人教版七年级数学下学期期末复习常考点知识巩固+例题练习+期末模拟测 专题01 相交线与平行线（原卷版+解析）

这是一份人教版七年级数学下学期期末复习常考点知识巩固+例题练习+期末模拟测 专题01 相交线与平行线（原卷版+解析），共46页。

考点一：对顶角、邻补角
【知识点巩固】
对顶角、邻补角的概念：
如图，像∠1与∠2这样具有 ，两边均互为 的两个角是对顶角。像∠1与∠3这样具有 ，具有一条 ，另一边互为 的两个角互为邻补角。
【例题：概念理解】
1．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．大小相等的两个角互为对顶角
B．有公共顶点且相等的两个角互为对顶角
C．和为180°的两个角互为邻补角
D．一个角的邻补角可能是锐角、钝角或直角
【知识点巩固】
对顶角、邻补角的性质：对顶角 ；邻补角 。
【例题：相关计算】
4．如图，直线a、b相交，∠1＝140°，则∠2+∠3＝（ ）
第4题 第5题
A．40°B．60°C．80°D．100°
5．如图，直线AB，CD交于点O．射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝72°，则∠BOM等于（ ）
A．36°B．108°C．126°D．144°
6．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOE，∠AOD＝140°．则∠BOE的度数为（ ）
第6题 第7题 第9题
A．120°B．110°C．100°D．80°
7．如图，∠C＝88°＝∠D，AD与BE相交于点E，若∠DBC＝23°，则∠CAE的度数是（ ）
A．23°B．25°C．27°D．无法确定
考点二：垂直
【知识点巩固】
垂直的概念：
在两条相交线形成的角中，若其中有一个角是 ，则这这两条相交直线 。交点叫 ，其中一条叫做另一条的 ，表示为 。
【例题：概念理解】
8．两条直线相交构成四个角，给出下列条件：①有一个角是直角；②有一对对顶角互补；③有三个角都相等；④有一组邻补角相等．其中能判定这两条直线互相垂直的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【例题：与垂直有关的计算】
9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝50°，则∠AOC＝（ ）
A．140°B．50°C．60°D．40°
10．如图，AO⊥BO，垂足为点O，直线CD经过点O，若∠2＝25°，则∠1的度数为（ ）
第10题 第11题
A．85°B．95°C．105°D．115°
11．如图，AB⊥CD于点O，OE平分∠AOC，若∠BOF＝18°，则∠EOF的度数为（ ）
A．116°B．117°C．118°D．127°
【知识点巩固】
垂线段的概念：
过直线外一点做直线的 ，点到垂足之间的 叫做垂线段。
垂线的性质：
垂线段 。
点到直线的距离等于垂线段的 。
【例题：点到直线的距离理解】
12．下列说法正确的是（ ）
A．线段AB叫做点B到直线AC的距离
B．线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
C．线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
D．线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
【例题：垂线段最短的应用与计算】
13．体育课上为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的脚印与踏板边沿之间的距离从而得出该同学的成绩，其所用的数学原理是 ．
第13题 第14题
14．如图，CD⊥AB，垂足是点D，AC＝8，BC＝6，CD＝4，点E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，那么CE的长为整数值的线段有（ ）
A．3条B．8条C．7条D．5条
15．若点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的不同的点，其中PA＝4，PB＝5，PC＝6，那么点P到直线l的距离是（ ）
A．小于4B．4
C．小于或等于4D．大于或等于4
16．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6cm，BC＝4cm，则BD的长度的取值范围是（ ）
A．大于4cmB．小于6cm
C．大于4cm或小于6cmD．大于4cm且小于6cm
考点三：同位角、内错角与同旁内角
【知识点巩固】
同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的 ，并且在第三条直线（截线）的 ，则这样一对角叫做同位角．
内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的 ，并且在第三条直线（截线）的 ，则这样一对角叫做内错角．
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的 ，并且在第三条直线（截线）的 ，则这样一对角叫做同旁内角．
同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形。
【例题：三种角位置关系的理解】
17．如图，则∠3的同旁内角是（ ）
第17题 第18题
A．∠1B．∠2C．∠4D．∠5
18．如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠3与∠5是同位角
C．∠5与∠6是内错角D．∠1与∠4是内错角
