2022-2023学年吉林省吉林市田家炳高级中学高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年吉林省吉林市田家炳高级中学高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展，据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数(单位：百万)折线图如图所示，则下列结论不正确的是( )
A. 近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数
B. 近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差
C. 近十年，农村居民国内游客人数的中位数为1240
D. 2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加
3.在平行四边形ABCD中，BE=13BC，DF=12DC，则EF=( )
A. 12AB−23ADB. −12AB+23ADC. 13AB−34ADD. −13AB+34AD
4.已知m，n是两条不同直线，方向向量分别是m，n；α，β，γ是三个不同平面，法向量分别是α，β，γ，下列命题正确的是( )
A. 若α⋅γ=0，β⋅γ=0，则α⊥β
B. 若m//α，m⋅n=0，则n//α
C. 若m⋅α=0，n⋅α=0，则m//n
D. 若m//α，m//β，则α//β
5.某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷.
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5.则甲通过测试的概率为( )
A. 0.1B. 0.25C. 0.3D. 0.35
6.在三棱锥P−ABC中，线段PC上的点M满足PM=13PC，线段PB上的点N满足PN=23PB，则三棱锥P−AMN和三棱锥P−ABC的体积之比为( )
A. 19B. 29C. 13D. 49
7.在△ABC中，∠BAC=60∘，AB=2，BC= 6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD=( )
A. 3B. 2C. 2 2D. 2 3
8.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120∘，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45∘，则△PAC的面积为( )
A. 3B. 2C. 2 2D. 2 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64(单位：cm)，则( )
A. 铁棍的长度的极差为0.04cmB. 铁棍的长度的众数为3.62cm
C. 铁棍的长度的中位数为3.625cmD. 铁棍的长度的第80百分位数为3.63cm
10.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|= 2，z1+z2=1+i，则下列结论中正确的是( )
A. z1+z2的共轭复数为1−i
B. (z1+z2)10=32
C. 若z1+z2是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的根，则m=1
D. |z1−+z2−|= 2
11.下列说法正确的是( )
A. a=(2,k)，b=(k,2)，若a//b，则k=±2
B. 在边长为2的等边三角形ABC中，AB⋅BC=2
C. 若a=(1,0)，b=(1,2 3)，则|a+b|=16
D. 若|a|=|b|=|a+b|=2，则|a−b|=2 3
12.已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，BC=2 2，AP=AB，E为棱BP上一点，PE=2EB，且PA⊥AC，若四棱锥P−ABCD的每个顶点都在球O的球面上，且球O的体积为32π3，则( )
A. PD=2 3B. ∠PCA=60∘
C. 平面ADE⊥平面PABD. 点E到平面PCD的距离为4 69
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a= 39，b=2，∠A=120∘.则边c=______ .
14.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为DD1，BD，BB1的中点，则C1E与FG所成的角的余弦值为______ .
15.已知a=(2,2 3)，e为单位向量，向量a，e的夹角为π3，则向量a在向量e上的投影向量为______ .
16.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.设函数f(c)=p(c)+q(c)，则函数f(c)在区间[95,105]取得最小值时c=______ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，已知a=(1,−2)，b=(3,4).
(1)若(3a−b)//(a+kb)，求实数k的值；
(2)若(a−tb)⊥b，求实数t的值．
18.(本小题12分)
根据世行2020年标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1036∼4045美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4046∼12535美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12536美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如表：
(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；
(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP至少一个没达到中等偏上收入国家标准的概率.
19.(本小题12分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D、E分别是AA1、B1C1的中点，DC1⊥BD，AC=BC=1，AA1=2.
(1)求证：BC⊥平面AA1C1C；
(2)求点E到平面C1BD的距离.
20.(本小题12分)
为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党的知识问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是34，甲、丙两名同学都回答错误的概率是120，乙、丙两名同学都回答正确的概率是815.若各同学回答是否正确互不影响.
(1)求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率.
21.(本小题12分)
记△ABD的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D为BC的中点，△ABD面积为 32，且AD=1.
(1)若∠ADC=π3，求角C；
(2)若b2+c2=8，证明：B=C.
22.(本小题12分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2，M是棱PB上一点．
(Ⅰ)若BM=2MP，求证：PD//平面MAC；
(Ⅱ)若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求证：PA⊥平面ABCD；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若二面角B−AC−M的余弦值为23，求PMPB的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(1+3i)(3−i)=3−i+9i+3=6+8i，
则在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限．
故选：A.
