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（沪教版2020必修第一册）高一数学上学期精品讲义 第四章综合测试卷（A卷 基础巩固）学生版+教师版
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绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第四章 幂函数、指数函数与对数函数（A基础巩固）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020 第四章 幂函数、指数函数与对数函数。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、填空题：1．若，则的最小值为___________.2．若，且，则________.3．若，，则的最小值为________．4．已知关于x的方程有四个不同的解，则实数k的取值范围为________．5．已知幂函数的图像不经过原点，则实数_________.6．函数的定义域为_________.7．若函数在上的最大值为，则其最小值为_________.8．函数的值域是，则实数的取值范围是___________.9．若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有 个.10．函数的定义域为________.11．若，则x的取值范围是________.12．若函数的值域为，则实数m的取值范围为________.二、选择题：13．若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）A．2或 B．3或 C．4或 D．2或14．已知函数，则（ ）A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数15．下列四组函数中，两个函数相同的是（ ）.A．和 B．和C．和 D．和16．中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了（ ）（附：）A． B． C． D．三、解答题：17．已知函数是定义域为上的奇函数.（1）求的值；（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；（3）若在上的最小值为，求的值.18．已知函数，.（1）求的值；（2）设，求函数在上的值域.19．地震是常见的自然灾害，我国政府投入了大量的人力、财力、物力来监测预防．根据中国地震台网统计数据，把5级以上的地震定为大震，目前为止，2019年全年，我国共发生32次大震，其中震级最大的为发生在4月18日的台湾花莲的6.7级地震．有记录以来我国震级最大的为1950年的8.5级的西藏墨脱地震．人类有记录以来震级最大的为1920年的9.5级的智利大地震．地震是地壳释放能量的结果，设释放的能量为E，地震级数为M，有如下经验公式：（a为某常数）．（1）假设1级地震产生约焦耳的能量，请问5级地震产生的能量为多少？（用科学计数法表示）（2）设题设中台湾花莲地震、西藏墨脱地震、智利大地震释放的能量分别为、、，试判断与的大小关系，并说明理由．20．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）21．已知(､)是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）当时，的值域是，求实数与的值. 绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第四章 幂函数、指数函数与对数函数（A基础巩固）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020 第四章 幂函数、指数函数与对数函数。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、填空题：1．若，则的最小值为___________.【答案】【分析】利用对数运算法则得出满足的等式，然后利用基本不等式求最值．【详解】∵，∴，即，∴，则或，若，，则，，不合题意，∴．∴，当且仅当，即时等号成立，∴所求最小值为8．故答案为：8．【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式求最值．属于中档题．2．若，且，则________.【答案】【分析】将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得的值.【详解】,,.,.又∵,,即,,.故答案为：3．若，，则的最小值为________．【答案】．【分析】利用指数运算性质，根据基本不等式求最值.【详解】，且当且仅当时取等号，即的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．已知关于x的方程有四个不同的解，则实数k的取值范围为________．【答案】【分析】令，可知直线与函数的图象有4个交点，易知是定义域上的偶函数，可画出函数的图象，进而根据两个图象的交点个数，可求出的范围.【详解】令，则直线与函数的图象有4个交点，函数的定义域为，且，∴函数是定义域上的偶函数，当时，，即，画出函数在上的图象，并且根据对称性，可画出在上的图象，如下图所示，根据图象可知，当时，直线与函数的图象没有交点，不符合题意；当时，直线与函数的图象有2个交点，不符合题意；当时，直线与函数的图象有4个交点，符合题意.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．已知幂函数的图像不经过原点，则实数_________.【答案】【分析】先由幂函数的定义求出，再检验得解.【详解】依题意得，解得．此时，其图像不经过原点，符合题意，因此实数m的值为2．故答案为: 6．函数的定义域为_________.