2022-2023学年吉林省长春市博硕学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市博硕学校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若复数，则的共轭复数在复平面上对应的点为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知为的中线，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知在中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知为单位向量，，向量的夹角为，则在上的投影向量是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某江南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，游船正好抵达处时，(    )

A.  B.  C.  D.

6.  为了得到函数的图象，可将函数的图象(    )

A. 向左平移个长度单位 B. 向左平移个长度单位
C. 向右平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位

7.  已知，则下列描述中正确的是(    )

A. 函数周期是 B. 当，函数最大值是
C. 直线不是该函数的一条对称轴 D. 当，函数没有最小值

8.  在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列说法错误的有(    )

A. 三点确定一个平面
B. 平面外两点、可确定一个平面与平面平行
C. 三个平面相交，交线平行
D. 棱台的侧棱延长后必交于一点

10.  下列命题为真命题的是(    )

A. 若复数，则，
B. 若为虚数单位，为正整数，则
C. 若，则
D. 若，其中，为实数，，

11.  在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是(    )

A. 若，则为锐角三角形
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则是等腰三角形

12.  已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为，则以下说法正确的是(    )

A.
B. 若为偶函数，则
C. 若在区间上单调递增，则的最大值为
D. 若的一个对称中心为，则

三、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  复数 ______ ．

14.  如图，已知的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角，则的面积为______ ．

15.  已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则该正三棱锥外接球的表面积是______．

16.  已知函数其中的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数在复平面内所对应的点为．
若复数为纯虚数，求的值；
若点在第三象限，求的取值范围．

18.  本小题分
如图，在梯形中，为的中点，，，，．
求；
求与夹角的余弦值．

19.  本小题分
在中，已知，，．
求面积；
求内切圆半径．

20.  本小题分
如图，棱长为的正方体，截去八个一样的四面体，得到一个新的多面体，
求新多面体的体积；
新多面体的表面积是多少？

21.  本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式及对称中心坐标：
先把的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围．

22.  本小题分
已知向量．
当时，求的值；
设函数，且，求的最大值以及对应的的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
由已知求得，则答案可求．
本题复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
【解答】
解：，
，
在复平面上对应的点为．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：为的中线，
由平行四边形法则得：
．
故选：．
由为的中线，利用平行四边形法则能求出．
本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量平行四边形法则的合理运用．
 

3.【答案】 

【解析】解：由余弦定理可得，即，解得，
所以，
所以为直角三角形，
则在中，．
故选：．
直接利用余弦定理可解得，由此可知为直角三角形，所以．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为是单位向量，，向量的夹角为，
所以在上的投影向量是．
故选：．
根据投影向量的定义计算即可．
本题考查了投影向量的定义与运算问题，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：依题意，作图如下，设由到航行的时间为，则，，
在直角三角形中，，
所以，
所以，
所以，
故选：．
依题意可作出图形，利用图中的直角三角形可求得，从而可得答案．
本题考查解三角形，作出图形求得是关键，考查作图能力与分析运算能力，属中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：令，
则，
为了得到函数 的图象，可将函数的图象向右平移个单位．
故选：．
利用函数的图象变换即可求得答案．
本题考查函数的图象变换，掌握平移变换的规律是解决问题的关键，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，
所以的周期为，选项A错误；
时，，的最大值为，选项B正确；
时，，，所以不是的对称轴，选项C错误；
时，，有最小值为，选项D错误．
故选：．
化函数为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质，判断选项中的命题是否正确即可．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，由正弦定理得，
因为，所以，
又因为，所以；
设外接圆的圆心为，半径为，
则由正弦定理得，
如图所示，取的中点，

在中，；
在中，；
，当且仅当圆心在上时取等号，
所以的最大值是．
故选：．
在中，由正弦定理得，根据，当且仅当圆心在上时取等号，可求得的最大值．
本题考査正弦定理解三角形、线段的最值，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
 