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由图可知，每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，
所以近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数，故选项A正确；
由图可知，近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，
所以由方差的意义可知，近十年城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差，
故选项B正确；
将近十年农村居民国内游客人数从小到大进行排列，
可得近十年农村居民国内游客人数的中位数为1128+11882=1158，故选项C错误；
由图可知，2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，所以2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加，故选项D正确．
故选：C.
根据每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，即可判断选项A；根据近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，即可判断选项B；由中位数的计算方法，可得近十年农村居民国内游客人数的中位数，即可判断选项C；根据2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，即可判断选项D.
本题主要考查统计图获取信息，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：画出图形，如图所示：
由题可知AB=DC,AD=BC，F是CD中点，E是BC三等分点，
所以EF=CF−CE=12CD−23CB=−12AB+23AD.
故选：B.
根据平面向量的线性运算法则即可算出答案．
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：m，n是两条不同直线，方向向量分别是m，n，
α，β，γ是三个不同平面，法向量分别是α，β，γ，
若α⋅γ=0，β⋅γ=0，可知平面α，β同时垂直于平面γ，
但无法确定平面α与β的位置关系，故A错误；
若m//α，m⋅n=0，可知m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故B错误；
若m⋅α=0，n⋅α=0，可知m//α或m⊂α，n//α或n⊂α，
但无法确定直线m，n的位置关系，故C错误；
若m//α，m//β，可知m⊥α，m⊥β，
垂直于同一条直线的两平面平行，故D正确．
故选：D.
由空间向量的知识可判断线面位置关系，逐项判断．
本题考查由空间向量的知识可判断线面位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题知甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，
甲若通过测试，则有以下可能：
点M处进入营垒区，两次点A处投掷中，前一次进，投掷结束，
概率为：0.1×0.5=0.05；
点M处进入营垒区，两次点A处投掷中，前一次不进，后一次进，
则概率为：0.1×0.5×0.5=0.025；
点M处未进营垒区，两次点A处投掷中，进入两次，
则概率为：0.9×0.5×0.5=0.225，
故甲通过测试的概率为：0.05+0.025+0.225=0.3.
故选：C.
由于累计得分高于3分通过测试，则甲通过测试可能为：点M处进入营垒区，两次点A处投掷中，第一次进或第一次不进第二次进，或点M处未进营垒区，两次点A处投掷中，进入两次，分别求出概率，相加后即为甲通过测试的概率．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：在三棱锥P−ABC中，线段PC上的点M满足PM=13PC，线段PB上的点N满足PN=23PB，
所以S△PMA=13S△PAC，
设N到平面PAC的距离d1，B到平面PAC的距离d2，则d1=23d2，
则三棱锥P−AMN的体积为V三棱锥P−AMN=V三棱锥N−APM=13S△PAM⋅d1=13×13S△PAC×23d2=29V三棱锥B−PAC.
故三棱锥P−AMN和三棱锥P−ABC的体积之比为29.
故选：B.
设N到平面PAC的距离d1，B到平面PAC的距离d2，则d1=23d2，S△PMA=13S△PAC，然后结合三棱锥的体积公式即可求解．
本题主要考查了三棱锥体积的求解，换顶点的应用是求解问题的关键，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：因为在△ABC中，∠BAC=60∘，AB=2，BC= 6，
所以由余弦定理得BC2=AC2+AB2−2AC⋅BCcs∠BAC，
则cs60∘=AC2+4−62×2AC，即AC2−2AC−2=0，
解得AC=1+ 3(负值舍)，
而AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD=30∘，
又S△ABC=S△ABD+S△ACD，
故12×2ACsin60∘=12×2ADsin30∘+12AC×ADsin30∘，
则AD=2 3ACAC+2=2 3×(1+ 3)3+ 3=2.
故选：B.
根据余弦定理求得AC的长，再利用S△ABC=S△ABD+S△ACD，即可求得答案．
本题考查了余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示，∵AB为底面直径，∠APB=120∘，PA=2，
∴△PAB是等腰三角形，
由余弦定理可得AB2=AP2+BP2−2AP⋅BP⋅cs120∘=12⇒AB=2 3=2OA，PO= PA2−OA2=1，
由圆锥的特征易知PA=PC、OA=OC，PO⊥⊙O，
取AC中点D，连接PD、OD，
显然有OD⊥AC，PD⊥AC，即二面角P−AC−O为∠PDO=45∘，
∴PO=OD=1,PD= 2，则AC=2AD=2 PA2−PD2=2 2，
∴S△PAC=12AC⋅PD=2.