【答案】【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】，，解得所以函数的定义域为，故答案为：7．若函数在上的最大值为，则其最小值为_________.【答案】【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数在单调递增，所以，解得，当，，故答案为：8．函数的值域是，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】函数的值域为，即能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.【详解】设，由的值域为R，知可以取所有的正值，又，当且仅当时等号成立，故的值域为，所以只需满足即可，即故答案为：【点睛】关键点点睛：求出的值域，由题意知能取遍一切正实数，转化为的值域包含是解题的关键，属于中档题.9．若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有 个.【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x2+4x+1（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2" /ex （x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故答案为210．函数的定义域为________.【答案】【分析】根据二次根式的定义进行求解即可.【详解】由，可得，所以函数的定义域为，故答案为：11．若，则x的取值范围是________.【答案】【分析】由题意利用数函数的单调性和定义域，求得的范围．【详解】解：由，可得，，故答案为：．12．若函数的值域为，则实数m的取值范围为________.【答案】【分析】根据对数型函数的单调性，结合指数型函数的单调性进行分类讨论求解即可,【详解】当时，，因为函数在时是单调递增函数，所以有，即，当时， ，根据指数复合函数的单调性的性质可知：函数在时，单调递减，在时，单调递增，当时，由，可得，即，因为函数的值域为，所以有，即必有，而，所以不成立；当时，此时，而，因为函数的值域为，所以必有，，而，所以，故答案为：【点睛】关键点睛：掌握指数型复合函数的单调性的性质是解题的关键.二、选择题：13．若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）A．2或 B．3或 C．4或 D．2或【答案】A【分析】分别讨论和，然后利用对数函数的单调性列方程即可得解.【详解】由题意解得或（舍去），①当时，函数在定义域内为增函数，则由题意得，所以即，解得或（舍去）；②当时，函数在定义域内为减函数，则由题意得，所以即，解得；综上可得：或.故选：A.【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于基础题.14．已知函数，则（ ）A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】A【分析】由可直接得到结果.【详解】，，为奇函数，但不是偶函数.故选：A.15．下列四组函数中，两个函数相同的是（ ）.A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根据相同函数的定义，从定义域、值域、对应关系三方面进行判断即可.【详解】A：函数的定义域为全体实数集，函数的定义域为非负实数集，故两个函数不相同，不符合题意；B：函数的定义域为全体实数集，函数的定义域为非零的实数集，故两个函数不相同，不符合题意；C：当时，函数的值域为，其中当时，，当时，；当时，函数的值域为，其中当时，，当时，，因此两个函数是相同函数，符合题意；D：函数的定义域为非零的实数集，函数的定义域为正实数集，因此两个函数不相同，不符合题意，故选：C16．中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了（ ）（附：）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果.【详解】将信噪比从提升至，大约增加了，所以，大约增加了.故选：B.三、解答题：17．已知函数是定义域为上的奇函数.（1）求的值；（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；（3）若在上的最小值为，求的值.【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）．【分析】（1）因为是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质，结合已知，即可求得答案；（2）先根据定义法判断的单调性，结合奇函数性质，即可求解不等式的解集；（3）因为，令，可得，分别讨论和，即可求得的值.【详解】（1）是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质可得当时，可得即：解得：（2）由（1）可得：可知的定义为在上任取，且，即在上单调递增，可化简为：，即，解得或．不等式的解集为．（3）．令，则．，．当时，则当时，，解得；当时，则当时，，解得，(舍去)．综上所述，．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了根据奇偶性和单调性解不等式和根据函数最值求参数，解题关键是掌握定义法判断函数单调性的步骤和根据函数最值求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．已知函数，.（1）求的值；（2）设，求函数在上的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）可求出，从而可得出的值；（2），时，可得出的值域，进而可得出在，上的值域．【详解】解：（1）因为，所以，；（2），，时，，，在上的值域为．19．