2021-2022学年吉林省长春市农安县高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2021-2022学年吉林省长春市农安县高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=11−i+1(1−i)2，z−是z的共轭复数，则z−的虚部为( )
A. 1B. iC. −1D. −i
2.已知向量a、b不共线，若向量a+λb与b+λa的方向相反，则λ=( )
A. 1B. 0C. −1D. ±1
3.为了推进课堂改革，提高课堂效率，某高中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革．为了了解高一年级同学平板使用情况，从高一年级1210名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从1210人中剔除10人，剩下的1200人再按系统抽样方法抽取50人，则在这1210人中，每个人被抽取的可能性( )
A. 都相等，且为124B. 不全相等C. 都相等，且为5121D. 都不相等
4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=π6，C=π4，则△ABC的面积为( )
A. 2 3+2B. 3+1C. 2 3−2D. 3−1
5.已知直三棱柱ABC−A1B1C1，若AB=BC，AB⊥BC，则异面直线AC与B1C1所成角的余弦值为( )
A. 22
B. − 22
C. 12
D. −12
6.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
A. 0.25B. 0.35C. 0.45D. 0.55
7.不透明箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个红球，现从箱子中随机摸出2个球，则2个球颜色相同的概率为( )
A. 310B. 25C. 35D. 710
8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是BB1的中点，若AB=6，则点B到平面ACE的距离等于( )
A. 5B. 6C. 3 62D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是( )
A. 相等的线段在直观图中仍然相等B. 平行的线段在直观图中仍然平行
C. 一个角的直观图仍是一个角D. 相等的角在直观图中仍然相等
10.已知向量m+n=(3,1)，m−n=(1,−1)，则( )
A. (m−n)//nB. (m−n)⊥n
C. |m|= 2|n|D. =45∘
11.从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，下列各对事件为对立事件的有.( )
A. “取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”
B. “取出3只红球”与“取出的3只球中至少有1只白球”
C. “取出3只红球”与“取出3只白球”
D. “取出的3只球中至少有2只红球”与“取出的3只球中至少有2只白球”
12.甲、乙两名学生六次数学测验成绩如下表：
下列说法正确的是( )
A. 甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数
B. 甲同学的平均分比乙同学的平均分高
C. 甲同学的平均分比乙同学的平均分低
D. 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是______.
14.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC=50∘，∠CBE=70∘，AC=4，BC=6，则DE=______.
15.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是______.
16.如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，
若MN=λ1AM+λ2BN，λ1，λ2∈R，则λ1+λ2的值为______.
四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z=a+bi(a,b∈R)，且a2−(i−1)a+4b+3i=0.
(Ⅰ)求复数z；
(Ⅱ)若z+mz是实数，求实数m的值．
18.(本小题12分)
如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点，求证：
(1)C1O//面AB1D1
(2)A1C⊥面AB1D1，
(3)若AA1=2，求A1到面AB1D1的距离．
19.(本小题12分)
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bcsC=(2a−c)csB.
(1)求B；
(2)若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．
20.(本小题12分)
为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套的乡村游项目，现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；
(2)为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，
方案一：每满80元可立减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折．
若水果的价格为11元/kg，某游客要购买10kg，.
应该选择哪种方案？
21.(本小题12分)
一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求抽取的轿车中，B类轿车的数量；
(2)求z的值；
(3)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．
22.(本小题12分)
4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
23.(本小题12分)
已知Rt△ABC，∠C=90∘，设AC=m，BC=n
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD=12AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵z=11−i+1(1−i)2
=1(1+i)(1−i)(1+i)+1−2i
=12+12i+12i
=12+i，
∴z−=12−i，
∴z−的虚部是−1.
故选：C.
先利用复数的代数形式的除法运算法则求出z，再由共轭复数的概念求出z−，由此能够求出z−的虚部．
本题考查复数的代数形式的运算法则的应用，解题时要认真审题，注意掌握共轭复数的概念．
2.【答案】C
【解析】解：据题意，存在m(m<0)使得a+λb=m(b+λa)
即a+λb=mλa+mb
∵a,b不共线
∴1=mλλ=m
∴m2=1
∴m=−1
∴λ=−1
故选：C.
利用向量共线的充要条件及反向时对系数的要求得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程组求解．
本题考查两向量反向的充要条件及平面向量基本定理．
3.【答案】C
【解析】解：根据系统抽样的定义和方法知，每一个个体被剔除和被抽取的可能性是相等的，
所以在这1210人中，每个人被抽取的可能性是501210=5121.
故选：C.
