图的空间直角坐标系，
∵BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，
∴BC=2，AC=，CD=，CM=AC-AM=.
∴，
∴，，
设平面MDE的法向量为，则，即，令，得y=3，z=-1，∴，
由（1）知，平面MAD的一个法向量为=（0，2，0），
∴.
∴二面角A-DM-E的余弦值为.
10
（1）由可得，，
又，即，
，又平面，平面，
平面.
（2）如图，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，由，可得
，取，可得，
设平面的法向量为，由，
可得，取，可得，
由图可知两平面所成的角为锐角，余弦值为
.
11．
（1）设正四棱柱的高为，
因为几何体的体积为，所以，
解得，即，
所以正四棱柱为正方体.
所以连接与，则交点为，连接与，则交点为，
在正方体中，，所以为异面直线与所成的角或所成角的补角.
因为,所以面,
又因为面,所以，
在中，，所以，
因为，所以，
即异面直线与所成角为.
（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，,

设面的法向量为，
则 ，即 ，取，所以，
设直线C1D与平面所成角为，
则，
所以，即直线C1D与平面所成角为.
12．
（1）由，设的中点为O，连接，则，
又二面角为直二面角，故平面，设，则，
又，得三棱锥的体积，
即，得，
于是由，所以，所以，
又平面平面，得平面，则，
又，且，所以平面，
又平面，
故平面平面.
（2）以的中点O为坐标原点，以的方向为z轴正方向，过点O分别作和的平行线，分别为x轴和y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，
设为平面的法向量，则有，
即，可取，
设为平面的法向量，则有，即，可取，
所以，由图形知二面角为钝角，其余弦值为.
13．
（Ⅰ）设圆台上、下底面半径分别为，．
∵，∴；∵，∴．
∵，∴．
过点作于点，则，
，∴圆台的高为．
∵二面角是直二面角，
∴建立空间直角坐标系如图所示，
点，，，，，
∴，
∴与所成角的余弦值为．
（Ⅱ）取的中点，连接，，，
∴，则．
∵平面，∴平面，
∴为直线与平面所成角，，
当时，最小，最大．
在中，，，，，
，即与平面所成最大角的正切值为．
又点，，，，
设点，平面的法向量，，，即，∴，
则，，，即，
解得，．
即令得．
易知平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则．
由图易得二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为．
14．
（1）在中，因为，，，
所以，故.
又平面平面，平面平面，面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）以所在直线为轴，所在直线为y轴，过点垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
设平面的法向量，
由可得，令，则，，
所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
15．
（Ⅰ）证明：因为底面为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
又因为平面平面，
根据线面平行的性质定理，，
所以．
（Ⅱ）由题意得，，，
所以，，．
又，所以平面．
因为，所以平面．
又，所以，，两两垂直．
以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则
令，则，，则一个法向量．
设平面的法向量为，
则
令，则，，则一个法向量，
则．
由图易得二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
16．
（1）证明：取的中点，连接，，
因为四边形为矩形，
则且，
因为，分别是，的中点，
则且，
又是正方形的中心，
则，
所以且，
则四边形是平行四边形，
故，
又平面，平面，
故平面；
（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，所以，，
设平面的法向量为，
则，即，不妨令，则，
因为平面，
则平面的一个法向量为，
所以，
则二面角的正弦值为；
（3）解：因为，，，
则，，
所以，
所以点到直线的距离为；
（4）解：因为，
则，
设，
则，
解得，
故，
所以，
故直线和平面所成角的正弦值为.
17．
（1）因为且，
所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，所以平面；
（2）据题意，建立空间直角坐标系如下图所示：
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
设平面的一个法向量为，，
由可得，取，所以，
设直线与平面所成角大小为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．
（1）证明：因为底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，
所以AD⊥CD，AD⊥DD1，
又CD∩DD1＝D，CD，DD1⊂平面CDD1C1，
所以AD⊥平面CDD1C1，又D1E⊂平面CDD1C1，
所以AD⊥D1E，又CD⊥D1E，且CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ABCD，
故D1E⊥平面ABCD，又D1E⊂平面CC1D1D，
则平面CC1D1D⊥平面ABCD；
（2）解：取AB得中点F，连结EF，则四边形EFBC为正方形，
所以EF⊥CD，故以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设D1E＝a，则E（0，0，0），F（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，a），
所以，
设平面BCC1B1的法向量为，
则有，即，
令z＝1，则，
因为FC⊥BE，又FC⊥D1E，BE∩D1E＝E，BE，D1E⊂平面BED1，
所以FC⊥平面BED1，
故为平面BD1E的一个法向量，
所以，
因为平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，
，解得a＝1，
所以D1E＝1．

19．
（1）如图，连接，交于点D，O为的外心，
，所以，
所以
故和都为等边三角形，
即四边形为菱形，所以
又平面，平面，所以平面．
（2）由（1）同理可知因为平面，平面，
平面平面，所以．
如图所示：以点D为原点，和垂直平面的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则．
设所以
设平面的法向量为．
，
得，
令得．
所以直线l与平面所成角的正弦值为：
，
即当即点M是线段的中点时，直线l与平面所成角取最大值．
20．
（1）连接，设，连接，
由三棱台知，，，，，且.
为的中点，故且，故四边形为平行四边形，
因为，则为的中点，
又因为为的中点，故，
因为平面，平面，故平面；
（2）因为平面，平面，故，
因为，，平面，
因为，故平面，
，为的中点，故，
以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，
设是平面的一个法向量，
则，令，则，，则，
，，
设是平面的一个法向量，
则，令，则，，，
所以，所以，.
21．
解：（Ⅰ）证明：连结相交于点O，连结．
在梯形中，∵，可得，
∴，又已知，则在中，，
∴．
又底面，∴底面，
则平面平面；
（Ⅱ）由题知，底面，，四边形为等腰梯形，以点A为坐标原点，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
，，设平面的法向量为，
由可得，取，则，又．
∴，
即直线与平面所成角的正弦值为．
22
（1）在正三棱柱中，为正三角形，取中点为，连接，则,
又面，,则面,建立如图空间直角坐标系，
由,.可得，,
所以与所成角的余弦值.
（2）由（1）知，，，
及,
且，平面．
（3）由（2）平面的法向量为，
,,,设平面的一个法向量为，则，令，，
平面与平面的夹角的正弦值为

23．
解：过作于点，则，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，，，，，1，，，0，，
为的中点，，，．
（1），，，，，，，0，．
设平面的法向量为，，，则，
令，则，，，1，，
，即，
又平面，平面．
（2）由（1）知，，0，，，，，
设平面的法向量为，，，则，
令，则，，，，，
，．
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
24．
设，则.
（1）证明：∵，，∴，.
在中，，即，
∴.
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
又平面，∴.
（2）以为原点，，所在直线分别为轴、轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，则
令，得，，∴.
∵，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
25．
（1）因为，且平分，所以,又因为平面平面，且平面平面，所以平面，又因为平面，所以；
（2）
取的中点,连接，则两两垂直，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴建立如图空间直角坐标系，
则,
由（1）知平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，,,则，取，则，
因此,
由图可知二面角的平面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为.
26．
（1）证明：在三棱柱中，平面，，．
，，，
，平面，
平面，，
，平面．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，2，，，0，，
，0，，，，，
设异面直线与所成角为，
则，又，．
异面直线与所成角的大小为．
（3）解：，，，，，，
，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，
点在线段上，且，点在线段上，
设，，，，，，，则，，，
即，
解得，
平面，，
解得．
的值为．


角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝ eq \f(|u·v|,|u||v|)
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))