9.【答案】 

【解析】解：不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，所以该选项错误；
B.平面外两点、在平面的垂线上，则经过、不能确定一个平面与平面平行，所以该选项错误；
C.三个平面相交，交线不一定平行，如三棱锥的三个侧面，所以该选项错误；
D.棱台的侧棱延长后必交于一点，所以该选项正确．
故选：．
利用平面的基本性质判断选项A；举反例判断选项BC；利用棱台的定义判断选项D即得解．
本题考查平面的基本性质以及棱台的定义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，若复数，
则，，故A正确；
对于，若为虚数单位，为正整数，
则，故B错误；
对于，若，则不一定成立，如，，故C错误；
对于，若，其中，为实数，则，
，解得，，故D正确．
故选：．
利用复数的性质判断选项A；通过计算判断选项BD；举反例判断选项C即得解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由于，则，由于，所以，不一定说明为锐角三角形，故A错误；
对于：为锐角三角形，则，所以，故，整理得，故B正确；
对于：若，且、，则或，则整理得：或，为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于：若，利用正弦定理：，化简得：，所以，故A，则是等腰三角形，故D正确．
故选：．
直接利用三角函数关系的变换，正弦定理和余弦定理判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理和余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，图象的相邻两对称轴间的距离为，
则，，，A错误；
若为偶函数，则，，，
，，，B正确；
项：，，
在区间上单调递增，
，，
，且，
又，，
则的最大值为，C正确；
项：，
，，，不存在．
故选：．
项，根据相邻两对称轴间的距离为，可得周期，确定；项，为偶函数，则，看确定，项，根据函数的单调性来求即可；项，根据求确定．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据直观图画出原图，如图所示，，，
所以．
故答案为：．
根据直观图画出原图，求出，即得解．
本题考查直观图相关知识，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形的外接圆的圆心，外接圆的半径，
正三棱锥的外接球的球心在高所在的直线上，设为，
连接得：，
所以，即，
所以三棱锥的高，
由勾股定理得，，解得：，
所以外接球的表面积．
故答案为：．
正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积．
本题主要考查正三棱锥的外接球的表面积以及计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由函数的图象，可得，，即，
所以，即，
又由，可得，解得，即，
因为，所以，即，
令，解得，
即函数的递减区间为．
故答案为：．
根据函数的图象，结合三角函数的性质，求得，进而求得函数的单调递减区间．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：由题意得，
因为为纯虚数，
所以，解得．
复数在平面内所对应的点为，
因为点在第三象限，所以，解得，
所以实数的取值范围为． 

【解析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】解：由题意建立如图所示的平面直角坐标系，
设，
又在梯形中，为的中点，，，，，
则，，，，，
则；
由可得，，
则，，，
则与夹角的余弦值为． 

【解析】先结合题意建立平面直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可；
由平面向量数量积的坐标运算，结合与夹角的余弦值为求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量的夹角的求法，属基础题．
 

19.【答案】解：因为，，，
所以．
由，
解得，
设内切圆半径为，
则，
所以，
故内切圆半径为． 

【解析】直接由三角形面积计算公式，代入计算即可；
首先由余弦定理求出，再由等面积法即可求出内切圆半径．
本题考查了三角形面积计算问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．
 

20.【答案】解：由题意正方体的体积，
截去的每个四面体的体积，
所以新多面体的体积．
由图可知新多面体的侧面由个正方形和个正三角形组成，
正方形的边长和正三角形的棱长均为，正三角形的高为，
所以正方形面积，三角形面积，
所以新多面体的表面积． 

【解析】利用正方体的体积减去八个四面体的体积即可求解；
分别求出新多面体每个侧面的面积，相加即可．
本题考查空间几何体的体积以及表面积的相关计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意可得：，可得，所以，
因为，所以，可得，
所以，．
由，可得，
因为，所以，所以．
令，可得，所以，对称中心为．
由于先把的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，
故．
当时，，
若关于的方程有实数根，则有实根，
所以，，可得：．
所以，实数的取值范围为． 

【解析】由题意，根据函数的最值求出和，由周期求出，由特殊点的坐标求出，可得函数的解析式，从而得出结论．
由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得的取值范围．
本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出还考查了函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

22.【答案】解：，
，，；
，
，
，
，，
，即时，取最大值． 

【解析】根据得出，进行向量坐标的数量积运算即可求出的值；
可求出，然后进行数量积的坐标运算可求出，并根据两角差的正弦公式化简，然后根据的范围即可求出的最大值及对应的的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，两角差的正弦公式，正弦函数的最值求法，考查了计算能力，属于基础题．