19．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，下面哪个选项中三个角，分别是∠1的同位角、∠2的同旁内角和∠3的内错角（ ）
A．∠2，∠3，∠6B．∠2，∠6，∠4
C．∠4，∠3，∠2D．∠4，∠6，∠2
考点四：平行线
【知识点巩固】
平行线的定义：
平面内永不相交的两条 叫做平行线。记做 。
平行线的性质：
两直线平行， 。
两直线平行， 。
两直线平行， 。
平行公理及其推论：
平行公理：平面内过 一点有且只有 条直线与已知直线平行。
推论：平行于同一直线的两直线 。即若a∥b，a∥c，则 。
【例题：概念理解】
20．下列语句正确的有（ ）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4B．3C．2D．1
21．下列说法正确的是（ ）
A．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
22．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（ ）
A．互相垂直B．互相平行
C．相交D．没有确定关系
23．下列说法正确的个数是（ ）
①同位角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三条直线两两相交，总有三个交点；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例题：与性质有关的计算】
24．如图，直线l1、l2被直线l所截，l1∥l2，∠1＝136°，则∠2的度数是（ ）
第24题 第25题
A．44°B．46°C．134°D．136°
25．如图，已知直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝20°，则∠3的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
26．如图，小亮从A到达E，路线为A→B→C→D→E．由A到B和由D到E都是正北方向，中间经历了3次拐弯，第一次拐弯后，行进方向变为南偏东40°，若∠D＝105°，则∠BCD的度数为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．115°
27．如图，直线a∥b，将直角三角形的直角顶点放于直线a上，若∠1＝132°，则∠2的度数是（ ）
第27题 第28题
A．32°B．42°C．48°D．58°
28．如图，直线a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，已知∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．12°B．30°C．20°D．25°
【知识点巩固】
平行线的判定：
，两直线平行。
，两直线平行。
，两直线平行。
平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行。若 。
垂直于同一直线的两直线平行。若 。
【例题：判定条件的判定】
29．如图，下列选项提供的条件中，不能判断AB∥CD的是（ ）
第29题 第30题
A．∠DCA＝∠CAFB．∠C＝∠EDB
C．∠BAC+∠C＝180°D．∠GDE+∠B＝180°
30．如图，点E在CD的延长线上，BE与AD交于点F，下列条件能判断BC∥AD的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠A+∠CDA＝180°
C．∠4＝∠AD．∠2+∠5＝180°
31．如图，下列条件①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ADC＝180°．其中能判定AB∥CD的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例题：判定与性质的综合应用】
32．完成推理，并在括号内注明依据：
已知：如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠3，求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD（已知）
∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°（ ）
∴∠ACB＝∠EFB（ ）
∴ ∥ （ ）
∴∠A＝∠1（ ），∠2＝∠3（ ）
又∵∠A＝∠3（已知）
∴∠1＝ ∠2 （ ）
∴EF平分∠BED（ ）
33．请把下列证明过程及理由补充先整（填在横线上）．
已知：如图，在四边形ABCD中AD∥BC，F是边CD上一点，BC与AF的延长线交于点E，连接AC．且∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：AB∥CD．
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠3＝∠CAD（ ）．
∵∠3＝∠4（已知），
∴ ＝∠CAD（等量代换）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴1+∠CAF＝∠2+∠CAF（ ），
即 ＝ ，
∴∠4＝∠BAF（等量代换），
∴AB∥CD（ ）．
34．如图，∠ADM＝∠CBN，∠AMD+∠ANB＝180°．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若BD平分∠ABC，∠DBN＝3∠CBN，2∠BAE﹣∠BDE＝60°，求∠BDE的度数．
