人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线习题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A夯实基础
一、单选题
1．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））已知抛物线的焦点为，，是上一点，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高二课时练习）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．1B．
C．D．6
5．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“点”，则下列结论中正确的是( )
A．直线上的所有点都是“点”
B．直线上仅有有限个点是“点”
C．直线上的所有点都不是“点”
D．直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”
6．（2022·河南·林州一中高二开学考试（文））如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若，且，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·四川自贡·高二期末（文））过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
8．（2022·湖北孝感·高二期末）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022·湖北·丹江口市二中高二期末）已知圆，直线，直线l与抛物线交于A，B两点，（ ）．
A．l被圆C截得的弦长的最小值为
B．l被圆C截得的弦长的最小值为
C．若弦AB中点的坐标为，则
D．若弦AB中点的坐标为，则
10．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为，弦的中点为C，则关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（ ）
A．点B．轴C．D．
三、填空题
11．（2022·海南海口·二模）已知抛物线的焦点为F，第一象限的A，B两点在C上，若，，，则直线AB的斜率为______．
12．（2022·江西抚州·高二期末（理））如图，抛物线：的焦点为，圆：，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______.
四、解答题
13．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线与交于A、B两点，且，求直线的方程.
14．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
B能力提升
1．（2022·山西吕梁·二模（文））已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则( )
A．6B．7C．9D．10
2．（2022·全国·高三专题练习）抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（ ）
A．m＋n＝mnB．m＋n＝4C．mn＝4D．无法确定
3．（2022·全国·高二专题练习）若直线过抛物线的焦点交抛物线于两点，则的取值范围为__________．
4．（2022·江苏·高二）已知抛物线方程，求过点且被该点平分的抛物线的弦所在直线方程．
C综合素养
1．（2022·安徽滁州·高二期末）已知抛物线：的焦点为，其准线与轴交于点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)在（2）的条件下求面积的最小值．
2．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：点P在定直线上.
3.3.2抛物线的简单几何性质（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））已知抛物线的焦点为，，是上一点，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
由抛物线方程 ，得p=1，准线方程为 ，
点A到焦点F的距离等于到准线的距离，即 ，
解得 ；
故选：A.
2．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
因为抛物线，所以抛物线，所以抛物线的焦点在轴上，则焦点坐标为.
故选：D.
3．（2022·全国·高二课时练习）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由抛物线方程可知：，.
故选：B.
4．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．1B．
C．D．6
【答案】B
设直线l的方程为，与抛物线方程联立，得，
设，，则，，
所以，，
，
所以，当且仅当时，等号成立．
故选：B．
5．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“点”，则下列结论中正确的是( )
A．直线上的所有点都是“点”
B．直线上仅有有限个点是“点”
C．直线上的所有点都不是“点”
D．直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”
【答案】A
如图所示：
设，
由题意可知点是的中点，则，
∵在上，∴，
消去，整理得关于的方程，
∵恒成立，
∴方程恒有实数解．
即对于任意的点，都存在，使得.
故选：A．
6．（2022·河南·林州一中高二开学考试（文））如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若，且，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
如图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点.
设，,
，由抛物线定义得：，
故
在直角三角形中，，
，，
，
，
，
∥，，
，即，
，
所以抛物线的方程为.
故选：A
7．（2022·四川自贡·高二期末（文））过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
【答案】C
由已知，可得
①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得，
，，解得，故直线方程.
所以存在3条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点.
故选：C.
8．（2022·湖北孝感·高二期末）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由题意知：，；
，，
；
令，则，
，
则当，即时，取最大值，此时.
故选：C.