地震是常见的自然灾害，我国政府投入了大量的人力、财力、物力来监测预防．根据中国地震台网统计数据，把5级以上的地震定为大震，目前为止，2019年全年，我国共发生32次大震，其中震级最大的为发生在4月18日的台湾花莲的6.7级地震．有记录以来我国震级最大的为1950年的8.5级的西藏墨脱地震．人类有记录以来震级最大的为1920年的9.5级的智利大地震．地震是地壳释放能量的结果，设释放的能量为E，地震级数为M，有如下经验公式：（a为某常数）．（1）假设1级地震产生约焦耳的能量，请问5级地震产生的能量为多少？（用科学计数法表示）（2）设题设中台湾花莲地震、西藏墨脱地震、智利大地震释放的能量分别为、、，试判断与的大小关系，并说明理由．【答案】（1）（焦耳）；（2）；理由见解析．【分析】（1）由题意，求出a的值，再令，代入公式即可得解；（2）由，可得，分别表示出的值，已知，，再用作商法比较大小即可.【详解】（1）由题意，，即，解得当时，，即，即所以5级地震产生的能量为（焦耳）；（2）由，可得显然，，从而，，而由指数函数的性质知：，故【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，对数的运算性质，及指数函数的性质，解题的关键是仔细审题，结合已知条件计算，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于较难题.20．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解；（2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当时，设函数，因为，所以，所以，当时，，由，解得，所以，综上，函数的解析式为.（2）当时，令，即，解得或（舍去），所以，当时，令，得，所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟.21．已知(､)是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）当时，的值域是，求实数与的值.【答案】（1）；（2）时在上严格减；时.在上严格增；（3）.【分析】（1）根据奇函数的定义可知f（﹣x）+f（x）＝0，建立关于m的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n，a﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n和a的值．【详解】（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）＝0即，所以，即解得，当时，无意义，舍去.故.（2）由（1）及题设知：，设，∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2．当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知得，n＝1．【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.
绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第四章 幂函数、指数函数与对数函数（A基础巩固）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020 第四章 幂函数、指数函数与对数函数。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、填空题：1．若，则的最小值为___________.2．若，且，则________.3．若，，则的最小值为________．4．已知关于x的方程有四个不同的解，则实数k的取值范围为________．5．已知幂函数的图像不经过原点，则实数_________.6．函数的定义域为_________.7．若函数在上的最大值为，则其最小值为_________.8．函数的值域是，则实数的取值范围是___________.9．若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有 个.10．函数的定义域为________.11．若，则x的取值范围是________.12．若函数的值域为，则实数m的取值范围为________.二、选择题：13．若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）A．2或 B．3或 C．4或 D．2或14．已知函数，则（ ）A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数15．下列四组函数中，两个函数相同的是（ ）.A．和 B．和C．和 D．和16．中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了（ ）（附：）A． B． C． D．三、解答题：17．已知函数是定义域为上的奇函数.（1）求的值；（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；（3）若在上的最小值为，求的值.18．已知函数，.（1）求的值；（2）设，求函数在上的值域.19．地震是常见的自然灾害，我国政府投入了大量的人力、财力、物力来监测预防．根据中国地震台网统计数据，把5级以上的地震定为大震，目前为止，2019年全年，我国共发生32次大震，其中震级最大的为发生在4月18日的台湾花莲的6.7级地震．有记录以来我国震级最大的为1950年的8.5级的西藏墨脱地震．人类有记录以来震级最大的为1920年的9.5级的智利大地震．地震是地壳释放能量的结果，设释放的能量为E，地震级数为M，有如下经验公式：（a为某常数）．（1）假设1级地震产生约焦耳的能量，请问5级地震产生的能量为多少？（用科学计数法表示）（2）设题设中台湾花莲地震、西藏墨脱地震、智利大地震释放的能量分别为、、，试判断与的大小关系，并说明理由．