利用系统抽样的定义和方法特点，即可求得结论．
本题主要考查了系统抽样的定义和方法特点，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵b=2，B=π6，C=π4，
∴由正弦定理bsinB=csinC得：c=bsinCsinB=2× 2212=2 2，A=7π12，
∴sinA=sin(π2+π12)=csπ12= 2+ 64，
则S△ABC=12bcsinA=12×2×2 2× 2+ 64= 3+1.
故选：B.
由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：直三棱柱ABC−A1B1C1，AB=BC，AB⊥BC，
∵BC//B1C1，
∴∠ACB是异面直线AC与B1C1所成角(或所成角的补角)，
∵∠ACB=45∘，
∴异面直线AC与B1C1所成角的余弦值为 22.
故选：A.
由BC//B1C1，得∠ACB是异面直线AC与B1C1所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线AC与B1C1所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：在区间[10,40)内的频数为：
2+4+5=11，
∴样本数据落在区间[10,40)的频率为：1120=0.55.
故选：D.
先求出在区间[10,40)内的频数，由此能求出样本数据落在区间[10,40)的频率．
本题考查频数、频率的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：不透明箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个红球，
现从箱子中随机摸出2个球，
基本事件总数n=C52=10，
其中2个球颜色相同包含的基本事件个数m=C22+C32=4，
则2个球颜色相同的概率为P=mn=410=25.
故选：B.
现从箱子中随机摸出2个球，基本事件总数n=C52=10，其中2个球颜色相同包含的基本事件个数m=C22+C32=4，由此能求出2个球颜色相同的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间中点到面的距离，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
由已知求得三角形ACE的面积，再由等积法求点B到平面ACE的距离．
【解答】
解：如图，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=6，E是BB1的中点，
则BE=3，AE=CE= 62+32=3 5，AC=6 2.
∴S△ACE=12×6 2× (3 5)2−(3 2)2=9 6.
设点B到平面ACE的距离为h，
由VE−ABC=VB−ACE，得13×12×6×6×3=13×9 6×h，
解得h= 6.
故选：B.
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，斜二测画法的法则是平行于x轴的线段平行性与长度都不变，
平行于y轴的线段平行性不变，长度变为原来的一半，故A错误；
对于B，由斜二测画法的法则得到平行线段在直观图中仍然平行，故B正确；
对于C，由斜二测画法的法则得到一个角的直观图仍是一个角，故C正确；
对于D，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，∴相等的角在直观图中不一定相等，故D错误．
故选：BC.
根据斜二测画法的法则直接判断求解．
本题考查斜二测画法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，向量m+n=(3,1)，m−n=(1,−1)，则m=(2,0)，n=(1,1)，
依次分析选项：
对于A，m−n=(1,−1)，n=(1,1)，两个向量不平行，A错误；
对于B，m−n=(1,−1)，n=(1,1)，有(m−n)⋅n=1−1=0，B正确；
对于C，m=(2,0)，n=(1,1)，则|m|=2，|n|= 2，C正确；
对于D，m=(2,0)，n=(1,1)，m⋅n=2，则cs=m⋅n|n||m|= 22，则=45∘，D正确；
故选：BCD.
根据题意，由平面向量的坐标运算可得m=(2,0)，n=(1,1)，结合平行向量和垂直向量的坐标运算判断选项A、B；结合模的定义判断选项C；结合向量的数量积判断选项D.
本题考查向量的坐标计算，涉及向量平行、垂直的判断，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，属于基础题．
由题知，取出的球的颜色的可能情况为：3只均为红球；2只红球1只白球；1只红球2只白球；3只均为白球，进而根据对立事件的概念依次判断各选项即可．
【解答】
解：从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，
取出的球的颜色的可能情况为：3只均为红球；2只红球1只白球；1只红球2只白球；3只均为白球，
对于A，“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”是互斥而不对立事件，故A错误；
对于B，“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有1只白球”是对立事件，故B正确；
对于C，“取出3只红球”与“取出3只白球”是互斥而不对立事件，故C错误；
对于D，“取出的3只球中至少有2只红球”与“取出的3只球中至少有2只白球”是对立事件，故D正确．
故本题选BD.
12.【答案】CD
【解析】解：由甲、乙两名学生六次数学测验成绩统计表得：
对于A，甲同学成绩的中位数为80+822=81，
乙同学成绩的中位数为87+882=87.5，
∴甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，故A错误；
对于BC，甲同学的平均分为：
x−1=16(90+76+72+80+86+82)=81，
乙同学的平均分为：
x−2=16(92+78+69+87+88+96)=85，
∴甲同学的平均分比乙同学的平均分低，故B错误，C正确；
甲同学的成绩波动性较小，乙同学的成绩波动性较大，
∴甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，故D正确．
故选：CD.