故选：B.
作图，取AC中点，根据圆锥的性质及二面角的定义计算PD、AC长即可．
本题考查二面角的概念，三角形面积的求解，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：铁棍的长度从小到大排列依次为3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65(单位：cm)，
对于A：极差为3.65−3.61=0.04，故A正确；
对于B：众数为3.62，故B正确；
对于C：中位数为3.62+3.632=3.625，故C正确；
对于D：因为8×80%=6.4，所以铁棍的长度的第80百分位数为从小到大排列的第7个数，是3.64，所以D不正确．
故选：ABC.
将数据从小到大排序，利用极差、众数、中位数、百分位数的概念求解即可得结论．
本题考查极差、众数、中位数、百分位数的概念，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：因为z1+z2=1+i，所以z1+z2−=1−i，故A正确；
因为z1+z2=1+i，所以(z1+z2)10=[(z1+z2)2]5=[(1+i)2]5=(2i)5=32i，故B不正确；
因为z1+z2是方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的根，且z1+z2=1+i，
所以(1+i)2+m(1+i)+n=0，所以(2+m)i+m+n=0，所以m=−2，故C错误；
因为z1+z2=1+i，所以z1+z2−=1−i，所以z1−+z2−=1−i，所以|z1−+z2−|= 2，故D正确．
故选：AD.
根据共轭复数的概念可得A正确；根据复数的乘方运算可得B不正确；将z1+z2=1+i代入x2+mx+n=0(m,n∈R)，根据复数相等的条件求出m，可得C错误；根据复数和的共轭复数等于复数的共轭复数的和以及复数的模长公式可得D正确．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：A，∵a//b，∴2×2=k2，∴k=±2，∴A正确，
B，∵△ABC为边长为2的等边三角形，∴AB⋅BC=2×2×(−12)=−2，∴B错误，
C，∵a=(1,0)，∴b=(1,2 3)，∴a+b=(2,2 3)，∴|a+b|= 4+12=4，∴C错误，
D，∵|a|=|b|=|a+b|=2，∴a2+b2+2a⋅b=4，∴2a⋅b=−4，
∴|a−b|= a2+b2−2a⋅b= 12=2 3，∴D正确，
故选：AD.
利用向量的共线判断A，利用向量的数量积运算判断B，利用向量的求模公式判断CD.
本题考查向量的共线，向量的数量积运算，向量的求模公式，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：如图，则平面ADE⊥平面PAB，
因为平面PAB⊥平面ABCD，AB是交线，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面PAB，因为AD⊂平面ADE，则平面ADE⊥平面PAB，
又因为PA⊂平面PAB，所以 AD⊥AP，
又因为PA⊥AC，AC∩AD=A，AC，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，故 AD，AB，AP两两垂直，
所以PC是以AD，AB，AP为长、宽、高的长方体的对角线，
故侧棱PC为球O的直径，由V球=4πR33=32π3，解得R=2，
所以2= AB2+AD2+AP22，
解得AB=AP=2，则AC=2 3，tan∠PCA=PAAC= 33，
故∠PCA=30∘.
由AB⊥AD，AB⊥PA，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面APD，所以AB⊥平面APD，
又因为CD//AB，所以CD⊥平面APD，
因为PD⊂平面APD，所以CD⊥PD，由勾股定理得PD= AP2+AD2=2 3.
设点E到平面PCD的距离为d，由PE=2EB，可知BE=13BP，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF//AP，且EF=13AP=23，
由VE−PCD=VP−BCD−VE−BCD，得13×d×2×2 32=13×2×2×2 22−13×23×2×2 22，
解得d=4 69.
综上，ACD正确，B错误．
故选：ACD.
根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理可判断C，由外接球的球心在PC中点，利用球的体积可求出AB=AP=2，据此求出AC可判断B，再由勾股定理求出PD判断A，利用等体积法可求出E到平面PCD的距离判断D.
本题主要考查点、线、面间的距离计算，考查转化能力，属于难题．
13.【答案】5
【解析】解：在△ABC中，a= 39，b=2，∠A=120∘，
则由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，即39=4+c2−4c×(−12)，
化简得c2+2c−35=0，
解得c=5或c=−7(舍去).
故答案为：5.