20．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）21．已知(､)是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）当时，的值域是，求实数与的值. 绝密★启用前|满分数学命制中心2023-2024学年上学期第四章 幂函数、指数函数与对数函数（A基础巩固）高一数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：泸教版必修一2020 第四章 幂函数、指数函数与对数函数。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、填空题：1．若，则的最小值为___________.【答案】【分析】利用对数运算法则得出满足的等式，然后利用基本不等式求最值．【详解】∵，∴，即，∴，则或，若，，则，，不合题意，∴．∴，当且仅当，即时等号成立，∴所求最小值为8．故答案为：8．【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式求最值．属于中档题．2．若，且，则________.【答案】【分析】将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得的值.【详解】,,.,.又∵,,即,,.故答案为：3．若，，则的最小值为________．【答案】．【分析】利用指数运算性质，根据基本不等式求最值.【详解】，且当且仅当时取等号，即的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．已知关于x的方程有四个不同的解，则实数k的取值范围为________．【答案】【分析】令，可知直线与函数的图象有4个交点，易知是定义域上的偶函数，可画出函数的图象，进而根据两个图象的交点个数，可求出的范围.【详解】令，则直线与函数的图象有4个交点，函数的定义域为，且，∴函数是定义域上的偶函数，当时，，即，画出函数在上的图象，并且根据对称性，可画出在上的图象，如下图所示，根据图象可知，当时，直线与函数的图象没有交点，不符合题意；当时，直线与函数的图象有2个交点，不符合题意；当时，直线与函数的图象有4个交点，符合题意.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．已知幂函数的图像不经过原点，则实数_________.【答案】【分析】先由幂函数的定义求出，再检验得解.【详解】依题意得，解得．此时，其图像不经过原点，符合题意，因此实数m的值为2．故答案为: 6．函数的定义域为_________.【答案】【分析】根据对数的真数大于0求解即可.【详解】，，解得所以函数的定义域为，故答案为：7．若函数在上的最大值为，则其最小值为_________.【答案】【分析】根据指数函数的单调性即可求解.【详解】因为函数在单调递增，所以，解得，当，，故答案为：8．函数的值域是，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】函数的值域为，即能取遍一切正实数，利用均值不等式求解即可.【详解】设，由的值域为R，知可以取所有的正值，又，当且仅当时等号成立，故的值域为，所以只需满足即可，即故答案为：【点睛】关键点点睛：求出的值域，由题意知能取遍一切正实数，转化为的值域包含是解题的关键，属于中档题.9．若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对”）.已知函数，则的“友好点对”有 个.【答案】2【详解】解：根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y=2x2+4x+1（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y="2" /ex （x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故答案为210．函数的定义域为________.【答案】【分析】根据二次根式的定义进行求解即可.【详解】由，可得，所以函数的定义域为，故答案为：11．若，则x的取值范围是________.【答案】【分析】由题意利用数函数的单调性和定义域，求得的范围．【详解】解：由，可得，，故答案为：．12．若函数的值域为，则实数m的取值范围为________.【答案】【分析】根据对数型函数的单调性，结合指数型函数的单调性进行分类讨论求解即可,【详解】当时，，因为函数在时是单调递增函数，所以有，即，当时， ，根据指数复合函数的单调性的性质可知：函数在时，单调递减，在时，单调递增，当时，由，可得，即，因为函数的值域为，所以有，即必有，而，所以不成立；当时，此时，而，因为函数的值域为，所以必有，，而，所以，故答案为：【点睛】关键点睛：掌握指数型复合函数的单调性的性质是解题的关键.二、选择题：13．若函数（且）在区间上的最大值比最小值多2，则（ ）A．2或 B．3或 C．4或 D．2或【答案】A【分析】分别讨论和，然后利用对数函数的单调性列方程即可得解.【详解】由题意解得或（舍去），①当时，函数在定义域内为增函数，则由题意得，所以即，解得或（舍去）；②当时，函数在定义域内为减函数，则由题意得，所以即，解得；综上可得：或.故选：A.【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于基础题.14．已知函数，则（ ）A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】A【分析】由可直接得到结果.【详解】，，为奇函数，但不是偶函数.故选：A.15．下列四组函数中，两个函数相同的是（ ）.A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根据相同函数的定义，从定义域、值域、对应关系三方面进行判断即可.