2022-2023学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年上海市静安区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合的角.
①小于90∘的角一定是锐角；
②第二象限的角一定是钝角；
③终边重合的角一定相等；
④相等的角终边一定重合.
其中真命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知平面向量a=(−1,2)，b=(2,0)，则a在b方向上的投影为( )
A. −2B. −1C. (−2,0)D. (−1,0)
3.设z∈C，σ(z)表示满足zn=1的最小正整数n，则σ(i)+σ(−12+ 32i)的值( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
4.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，其终边经过点(−1,2).则角α的余弦值为______ .
5.已知扇形的弧所对的圆心角为40∘，且半径为9m，则该扇形的弧长为______ m.
6.若sin(π−θ)+sin(3π2+θ)=12tan(π+θ)tan(π2−θ)，则sin2θ的值为______ .
7.已知1−3i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，则bc的值为______ .
8.设某新鲜食物每存放一天，剩余的营养成分是前一天的90%，当剩余的营养成分不足新鲜时的一半时，该食物就不能食用了.则该新鲜食物最多存放______ 天.(结果精确到1天)
9.设向量a=(csx,sinx)，b=(csx,−sinx)，且x∈(−π4,π3)，则函数f(x)=a⋅b的值域为______ .
10.若点D是△ABC的重心(中线的交点)，则用向量AB、AC表示CD为______ .
11.已知点A的坐标为(−3,4)，将OA绕坐标原点O顺时针旋转π3至OB.则点B的坐标为______ .
三、解答题：本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题10分)
设数列{an}为等差数列，已知a3=5，a9=17，
(1)求an；
(2)设bn=(23)an，求i=1+∞bi的值.
13.(本小题11分)
设复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a、b、c、d∈R.
现在复数系中定义一个新运算⊗，规定：z1⊗z2=(ac+bd)+(ad+bc)i.
(1)已知|(2−i)⊗(x+i)|= 2，求实数x的值；
(2)现给出如下有关复数新运算⊗性质的两个命题：
①z1⊗z2−=z1−⊗z2−；
②若z1⊗z2=0，则z1=0或z2=0.
请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
14.(本小题11分)
如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯A、B之间的距离是100m，为了测量点A与河对岸一点C之间的距离，此人先后测得∠BAC=75∘，∠ABC=60∘.
(1)求A、C两点之间的距离；
(2)假设你只携带着量角器(可以测量以你为顶点的角的大小).请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点C、D之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出CD的长.
15.(本小题12分)
(1)指出函数y=2 2(sinxcsx−sin2x+12)的最大值，及函数取得最大值时所对应的x的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像；
(2)指出正弦函数y=sinx的单调性，并以此为依据证明：余弦函数y=csx在区间[2kπ−π,2kπ](k∈Z)是严格增函数.
16.(本小题12分)
如图，平面向量e1与e2是单位向量，夹角为60∘，那么，向量e1、e2构成平面的一个基.若a=xe1+ye2，则将有序实数对⟨x，y⟩称为向量a的在这个基下的斜坐标，表示为a=⟨x,y⟩.
(1)记向量e1=OA，e2=OB，求向量AB在这个基下的斜坐标；
(2)设a=⟨1,−1⟩，b=⟨2,0⟩，求a⋅b；
(3)请以(2)中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：①小于90∘的角必然−60∘，不是锐角，①错误；
②第二象限的角比如−240∘，不是钝角，②错误；
③终边重合的角比如30∘与390∘角，不相等；
④相等的角终边一定重合，④正确．
故选：A.
由已知结合角的概念及终边相同的角的概念检验各选项即可判断．
本题主要考查了角的概念及终边相同角的概念，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：平面向量a=(−1,2)，b=(2,0)，
所以a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|2b=−24(2,0)=(−1,0).
故选：D.
根据平面向量投影的定义计算即可．
本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为i4=1，(−12+ 32i)3=(−12+ 32i)2(−12+ 32i)=(−12− 32i)(−12+ 32i)=1，
所以σ(i)+σ(−12+ 32i)=4+3=7.
故选：B.