35．如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．
（1）求证：DG∥BC；
（2）若DG是角∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，请说明AB和CD有怎样的位置关系？
36．问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
猜想验证：（1）若∠1＝135°，∠2＝155°，试猜想∠P＝ ．
初步探究：（2）在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展探究：（3）将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．
考点五：命题与定理
【知识点巩固】
命题：
判断一件事情的语句叫做命题。分为 与 。均可以改写成 形式。
定理：
需要推理论证的真命题叫做定理。
【例题：真假命题的判断】
37．在同一平面内，a、b、c是三条不同的直线，下列命题是真命题的有（ ）
①若a∥b∥c，则：a∥c；
②若a⊥b，b⊥c．则a⊥c；
③若a∥b，b⊥c，则a∥c；
④若a∥b，b∥c．则a⊥c
A．1个B．2个C．3个D．4个
38．下列4个命题中，为假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
39．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补
B．有理数与数轴上的点一一对应
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D．0的立方根是0
【例题：命题的改写】
40．将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： ．
把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：
．
【例题：命题的证明】
42．如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题，并进行证明．（任选一种情况，写出已知、求证、证明．）
①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD．
43．如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．
（1）请按照：“∵ ， ；∴ ”的形式，写出所有正确的命题；
（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．
考点六：平移
【知识点巩固】
平移：
把一个图形按照一定的方向 移动一定的距离，这个过程叫做平移。
平移要素：
与 。
平移的性质：
平移前后对应点连线 ，且等于 。
平移前后对应线段 。
平移前后对应角 。
平移作图：
把图形的 按照 与 进行平移，得到相应的对应点，在把对应点按照 连接起来即可。
【例题：平移概念的理解】
44．下列现象中，不属于平移的是（ ）
A．滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行
B．时针的走动
C．商场自动扶梯上顾客的升降运动
D．火车在笔直的铁轨上行驶
45．下列生活中的现象，属于平移的是（ ）
A．地球绕着太阳转B．抽屉的拉开
C．坐在秋千上人的运动D．汽车刮雨器的运动
46．2022年北京冬奥会顺利闭幕，奥运会吉祥物“冰墩墩”让我们印象深刻，下面是“冰墩墩”的形象图片，在下面的四个图形中，能由图经过平移得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【例题：平移性质的应用与计算】
47．如图，在三角形ABC中，BC＝6，∠A＝70°，∠B＝50°，把三角形ABC平移三角形DEF位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A．AB∥DEB．∠D＝70°C．EC＝4D．BE＝4
48．如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上），如果BC＝8cm，EC＝5cm，那么平移距离为（ ）
第48题 第49题 第50题
A．3cmB．5cmC．8cmD．13cm
49．如图，已知∠3＝35°，∠2＝140°，直线b平移后得到直线a，则∠1的度数为（ ）
A．75°B．70°C．65°D．60°
50．如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿BC方向平移得到△DEF．若AB＝10cm，BE＝6cm，DH＝4cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．47cm2B．48cm2C．49cm2D．50cm2
【例题：平移作图】
51．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，点B的对应点是B'，解答以下问题：
（1）画出△A′B′C′；
（2）如果连接AA'、CC'，那么AA′与CC′的关系是 ；
（3）在平移过程中，线段AC扫过的图形的面积是 ．
相交线与平行线常考点知识巩固与题型练习
考点一：对顶角、邻补角
【知识点巩固】
对顶角、邻补角的概念：
如图，像∠1与∠2这样具有 公共点 ，两边均互为 反向延长线 的两个角是对顶角。像∠1与∠3这样具有 公共顶点 ，具有一条 公共边 ，另一边互为 反向延长线 的两个角互为邻补角。
【例题：概念理解】