根据题意利用余弦定理直接列方程求解即可．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
14.【答案】 155
【解析】解：建立如图所示空间直角坐标系：
则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),E(0,0,12),F(12,12,0),G(1,1,12),C1(0,1,1)，
FG=(12,12,12),C1E=(0,−1,−12)，C1E⋅FG=−12−14=−34,|FG|= 32,|C1E|= 52，
所以|cs⟨C1E,FG⟩|=|C1E⋅FG|C1E|⋅|FG||=34 32⋅ 52= 155，
即C1E与FG所成的角的余弦值为 155.
故答案为： 155.
建立空间直角坐标系，分别求得FG=(12,12,12),C1E=(0,−1,−12)，再利用向量的夹角公式求解．
本题考查了异面直线所成的角的计算问题，属于基础题．
15.【答案】2e
【解析】解：∵a=(2,2 3)，e为单位向量，
∴|e|=1，|a|= 22+(2 3)2=4，
∴a⋅e=1×4×csπ3=2，
∴向量a在向量e上的投影向量为a⋅e|e|⋅e|e|=2e.
故答案为：2e.
利用投影向量的定义，集合向量的数量积运算求解．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
16.【答案】100
【解析】解：当c∈[95,100]时，f(c)=p(c)+q(c)=(c−95)×0.002+(100−c)×0.01+5×0.002=−0.008c+0.82，
有函数f(c)在c∈[95,100]单调递减，
所以f(100)≤f(c)≤f(95)⇒0.02≤f(c)≤0.06，
当c∈(100,105]时，f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c−100)×0.012+(105−c)×0.002=0.01c−0.98，
有函数f(c)在c∈(100,105]单调递增，
所以f(100)所以f(c)=−0.008c+0.82,95≤c≤1000.01c−0.98,100所以f(c)在[95,105]上有最小值0.02，
当c=100时取到最小值．
故答案为：100.
根据题意结合频率分布直方图求出函数f(c)的解析式，然后利用函数的性质求出最小值时的自变量c的值即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵a=(1,−2)，b=(3,4)，
∴3a−b=3(1,−2)−(3,4)=(0,−10)，
a+kb=(1,−2)+k(3,4)=(3k+1,4k−2)，
∵(3a−b)//(a+kb)，∴0+10(3k+1)=0，解得k=−13.
(2)a−tb=(1,−2)−t(3,4)=(1−3t,−2−4t)，
∵(a−tb)⊥b，∴(a−tb)⋅b=3×(1−3t)+4×(−2−4t)=−25t−5=0，
解得t=−15.
【解析】本题考查了两个向量垂直和平行的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
(1)由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出k的值．
(2)由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，求出t的值．
18.【答案】解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为
8000×0.25a+4000×0.30a+6000×0.15a+3000×0.10a+10000×0.20aa=6400(美元)，
因为6400∈[4046,12535),
所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．
(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：
{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{B,C}，
{B,D}，{B,E}，{C,D}，{C,E}，{D,E}，共10个．
设事件M为“抽到的2个行政区人均GDP至少一个没达到中等偏上收入国家标准”，
则事件M包含的基本事件是：
{A,B}，{A,D}，{B,C}，{B,D}，
{B,E}，{C,D}，{D,E}，共7个，
所以所求概率为P(M)=710=0.7.
【解析】(1)计算该城市该城市人均GDP，比较即可得结论；
(2)利用列举法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案．
本题考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，是中档题．
19.【答案】(1)证明：连接CD，
因为AC=1，AA1=2，D是AA1的中点，
所以CD= 2，C1D= 2，则CD2+C1D2=CC12，
所以CD⊥C1D，又DC1⊥BD，DC∩BD=D，DC，BD⊂平面BCD，
所以DC1⊥平面BCD，
又BC⊂平面BCD，所以DC1⊥BC，
又CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC，
CC1∩DC1=C1，CC1，DC1⊂平面AA1C1C，所以BC⊥平面AA1C1C；
(2)解：如图，
由BC⊥平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，BC⊥AC，
又CC1⊥AC，CC1∩BC=C，CC1，BC⊂平面BB1C1C，
所以AC⊥平面BB1C1C，
因为AC=BC=1，所以AB= 2，则BD= 3，BC1= 12+22= 5，
所以BD2+DC12=BC12，所以BD⊥DC1，
设点E到平面C1BD的距离为h，
∵VE−C1BD=VD−BC1E，
∴13S△C1BD⋅h=13S△BC1E⋅AC，
即h×12× 2× 3=1×12×12×2×1，解得h= 66，
所以点E到平面C1BD的距离为 66.