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
4.【答案】− 55
【解析】解：因为点(−1,2)到原点的距离r= (−1)2+22= 5，
所以csα=−1 5=− 55.
故答案为：− 55.
由三角函数的定义直接求得．
本题考查三角函数定义，属基础题．
5.【答案】2π
【解析】解：因为圆心角为40∘，即为2π9，
所以由扇形的弧长公式得：弧长l=α⋅r=2π9×9=2πm.
故答案为：2π.
先把圆心角化为弧度数，代入扇形的弧长公式：l=α⋅r，求出弧长．
本题考查弧长公式的应用，要注意公式中的圆心角一定要用弧度来表示，不能用度数．
6.【答案】34
【解析】解：由sin(π−θ)+sin(3π2+θ)=12tan(π+θ)tan(π2−θ)，
得sinθ−csθ=12tanθ⋅ctθ=12，
两边平方得：sin2θ−2sinθcsθ+cs2θ=14，
则1−sin2θ=14，可得sin2θ=34.
故答案为：34.
把已知等式利用诱导公式变形，两边平方后再由倍角公式求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．
7.【答案】−20
【解析】解：1−3i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，
则1+3i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的另一个根，
故1−3i+1+3i=−b(1−3i)(1+3i)=c，解得b=−2，c=10，
故bc=−20.
故答案为：−20.
根据已知条件，推得1+3i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的另一个根，再结合韦达定理，即可求解．
本题主要考查复数的运算和实系数多项式虚根成对定理，属于基础题．
8.【答案】6
【解析】解：设某新鲜食物原有营养成分为a，则存放一天后剩余的营养成分是90a%=910a，
则存放两天后剩余的营养成分是(910)2a，…，
∴存放n天后剩余的营养成分是(910)na，
由(910)na<12a，得(910)n<12，可得nlg910lg12lg910=−lg2lg9−1≈6.57.
即存放6天时，剩余的营养成分还超过新鲜时的一半，存放7天时，剩余的营养成分不足新鲜时的一半．
∴该新鲜食物最多存放6天．
故答案为：6.
设某新鲜食物原有营养成分为a，则存放n天后剩余的营养成分是(910)na，再由(910)na<12a求得n的范围得答案．
本题考查函数模型的选择及应用，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】(−12,1]
【解析】解：f(x)=a⋅b=cs2x−sin2x=cs2x，
又x∈(−π4,π3)，
则2x∈(−π2,2π3)，
所以cs2x∈(−12,1],
即函数f(x)=a⋅b的值域为(−12,1].
故答案为：(−12,1].
先化简f(x)，再由余弦函数的性质即可得解．
本题考查平面向量的数量积以及余弦函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】13AB−23AC
【解析】解：如图，F为AB的中点，
∴CF=12(CA+CB)，
∵点D是△ABC的重心，
∴CD=23CF=23×12(CA+CB)=13(−AC+AB−AC)=13AB−23AC.
故答案为：13AB−23AC.
由平面向量线性运算法则直接计算即可．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
11.【答案】(4 3−310,4+3 310)
【解析】解：设以OA为终边的角为α，则由三角函数定义可知：sinα=45，csα=−35，
由题意，以OB为终边的角为α−π3，
又cs(α−π3)=csαcsπ3+sinαsinπ3=−35×12+45× 32=4 3−310，
sin(α−π3)=sinαcsπ3−csαsinπ3=45×12+35× 32=4+3 310，
即点B的坐标为(4 3−310,4+3 310)，
故答案为：(4 3−310,4+3 310).
直接利用三角函数的定义，将坐标与函数值对应，运用差角公式计算即可．
本题考查三角函数的定义，属基础题．
12.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由a3=5，a9=17，可得a1+2d=5，a1+8d=17，
解得a1=1，d=2，
所以an=1+2(n−1)=2n−1；
(2)由于bn+1bn=(23)an+1−an=49，
b1=(23)a1=23，
所以数列{bn}是首项为23，公比q为49的等比数列，
则i=1+∞bi=b11−q=231−49=65.