1．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的定义逐个分析得结论．
【解答】解：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，
所以对顶角是两条直线相交形成的角，
选项A、B、D中的∠1、∠2都不是两条直线相交成的角，
故选项A、B、D中的∠1、∠2都不是对顶角；
选项C符合对顶角的定义．
故选：C．
2．下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．因为∠1与∠2是邻补角，所以A选项∠1与∠2不是对顶角，故A选项不符合题意；
B．因为∠1与∠2有公共顶点且两边互为延长线，所以B选项∠1与∠2是对顶角，故B选项符合题意；
C．因为∠1与∠2有公共顶点，但其中两边不是互为延长线，所以C选项∠1与∠2不是对顶角，故C选项不符合题意；
D．因为∠1与∠2有公共顶点，但其中两边不是互为延长线，所以C选项∠1与∠2不是对顶角，故D选项不符合题意；故选：B．
3．下列说法正确的是（ ）
A．大小相等的两个角互为对顶角
B．有公共顶点且相等的两个角互为对顶角
C．和为180°的两个角互为邻补角
D．一个角的邻补角可能是锐角、钝角或直角
【分析】根据对顶角、补角、邻补角的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．一个角的两条边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角，对顶角相等，因此选项A不符合题意；
B．虽然有公共顶点且相等的两个角也不一定是对顶角，因此选项B不符合题意；
C．和为180°的两个角互为补角，但不一定是邻补角，因此选项C不符合题意；
D．一个角的邻补角可能是锐角、钝角或直角，因此选项D符合题意；故选：D．
【知识点巩固】
对顶角、邻补角的性质：
对顶角 相等 ；邻补角 互补 。
【例题：相关计算】
4．如图，直线a、b相交，∠1＝140°，则∠2+∠3＝（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
【分析】利用邻补角互补可得∠2和∠3的度数，进而可得答案．
【解答】解：∵∠1＝140°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣140°＝40°，
∴∠2+∠3＝80°，故选：C．
5．如图，直线AB，CD交于点O．射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝72°，则∠BOM等于（ ）
A．36°B．108°C．126°D．144°
【分析】由对顶角的定义可得∠BOD＝∠AOC＝72°，根据邻补角的定义可得∠BOC＝180°﹣∠BOD的度数，根据角平分线的定义可得∠COM＝，由∠BOM＝∠BOC+∠COM计算即可得出答案．
【解答】解：∵∠BOD＝∠AOC＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣72°＝108°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM＝＝＝36°，
∴∠BOM＝∠BOC+∠COM＝108°+36°＝144°．
故选：D．
6．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOE，∠AOD＝140°．则∠BOE的度数为（ ）
A．120°B．110°C．100°D．80°
【分析】根据邻补角的定义求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠EOC，然后根据对顶角相等解答．
【解答】解：∵∠AOD＝140°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣140°＝40°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠EOC＝∠AOC＝40°，
∵∠BOC＝∠AOD＝140°，
∴∠BOE＝∠BOC﹣∠EOC＝140°﹣40°＝100°．
故选：C．
7．如图，∠C＝88°＝∠D，AD与BE相交于点E，若∠DBC＝23°，则∠CAE的度数是（ ）
A．23°B．25°C．27°D．无法确定
【分析】利用三角形内角和定理可得∠CAE＝∠DBE＝23°．
【解答】解：在△ACE和△BDE中，由三角形内角和定理可知，
∠CAE+∠AEC+∠C＝180°＝∠DBE+∠BED+∠D，
∵∠C＝88°＝∠D，∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE＝23°，
故选：A．
考点二：垂直
【知识点巩固】
垂直的概念：
在两条相交线形成的角中，若其中有一个角是 90° ，则这这两条相交直线 垂直 。交点叫 垂足 ，其中一条叫做另一条的 垂线 ，表示为 a⊥b 。
【例题：概念理解】
8．两条直线相交构成四个角，给出下列条件：①有一个角是直角；②有一对对顶角互补；③有三个角都相等；④有一组邻补角相等．其中能判定这两条直线互相垂直的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据垂直定义，对顶角、邻补角，余角和补角的定义进行分析，逐一判断即可．
【解答】解：两条直线相交构成四个角，
①有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直；
②有一对对顶角互补，根据对顶角相等可得，这一对对顶角都是90°，能判定两条直线互相垂直；
③有三个角都相等，则每个角都等于90°，能判定两条直线互相垂直；