【详解】A：函数的定义域为全体实数集，函数的定义域为非负实数集，故两个函数不相同，不符合题意；B：函数的定义域为全体实数集，函数的定义域为非零的实数集，故两个函数不相同，不符合题意；C：当时，函数的值域为，其中当时，，当时，；当时，函数的值域为，其中当时，，当时，，因此两个函数是相同函数，符合题意；D：函数的定义域为非零的实数集，函数的定义域为正实数集，因此两个函数不相同，不符合题意，故选：C16．中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了（ ）（附：）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数减法与换底公式可求得结果.【详解】将信噪比从提升至，大约增加了，所以，大约增加了.故选：B.三、解答题：17．已知函数是定义域为上的奇函数.（1）求的值；（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；（3）若在上的最小值为，求的值.【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）．【分析】（1）因为是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质，结合已知，即可求得答案；（2）先根据定义法判断的单调性，结合奇函数性质，即可求解不等式的解集；（3）因为，令，可得，分别讨论和，即可求得的值.【详解】（1）是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质可得当时，可得即：解得：（2）由（1）可得：可知的定义为在上任取，且，即在上单调递增，可化简为：，即，解得或．不等式的解集为．（3）．令，则．，．当时，则当时，，解得；当时，则当时，，解得，(舍去)．综上所述，．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了根据奇偶性和单调性解不等式和根据函数最值求参数，解题关键是掌握定义法判断函数单调性的步骤和根据函数最值求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．已知函数，.（1）求的值；（2）设，求函数在上的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）可求出，从而可得出的值；（2），时，可得出的值域，进而可得出在，上的值域．【详解】解：（1）因为，所以，；（2），，时，，，在上的值域为．19．地震是常见的自然灾害，我国政府投入了大量的人力、财力、物力来监测预防．根据中国地震台网统计数据，把5级以上的地震定为大震，目前为止，2019年全年，我国共发生32次大震，其中震级最大的为发生在4月18日的台湾花莲的6.7级地震．有记录以来我国震级最大的为1950年的8.5级的西藏墨脱地震．人类有记录以来震级最大的为1920年的9.5级的智利大地震．地震是地壳释放能量的结果，设释放的能量为E，地震级数为M，有如下经验公式：（a为某常数）．（1）假设1级地震产生约焦耳的能量，请问5级地震产生的能量为多少？（用科学计数法表示）（2）设题设中台湾花莲地震、西藏墨脱地震、智利大地震释放的能量分别为、、，试判断与的大小关系，并说明理由．【答案】（1）（焦耳）；（2）；理由见解析．【分析】（1）由题意，求出a的值，再令，代入公式即可得解；（2）由，可得，分别表示出的值，已知，，再用作商法比较大小即可.【详解】（1）由题意，，即，解得当时，，即，即所以5级地震产生的能量为（焦耳）；（2）由，可得显然，，从而，，而由指数函数的性质知：，故【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，对数的运算性质，及指数函数的性质，解题的关键是仔细审题，结合已知条件计算，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于较难题.20．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【答案】（1）；（2）14分钟.【分析】（1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解；（2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当时，设函数，因为，所以，所以，当时，，由，解得，所以，综上，函数的解析式为.（2）当时，令，即，解得或（舍去），所以，当时，令，得，所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟.21．已知(､)是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）当时，的值域是，求实数与的值.【答案】（1）；（2）时在上严格减；时.在上严格增；（3）.【分析】（1）根据奇函数的定义可知f（﹣x）+f（x）＝0，建立关于m的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n，a﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n和a的值．【详解】（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）＝0即，所以，即解得，当时，无意义，舍去.故.（2）由（1）及题设知：，设，∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2．当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知得，n＝1．【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.
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