利用中位数的定义判断A；由平均数的定义判断BC；由方差的定义判断D.
本题考查命题真假的判断，考查中位数、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】1+2π2π
【解析】解：可以设该侧面的正方形边长为A，
则S侧面积=A2
全面积S=A2+2π(A2π)2
则圆柱的全面积与侧面积的比
S全面积S侧面积=(1+2π2π)A2A2=1+2π2π
故答案：1+2π2π
由圆柱的侧面展开图是正方形，我们易得圆柱的高与底面周长相等，设侧面的正方形边长为A后，易分别计算出侧面积和全面积，代入计算后，易得结果．
本题考查的是圆柱的表面积与侧面积，利用已知分别求出全面积和侧面积是解答本题的关键，另外全面积=侧面积+底面积×2，中易解为全面积=侧面积+底面积．
14.【答案】2 19
【解析】解：∵四边形ABED是矩形，∠DAC=50∘，∠CBE=70∘，
∴∠CAB=40∘，∠ABC=20∘，∴∠ACB=120∘，
∵AC=4，BC=6，
利用余弦定理得AB2=AC2+BC2−2⋅AC⋅BC⋅cs120∘=16+36+24=76，
解得AB=2 19，
∴DE=AB=2 19.
故答案为：2 19.
先求出∠ACB=120∘，再利用余弦定理求出结果．
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
15.【答案】0.38
【解析】解：根据题意，设事件A表示甲地下雨，事件B表示乙地下雨，
P(A)=0.2，P(B)=0.3，
甲，乙两地只有一个地方降雨的概率P=P(AB−)+P(A−B)=0.2×(1−0.3)+(1−0.2)×0.3=0.38；
故答案为：0.38.
根据题意，设事件A表示甲地下雨，事件B表示乙地下雨，而要求概率P=P(AB−)+P(A−B)，计算可得答案．
本题考查向量独立事件和互斥事件概率的计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
16.【答案】25
【解析】解：根据题意得，MN=12BD=12(AD−AB)=12AD−12AB
AM=AB+BM=AB+12AD；BN=BC+CN=AD−12AB
∴MN=λ1AM+λ2BN=λ1(AB+12AD)+λ2(AD−12AB)=(λ1−12λ2)AB+(12λ1+λ2)AD
∴λ1−12λ2=−12
12λ1+λ2=12
解得λ1=−15； λ2=35
∴λ1+λ2=25
故答案为25.
运用平面向量基本定理可解决此问题．
本题考查平面向量基本定理的简单应用．
17.【答案】解：(Ⅰ)由a2−(i−1)a+4b+3i=0，得(a2+a+4b)+(−a+3)i=0，
则a2+a+4b=0−a+3=0,解得a=3，b=−3.
∴z=3−3i；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，z+mz=3−3i+m3−3i=3−3i+m(1+i)6=(3+m6)+(m6−3)i，
∵z+mz是实数，
∴m6−3=0，即m=18.
【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，复数相等的充要条件，是基础题．
(Ⅰ)将a2−(i−1)a+4b+3i=0变形，再由实部与虚部均为0求得a，b，即可得到z；
(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的z代入z+mz，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得m值．
18.【答案】(1)证明：连接A1C1和B1D1交于点E，连接AE.