④有一组邻补角相等，则这两个角都为90°，能判定两条直线互相垂直；
所以，能判定这两条直线互相垂直的有：①②③④，
共有4个，
故选：A．
【例题：与垂直有关的计算】
9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝50°，则∠AOC＝（ ）
A．140°B．50°C．60°D．40°
【分析】利用对顶角的概念，求∠AOC，也就是求∠BOD，而∠BOD与∠BOE互余，∠BOE是已知的，即可求解．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∵∠BOE+∠BOD＝∠DOE，∠BOE＝50°，
∴∠BOD＝40°，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC＝40°．
故选：D．
10．如图，AO⊥BO，垂足为点O，直线CD经过点O，若∠2＝25°，则∠1的度数为（ ）
A．85°B．95°C．105°D．115°
【分析】根据垂直定义求出∠AOB＝90°，从而求出∠3的度数，然后再利用平角180°减去∠3，进行计算即可解答．
【解答】解：∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∵∠2＝25°，
∴∠3＝∠AOB﹣∠2＝65°，
∴∠1＝180°﹣∠3＝115°，故选：D．
11．如图，AB⊥CD于点O，OE平分∠AOC，若∠BOF＝18°，则∠EOF的度数为（ ）
A．116°B．117°C．118°D．127°
【分析】直接利用垂直的定义结合角平分线的定义分别得出∠EOC，∠COF的度数，进而得出答案．
【解答】解：∵AB⊥CD于点O，
∴∠AOC＝90°，∠COB＝90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠EOC＝45°，
∵∠BOF＝18°，
∴∠COF＝90°﹣18°＝72°，
则∠EOF＝∠EOC+∠COF＝45°+72°＝117°．
故选：B．
【知识点巩固】
垂线段的概念：
过直线外一点做直线的 垂线 ，点到垂足之间的 线段 叫做垂线段。
垂线的性质：
垂线段 最短 。
点到直线的距离等于垂线段的 长度 。
【例题：点到直线的距离理解】
12．下列说法正确的是（ ）
A．线段AB叫做点B到直线AC的距离
B．线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
C．线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
D．线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离可得答案．
【解答】解：A、线段DB的长度叫做点B到直线AC的距离，故此选项错误；
B、线段AB的长度叫做点A到直线BC的距离，故此选项错误；
C、线段BD的长度叫做点B到直线DC的距离，故此选项错误；
D、线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离，故此选项正确，
故选：D．
【例题：垂线段最短的应用与计算】
13．体育课上为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的脚印与踏板边沿之间的距离从而得出该同学的成绩，其所用的数学原理是 ．
【分析】利用垂线段的性质解答即可．
【解答】解：为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的脚印与踏板边沿之间的距离从而得出该同学的成绩，其所用的数学原理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
14．如图，CD⊥AB，垂足是点D，AC＝8，BC＝6，CD＝4，点E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，那么CE的长为整数值的线段有（ ）
A．3条B．8条C．7条D．5条
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，垂足是点D，AC＝8，BC＝5，CD＝4，
∴CE长的范围是4≤CE≤8，
∴CE的长为整数值的线段有4、5、5、6、6、7，8，共7条，故选：C．
15．若点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的不同的点，其中PA＝4，PB＝5，PC＝6，那么点P到直线l的距离是（ ）
A．小于4B．4
C．小于或等于4D．大于或等于4
【分析】利用点到直线的距离的定义来判断即可．
【解答】解：∵点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，
∴根据垂线段最短知，P到l的距离小于或等于4．
故选：C．
16．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6cm，BC＝4cm，则BD的长度的取值范围是（ ）
A．大于4cmB．小于6cm
C．大于4cm或小于6cmD．大于4cm且小于6cm
【分析】直接利用垂线段的性质：垂线段最短，进而得出答案．
【解答】解：∵AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6cm，BC＝4cm，
∴BD的长度的取值范围是：大于4cm且小于6cm．
故选：D．
考点三：同位角、内错角与同旁内角
【知识点巩固】
同位角、内错角、同旁内角的概念：
