2021-2022学年吉林省长春市十一高中高二下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年吉林省长春市十一高中高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合,则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：为在集合A但不在集合B中的元素构成的集合，因此

【解析】集合的交并补运算

2．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.

【解析】不等式性质、充分必要性.

3．设某工厂仓库中有10盒同样规格的零部件，已知其中有4 盒、3盒、3盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种零部件的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（       ）

A．0.06 B．0.07 C．0.075 D．0.08

【答案】C

【分析】由全概率公式计算．

【详解】依题意，任取一盒产品，分别来自甲、乙、丙三厂的概率分别是，

所以任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为，

故选：C．

4．曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为

A． B． C． D．1

【答案】A

【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为

故选：A

5．学校从高一名男数学老师和名女数学老师中选派人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的人中至少有名男老师的条件下，有名女老师的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数的计算公式，即可求解

【详解】记“选派人中至少有名男老师”为事件，“选派人中有名女老师”为事件，

则，，

显然，所以.

故选：B.

6．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A．360 B．288 C．216 D．96

【答案】B

【详解】试题分析：先排三个男生有种不同的方法，然后再从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C32A22=6种不同排法），剩下一名女生记作B，让A、B插入男生旁边4个位置的两个位置有，此时共有6×6×12=432种，又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况有：2×6×=144种不同的排法，∴共有432-144=288种不同排法．故选B

【解析】本题考查了排列问题

点评：对于此类问题，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．

7．存在函数满足，对任意都有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对ACD，根据函数的性质，取特殊值推出矛盾判断即可；

对B，令再化简分析即可

【详解】对A，取可得，即，再取可得，即，故A错误；

对B，令，此时，即，符合题设，故B正确；

对C，取，有；取，有，故C错误；

对D，取得，再取可得，故D错误

故选：B

8．已知定义域为的函数满足：对任意的，有，为偶函数，且当时，，则（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】先判断出函数是周期为4的周期函数，利用周期性直接求解.

【详解】因为为偶函数，所以，用代换x，可得：①

对任意的，有，把①代入有：，即②

在②式中，用代换x，有③.

②③对照可得：，用代换x，有恒成立，

所以函数是周期为4的周期函数.

所以.

在③中，令有，所以，

所以.

故选：A

二、多选题

9．2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：

用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有（       ）A．变量与负相关且相关性较强

B．

C．当时，的估计值为13

D．相应于点的残差为

【答案】ABD

【分析】根据相关性、相关系数判断A，利用样本中心点判断B，将代入回归直线方程判断C，求得时的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D.

【详解】对A，由回归直线可得变量，线性负相关，且由相关系数可知相关性强，故A正确；

对B，由题可得，，

故回归直线恒过点，故，即，故B正确；

对C，当时，，故C错误；

对D，相应于点的残差，故D正确.

故选：ABD.

10．一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据题意分别求，，，方案一：直接求解即可；方案二：选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次2号球，第二次1号球；方案三：根据古典概型利用列举法理解运算．

【详解】方案一：“选到3号球”的概率

方案二：“选到3号球”的概率

方案三：同时摸出两个球共有：共3个基本事件，“选到3号球”包含共2个基本事件，“选到3号球”的概率

∴，，，，ABD正确，C错误

故选：ABD．

11．已知定义在上的函数的导函数为，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】对ACD，构造函数，再根据题意可得在上单调递增，结合判断即可；

对B，令代入判断即可；

【详解】对A，令函数，则，所以在上单调递增．又，所以当时，，，则，故，A正确．

对B，当时，，即，B不正确．

对C，当时，，，则，故，，C不正确，D正确．

故选：AD

12．已知a，，满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】A、D利用基本不等式即可判断，注意等号成立条件；B由，构造且，利用导数证明不等式；C根据A、B的分析，应用特殊值法判断.

【详解】A：由，即，当且仅当时等号成立，正确；

B：由，则且，

令且，则，递减，

所以，，即成立，正确；

C： 当时，，错误；

D：由，当且仅当时等号成立，正确.

故选：ABD

三、填空题

13．的展开式中，的系数是___________.

【答案】10

【分析】利用二项展开式的通项公式即得．

【详解】由题意得，二项展开式的通项为，

令，可得，

所以的系数为．

故答案为：．

14．某校1000名学生的某次体育考试成绩（单位：分）服从正态分布，则成绩位于区间内的人数大约是___________.（结果精确到整数）参考数据：若随机变量，则，，.