由于在正方体ABCD−A1B1C1D1中，C1E//AO且CE1=AO
四边形AOC1E为平行四边形．
所以：C1O//AE
C1O⊄平面AB1D1，AE⊂平面AB1D1
所以：C1O//平面AB1D1
(2)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
CC1⊥B1D1，A1C1⊥B1D1
所以：B1D1⊥平面AA1C1
B1D1⊥A1C
同理：BC⊥AB1，A1B⊥AB1
所以：AB1⊥平面A1BC
所以：A1C⊥AB1
所以：A1C⊥平面AB1D1
(3)利用VA−A1B1D1=VA1−AB1D1
设A1到面AB1D1的距离为h.AA1=2
13⋅12⋅2⋅2⋅2=13⋅12⋅2 2⋅2 2⋅sin60∘h
解得：h=2 33

【解析】(1)直接利用正方形的相关性质和线面平行的判定来证明得出结果．
(2)利用线面垂直的判定和性质得出线面垂直．
(3)利用锥体VA−A1B1D1=VA1−AB1D1，通过相关的线段成求出距离．
本题考查的知识要点：线面平行的判定，线面垂直的判定和性质定理，锥体的体积计算及相关的运算问题，属于基础题型．
19.【答案】解：(1)由正弦定理，得sinBcsC=2sinAcsB−csBsinC，分
即sinBcsC+csBsinC=2sinAcsB，
∴sin(B+C)=2sinAcsB，分
又因为A+B+C=π，
∴sinA=2sinAcsB，又sinA≠0，
∴csB=12，B∈(0,π)，分
∴B=π3；分
(2)∵sinC=2sinA，∴c=2a，分
∴由余弦定理，得b2=a2+c2−2accsB=a2+4a2−2a2，即3a2=9，
∴a= 3，c=2 3，分
∴S△ABC=12acsinB=12× 3×2 3× 32=3 分
【解析】(1)由正弦定理，得sinBcsC=2sinAcsB−csBsinC，整理sin(B+C)=sinA=2sinAcsB⇒csB=12，B∈(0,π)，可求得B；
(2)利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式可得答案．
本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)样本中“水果达人”的频率为(0.0075+0.005)×20=0.25，
∴样本中“水果达人”的人数为100×0.25=25，
由题图可知，消费金额在[80,100)与[100,120]的人数比为3：2，
其中消费金额不低于100元的人数为25×25=10，
∴抽取的5人中消费金额不低于100元的人数为10×525=2.
(2)依题意得该游客要购买原价为110元的水果，
若选择方案一，则需支付(80−8)+30=102(元)，
若选择方案二，则需要支付50+(80−50)×0.9+(100−80)×0.8+(110−100)×0.7=100(元)，
∴应该选择方案二．
【解析】(1)先求出样本中“水果达人”的频率，从而能求出样本中“水果达人”的人数，再由消费金额在[80,100)与[100,120]的人数比为3：2，由此能求出抽取的5人中消费金额不低于100元的人数．
(2)选择方案一，求出需支付金额和选择方案二，求出需要支付金额，由此得到应该选择方案二．
本题考查频率分布直方图、购买方案的选择等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(1)设抽取的轿车中，B类轿车的数量为x，则100+300150+450=10x，∴x=15；
(2)抽取的轿车中，C类轿车的数量为50−10−15=25，则100+300z+600=1025，∴z=400；
(3)设所抽样本中有m辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以4001000=m5，
解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作S1，S2；B1，B2，B3，
则从中任取2辆的所有基本事件为(S1,B1)，(S1,B2)，(S1,B3)(S2,B1)，(S2,B2)，(S2,B3)，((S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3)共10个，
其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：(S1,B1)，(S1,B2)，(S1,B3)(S2,B1)，(S2,B2)，(S2,B3)，((S1,S2),
所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为710.
【解析】(1)利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，建立等式，即可求抽取的轿车中，B类轿车的数量；
(2)求出抽取的轿车中，C类轿车的数量，即可求z的值；
(3)先利用分层抽样满足每个个体被抽到的概率相等，求出抽取一个容量为5的样本舒适型轿车的辆数，利用列举的方法求出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．
本题考查分层抽样，考查求古典概型的事件的概率，确定各个事件包含基本事件的个数是关键．
22.【答案】解：样本平均数为：18(4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=8.275，
这8辆轿车的得分与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的有：
8.6，8.7，8.2，共3个，
∴从中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为：
P=38.
【解析】先求出样本平均数，再求出这8辆轿车的得分与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的有3个，由此能求出所求概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
23.【答案】证明：(1)以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，建立平面直角坐标系，
则C(0,0)，A(0,m)，B(n,0)，∴D(n2,m2)，
∴AB2=m2+n2，CD2=n24+m24=AB24，
∴CD=12AB.
解：(2)∵E为CD的中点，∴E(n4,m4)，
∴直线AE：y−mx=m4−mn4，整理，得y=−3mnx+m，
∵连接AE并延长交BC于F，∴F(n3,0)
∴AF= (n3)2+m2= 9m2+n23.
【解析】(1)以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，建立平面直角坐标系，由引能证明CD=12AB.
(2)由已知得E(n4,m4)，直线AE：y=−3mnx+m，由此求出F(n3,0)，利用两点间距离公式能求出AF的长．
本题考查直角三角形中斜边上中线等于斜边长一半的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，合理建立平面直角坐标系是解题的关键．分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
4
5
3
4
2
测验
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
成绩
甲
90
76
72
80
86
82
乙
92
78
69
87
88
96
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600