同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的 同侧 ，并且在第三条直线（截线）的 同旁 ，则这样一对角叫做同位角．
内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的 之间 ，并且在第三条直线（截线）的 两旁 ，则这样一对角叫做内错角．
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的 之间 ，并且在第三条直线（截线）的 同旁 ，则这样一对角叫做同旁内角．
同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形。
【例题：三种角位置关系的理解】
17．如图，则∠3的同旁内角是（ ）
A．∠1B．∠2C．∠4D．∠5
【分析】根据同旁内角的定义解答即可．同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【解答】解：∠3的同旁内角是∠4．
故选：C．
18．如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠3与∠5是同位角
C．∠5与∠6是内错角D．∠1与∠4是内错角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解即可．
【解答】解：∠1与∠2是同旁内角，
故A正确，不符合题意；
∠3与∠5是同位角，
故B正确，不符合题意；
∠5与∠6是内错角，
故C正确，不符合题意；
∠1与∠4不是内错角，
故D错误，符合题意；
故选：D．
19．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，下面哪个选项中三个角，分别是∠1的同位角、∠2的同旁内角和∠3的内错角（ ）
A．∠2，∠3，∠6B．∠2，∠6，∠4C．∠4，∠3，∠2D．∠4，∠6，∠2
【分析】根据内错角、同位角、同旁内角定义求解即可：
内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；
同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【解答】解：∠1的同位角有：∠2，
∠2的同旁内角有：∠3，∠6，∠BAD，
∠3的内错角有：∠4，
故选：B．
考点四：平行线
【知识点巩固】
平行线的定义：
平面内永不相交的两条 直线 叫做平行线。记做 a∥b 。
平行线的性质：
两直线平行， 同位角相等 。
两直线平行， 内错角相等 。
两直线平行， 同旁内角互补 。
平行公理及其推论：
平行公理：平面内过 直线外 一点有且只有 1 条直线与已知直线平行。
推论：平行于同一直线的两直线 平行 。即若a∥b，a∥c，则 b∥c 。
【例题：概念理解】
20．下列语句正确的有（ ）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．
【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；故选：D．
21．下列说法正确的是（ ）
A．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；垂线段的性质可得答案．
【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误；
B、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原题说法错误；
C、直线外一点与该直线上所有点的连线中垂线最短，故原题说法错误；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法正确；
故选：D．
22．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（ ）
A．互相垂直B．互相平行
C．相交D．没有确定关系
【分析】作出图形，根据平行公理的推论解答．
【解答】解：如图，∵a∥b，a⊥c，
∴c⊥b，
又∵b⊥d，
∴c∥d．
故选：B．
23．下列说法正确的个数是（ ）
①同位角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三条直线两两相交，总有三个交点；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行公理，垂线的定义，相交线的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①同位角相等，错误，只有两直线平行，才有同位角相等；
②应为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题错误；
③应为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题错误；
④三条直线两两相交，总有一个交点或三个交点，故本小题错误；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，正确．
综上所述，正确的只有⑤共1个．
故选：A．
【例题：与性质有关的计算】
24．如图，直线l1、l2被直线l所截，l1∥l2，∠1＝136°，则∠2的度数是（ ）
A．44°B．46°C．134°D．136°
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠1+∠3＝180°，∠1＝136°，
∴∠3＝44°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝44°，
故选：A．