【解析】(1)连接CD，即可得到CD⊥C1D，从而得到DC1⊥平面BCD，则DC1⊥BC，再由直棱柱的性质得到CC1⊥BC，即可得证；
(2)设点E到平面C1BD的距离为h，根据VE−C1BD=VD−BC1E，利用等体积法计算可得．
本题主要考查线面垂直的判定，点到平面距离的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则P(A)=34，P(A−)P(C−)=120，P(B)P(C)=815，
所以P(C)=45，P(B)=23，
所以乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率为23和45.
(2)有0名同学回答正确的概率P0=14×13×15=160，
有1名同学回答正确的概率P1=34×13×15+14×23×15+14×13×45=960，
所以不少于2名同学回答正确这道题的概率P=1−P0−P1=1−160−960=56.
【解析】(1)记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件A，B，C，根据相互独立事件的概率乘法公式，列出方程组，即可求解；
(2)根据独立事件的概率乘法公式，分别求得0名同学回答正确和1名同学回答正确的概率，结合对立事件的概率公式，即可求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
21.【答案】(1)解：因为△ABD面积为 32，且D为BC的中点，所以S△ACD= 32，S△ABC= 3，
过A作AE⊥BC，垂足为E，
在△ADE中，∠ADC=π3，AD=1，
所以DE=12，AE= 32，
所以S△ACD=12⋅ 32CD= 32，解得CD=2，
所以CE=32，
故tanC=AECE= 3232= 33，
又C为三角形的内角，所以C=π6.
(2)证明：因为D为BC的中点，所以AD=12(AB+AC)，
将其两边平方得，AD2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)=14(c2+b2+2bccsA)，
因为AD=1，b2+c2=8，所以1=14(8+2bccsA)，即bccsA=−2①，
由(1)知，S△ABC= 3=12bcsinA，所以bcsinA=2 3②，
由①②解得tanA=− 3，
因为0又b2+c2=8，所以b=c=2，
所以B=C.
【解析】(1)过A作AE⊥BC于E，在△ADE中，求出DE和AE，根据S△ACD= 32，求出CD和CE，再在Rt△AEC中，计算出tanC的值，即可得解；
(2)根据AD=12(AB+AC)，将其两边平方，结合平面向量数量积运算，可得bccsA=−2，再由S△ABC= 3，并结合三角形的面积公式，推出bcsinA=2 3，进而知A，b和c的值，即可得证．
本题考查解三角形，熟练掌握三角形的面积公式，平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
22.【答案】证明：(Ⅰ)连结BD交AC于点O，连结OM.
因为 AB//CD，AB=2CD，所以BODO=ABCD=2.
因为 BM=2MP，所以BMPM=2.所以 BMPM=BODO.
所以OM//PD.…(2分)
因为 OM⊂平面MAC，PD⊄平面MAC，
所以 PD//平面MAC.…(4分)
(Ⅱ)因为 平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥AB，
平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD.…(6分)
因为PA⊂平面PAD，所以AB⊥PA.
同理可证：AD⊥PA.
因为 AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD∩AB=A，
所以PA⊥平面ABCD.…(9分)
解：(Ⅲ)分别以边AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
由AB=AD=AP=2CD=2，
得A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,1,0)，D(2,0,0)，P(0,0,2)，
则AC=(2,1,0)，PB=(0,2,−2).
由(Ⅱ)得：PA⊥平面ABCD.
所以 平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1).…(10分)
设PMPB=λ(0≤λ≤1)，即PM=λPB.所以 AM=AP+λPB=(0,2λ,2−2λ).
设平面AMC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AC=0m⋅AM=0，即2x+y=02λ⋅y+(2−2λ)⋅z=0.
令x=λ−1，则y=2−2λ，z=−2λ.所以 m=(λ−1,2−2λ,−2λ).
因为 二面角B−AC−M的余弦值为23，
所以 |2λ| 9λ2−10λ+5=23，解得λ=12.
所以 PMPB的值为12.…(14分)
【解析】(Ⅰ)连结BD交AC于点O，连结OM，推导出OM//PD，由此能证明PD//平面MAC.
(Ⅱ)推导出AB⊥PA，AD⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD.
(Ⅲ)分别以边AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PMPB的值．
本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．行政区
区人口占城市人口比例
区人均GDP(单位：美元)
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10000