【解析】(1)由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
(2)由等比数列的定义和无穷递缩等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及无穷递缩等比数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
13.【答案】解：(1)由定义，有|(2x−1)+(2−x)i|= 2，
即(2x−1)2+(2−x)2=2，整理得，5x2−8x+3=0，
∴x=1或x=35.
(2)①要证z1⊗z2−=z1−⊗z2−，
只需z1−⊗z2−=(a−bi)⊗(c−di)=(ac+bd)−(ad+bc)i=z1⊗z2−，
∴①是真命题．
②(1−i)⊗(1+i)=0，
∴②是假命题．
【解析】(1)根据新定义得到关于x的方程，求出x的值即可；
(2)通过计算判断①，特殊值法判断②．
本题考查了复数的运算，考查新定义问题，是基础题．
14.【答案】解：(1)在△ABC中，∠BAC=75∘，∠ABC=60∘，AB=100，
由正弦定理可得ACsinB=ABsin(180∘−A−B)，
即AC=100sin60∘sin135∘=100× 32 22=50 6.
答：A、C两点之间的距离为50 6m.
(2)通过测量可得∠DAB=α，∠ABD=β，∠CAD=θ.
在△ABD中，由正弦定理，有ADsinβ=ABsin(180∘−α−β)，
可得AD=100sinβsin(α+β)，
在△ACD中，由余弦定理有CD= AC2+AD2−2AC×ADcsθ= 15000+10000sin2βsin2(α+β)−10000 2sinβsin(α+β)csθ或100 32+sin2βsin2(α+β)− 2sinβsin(α+β)csθ.
【解析】(1)在△ABC中，利用三角形内角和定理，诱导公式以及正弦定理即可求解AC的值．
(2)通过测量可得∠DAB=α，∠ABD=β，∠CAD=θ，在△ABD中，由正弦定理可得AD=100sinβsin(α+β)，在△ACD中，由余弦定理可求CD的值．
本题考查了三角形内角和定理，诱导公式以及正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由题意，y= 2sin2x− 2(1−cs2x)+ 2=2sin(2x+π4)，
当2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8(k∈Z)时，函数取得最大值2.
取2x+π4∈[0,2π]，列表如下：
该函数在一个最小正周期内的大致图象如右图所示．
(2)正弦函数y=sinx在R上的单调增区间为[2kπ−π2,2kπ+π2](k∈Z)，
单调减区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)，
证明：任取x1、x2，令2kπ−π≤x1由于[2kπ−π2,2kπ+π2](k∈Z)是正弦函数的单调增区间，
所以，sin(x1+π2)故余弦函数y=csx在区间[2kπ−π,2kπ](k∈Z)是严格增函数．
【解析】(1)首先利用倍角公式化简f(x)，再根据正弦函数的图象和性质求最值，五点作图法作图．
(2)利用正弦函数的单调性，结合诱导公式直接化为余弦函数，即可证明．
本题考查三角函数的化简，五点作图法，三角函数的图象和性质等知识，属中档题．
16.【答案】解：(1)AB=OB−OA=e2−e1=−e1+e2，
所以向量AB=⟨−1,1⟩；
(2)由已知，有a=e1−e2，b=2e1，
a⋅b=(e1−e2)⋅(2e1)=2e12−2e2⋅e1=2−2cs60∘=1；
(3)提出问题：设a=⟨x1,y1⟩，b=，求a⋅b.
解答问题：a=x1e1+y1e2，b=x2e1+y2e2，
a⋅b=(x1e1+y1e2)⋅(x2e1+y2e2)
=x1x2e1⋅e1+x1y2e1⋅e2+y1x2e2⋅e1+y1y2e2⋅e2，
=x1x2e1⋅e1+y1y2e2⋅e2+(x1y2+y1x2)e2⋅e1，
=x1x2+y1y2+12(x1y2+y1x2).
【解析】(1)由AB=−e1+e2即可得出答案；
(2)由a=e1−e2，b=2e1，再结合平面向量的数量积公式得解；
(3)根据(2)，可提出问题：设a=⟨x1,y1⟩，b=，求a⋅b，再解答即可．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题． 2x+π4
0
π2
π
3π2
2π
x
−π8
π8
3π8
5π8
7π8
y
0
2
0
−2
0