二、多选题
9．（2022·湖北·丹江口市二中高二期末）已知圆，直线，直线l与抛物线交于A，B两点，（ ）．
A．l被圆C截得的弦长的最小值为
B．l被圆C截得的弦长的最小值为
C．若弦AB中点的坐标为，则
D．若弦AB中点的坐标为，则
【答案】AD
因为直线，，即过定点
，则在圆C内，
所以当直线l与CP垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短．
因为圆C的半径为2，，所以弦长的最小值为，A正确，B错误
设，，则，
相减得，整理得．
因为弦AB中点的坐标为，所以，得，C正确，D错误
故选：AD．
10．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为，弦的中点为C，则关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（ ）
A．点B．轴C．D．
【答案】BCD
由消y可得
令，
，
，
解得，，A错．
，∴轴，B对．
，∴，D对．
，∴，C对，
故选：BCD．
三、填空题
11．（2022·海南海口·二模）已知抛物线的焦点为F，第一象限的A，B两点在C上，若，，，则直线AB的斜率为______．
【答案】
如图所示，设C的准线为l，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E，过A作于点P．
由抛物线的定义可知，，所以．又因为，，所以，所以直线AB的斜率．
故答案为：.
12．（2022·江西抚州·高二期末（理））如图，抛物线：的焦点为，圆：，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______.
【答案】
解：由题意知,圆的圆心为，半径，抛物线方程，
四边形的面积，
又，所以，
由抛物线定义，得，又，所以，
所以，所以.
故答案为：.
四、解答题
13．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线与交于A、B两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
(1)由题意抛物线的焦点，准线方程是，，，
的标准方程为.．
(2)显然的斜率不为0，设，，，
联立，得
，，，
又，所以，即，
即，
即，解得，
所以直线的方程为，即或.
14．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
【答案】(1)；(2)
(1)因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；
(2)因为点M是抛物线的准线上的动点，设．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．
由得，
因为，所以，
即，所以，
因为，所以；
因为，所以，
即，所以，
所以因为，所以①．
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．
由得，所以，
且，所以（*），
因为，所以，即，所以，
所以，得，
因为，所以，
即，所以，
所以
则
所以，得，
所以②，
代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．
B能力提升
1．（2022·山西吕梁·二模（文））已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则( )
A．6B．7C．9D．10
【答案】D
焦点为，p＝4，设的中点为，
∴，
∴，即，故，
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，故，
故，∴，
∴．
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（ ）
A．m＋n＝mnB．m＋n＝4C．mn＝4D．无法确定
【答案】A
抛物线的焦点，准线x＝－1，
设，把它代入得，
设，，则，由抛物线定义可得，，
∴，，
∴m＋n＝mn．
故选:A
3．（2022·全国·高二专题练习）若直线过抛物线的焦点交抛物线于两点，则的取值范围为__________．
【答案】
易知坐标，准线方程为．
设过点直线方程为)，
代入抛物线方程，得．
化简后为：．
设，则有
根据抛物线性质可知，
则，
故答案为：
4．（2022·江苏·高二）已知抛物线方程，求过点且被该点平分的抛物线的弦所在直线方程．
【答案】
设过点且被该点平分的抛物线的弦为线段，设点、，
若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.
由已知条件可得，因为，两式作差可得，
所以，，
因此，直线的方程为，即.
C综合素养
1．（2022·安徽滁州·高二期末）已知抛物线：的焦点为，其准线与轴交于点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)在（2）的条件下求面积的最小值．
【答案】(1)(2)过定点，(3)
（1）由题意可得，可得，所以抛物线的方程为：；
（2）由题意直线的斜率显然存在，设直线的方程为，设，，联立，整理可得：，，即，且，，所以，解得，所以直线的方程为，所以直线恒过定点；
（3）由可得直线的方程为，即，所以到直线的距离，由可得，，所以，当时取等号，所以面积的最小值为．
2．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：点P在定直线上.
【答案】(1)(2)证明见解析
(1)设直线l的方程为，，.
由得.
所以，.由抛物线定义，得
.
当直线l的倾斜角为30°时，，
.
所以，即抛物线C的标准方程为.
(2)由（1），得，.
因为的垂心为原点O，所以，.
因为，所以.
所以直线AP的方程为，即.
同理可得，直线BP的方程为.
联立方程解得
即.所以点P在定直线上.