【答案】955

【分析】根据给定条件，求出数据在区间内的概率即可计算作答.

【详解】因，则，于是得，

所以1000名学生位于区间内的人数大约是.

故答案为：955

15．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是______.

【答案】

【详解】由题意在上单调递减，又是偶函数，

则不等式可化为，则，，解得．

16．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.

【详解】分类讨论：①当时，即：，

整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当时，，则；

②当时，即：，整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当或时，，则；

综合①②可得的取值范围是，故答案为.

点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

四、解答题

17．设a为实数，已知函数是奇函数．

(1)求a的值；

(2)若对任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)（8，＋∞）

【分析】（1）因为是奇函数，由即可求出a的值.

（2）由定义法证得函数f(x)在上单调递增，由恒成立结合f(x)得是奇函数得，转化为对任意实数x，恒成立，所以，解不等式即可得出实数m的取值范围．

（1）因为是奇函数，所以对任意实数x，，即．所以，即，所以．

（2）由（1）得，设，为上的任意两个实数，且，则，因为，所以，，所以，即，所以函数f(x)在上单调递增．由，得，因为f(x)为奇函数，所以，所以，即，所以对任意实数x，恒成立，所以，解得，所以实数m的取值范围为（8，＋∞）

18．已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）求出公差和公比，得到通项公式；（2）利用错位相减法求和.

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得：，解得：，所以，由得：，所以，所以

（2），则①，②，两式相减得：，所以

19．已知函数，其中，且是函数的一个极值点.

(1)求的值；

(2)当时，求的最值.

【答案】(1)；

(2)最大值为，最小值0.

【分析】（1）对求导， ，解方程即可；

（2）先利用导数求出的单调区间，再根据函数的单调性求的最大值.

（1）∵，∴，由题可知，即，∴，经检验适合题意，故的值为2；

（2）由上可知，由可得，或，又当时，，当时，，∴函数在区间单调递减，在区间单调递增，∴当时，是函数的最小值；又，∴，故当时，函数的最大值为,即函数的最大值为，最小值为0..

20．某食品厂为了检查甲､乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品.统计数据如下面列联表：

(1)依据的独立性检验，能否认为产品的包装合格与流水线的选择有关联？

附：，其中.

临界值表：

(2)公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行不合格品情况检查分析，在x（单位：百件）件产品中，得到不合格品数量y（单位：件）的情况汇总如下表所示：

求y关于x的经验回归方程，并预测一小时生产2000件时的不合格品数（精确到1）.

附：；.

【答案】(1)不能认为产品的包装合格与装流水线的选择有关联；

(2)，83件.

【分析】（1）由列联表计算出卡方，即可判断；

（2）由所给数据求出，，，，即可求出，，从而得到回归直线方程，再令，即可预测.

（1）根据列联表可得依据的独立性检验，不能认为产品的包装合格与装流水线的选择有关联；

（2）由已知可得：，，，，所以，,所以，当（百件）时，件,所以估计一小时生产2000件时的不合格品数约为83件.

21．某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．

(1)写出的分布列；

(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？

(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？

【答案】(1)具体见解析；

(2)方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大；

(3)方案一所带来的平均效益更大．

【分析】（1）根据题意得出的所有可能取值，进而列出分布列即可；

（2）根据题意分别算出两种方案两年后柑橘产量超过灾前产量的概率，进而比较大小；

（3）根据题意算出两种方案收益的期望，进而比较大小即可得到答案.

（1）的所有取值为，的所有取值为.、的分布列分别为：

（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，，，可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大．

（3）令表示方案所带来的效益，则

 所以，可见，方案一所带来的平均效益更大．

22．函数存在两个极值点，，且．

(1)求a的取值范围；

(2)若，求正实数k的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，然后将问题转化为一元二次方程根的分布问题可得；

（2）利用（1）中根与系数关系对消元化简，然后利用导数求最值可解.

（1），在有两个不同的解，∴，解得．

（2）由（1）知，所以由于，所以所以，又，，所以令，，由解得或，易知在上单调递减，单调递增，所以，令，则，解出，故．所以k的最大值为．