25．如图，已知直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝20°，则∠3的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
【分析】根据平行线的性质可知∠4＝∠1，再根据三角形的外角的性质知∠3＝∠4+∠2，即可求解．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠4＝∠1＝50°，
∴∠3＝∠4+∠2＝50°+20°＝70°．
故选：B．
26．如图，小亮从A到达E，路线为A→B→C→D→E．由A到B和由D到E都是正北方向，中间经历了3次拐弯，第一次拐弯后，行进方向变为南偏东40°，若∠D＝105°，则∠BCD的度数为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．115°
【分析】根据平行线的性质可求∠1，∠2的度数，再根据角的和差关系可求∠BCD的度数．
【解答】解：如图，
∵小亮从A到达E，路线为A→B→C→D→E．由A到B和由D到E都是正北方向中间经历了3次拐弯，
∴∠1＝∠B＝40°，∠2＝180°﹣∠CDE＝75°，
∴∠BCD＝∠1+∠2＝115°．
故选：D．
27．如图，直线a∥b，将直角三角形的直角顶点放于直线a上，若∠1＝132°，则∠2的度数是（ ）
A．32°B．42°C．48°D．58°
【分析】由平行线的性质可求得∠3＝48°，再由平角的定义可求∠2的度数．
【解答】解：如图，
由图可得∠4＝90°，
∵a∥b，∠1＝132°，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝48°，
∴∠2＝180°﹣∠4﹣∠3＝42°．
故选：B．
28．如图，直线a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，已知∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．12°B．30°C．20°D．25°
【分析】利用平行线的性质，平角的性质解决问题即可．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝42°，
∴∠2＝∠3﹣30°＝42°﹣30°＝12°，
故选：A．
【知识点巩固】
平行线的判定：
同位角相等 ，两直线平行。
内错角相等 ，两直线平行。
同旁内角互补 ，两直线平行。
平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行。若 a∥b，a∥c，则b∥c 。
垂直于同一直线的两直线平行。若 a⊥b，a⊥c，则b∥c 。
【例题：判定条件的判定】
29．如图，下列选项提供的条件中，不能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠DCA＝∠CAFB．∠C＝∠EDB
C．∠BAC+∠C＝180°D．∠GDE+∠B＝180°
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∵∠DCA＝∠CAF，
∴AB∥CD，
故A不符合题意；
∵∠C＝∠EDB，
∴AC∥BD，
故B符合题意；
∵∠BAC+∠C＝180°，
∴AB∥CD，
故C不符合题意；
∵∠GDE+∠B＝180°，∠GDE+∠BDE＝180°，
∴∠B＝∠BDE，
∴AB∥CD，
故D不符合题意；
故选：B．
30．如图，点E在CD的延长线上，BE与AD交于点F，下列条件能判断BC∥AD的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠A+∠CDA＝180°
C．∠4＝∠AD．∠2+∠5＝180°
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴AB∥CD，
故A不符合题意；
∵∠A+∠CDA＝180°，
∴AB∥CD，
故B不符合题意；
∵∠4＝∠A，
∴AB∥CD，
故C不符合题意；
∵∠2+∠5＝180°，∠DFE+∠5＝180°，
∴∠DFE＝∠2，
∴BC∥AD，
故D符合题意；
故选：D．
31．如图，下列条件①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ADC＝180°．其中能判定AB∥CD的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．
【解答】解：①由∠1＝∠2可判定AD∥BC，不符合题意；
②由∠BAD＝∠BCD不能判定AB∥BC，不符合题意；
③由∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4知∠ABD＝∠CDB，可判定AB∥CD，符合题意；
④由∠BAD+∠ADC＝180°可判定AB∥CD，符合题意；
故选：B．
【例题：判定与性质的综合应用】
32．完成推理，并在括号内注明依据：
已知：如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠3，求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD（已知）
∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°（ ）
∴∠ACB＝∠EFB（ ）
∴ ∥ （ ）
∴∠A＝∠1（ ），∠2＝∠3（ ）
又∵∠A＝∠3（已知）
∴∠1＝ ∠2 （ ）
∴EF平分∠BED（ ）
【分析】由垂直可得∠ACB＝∠EFB＝90°，从而可判定EF∥AC，从而有∠A＝∠1，∠2＝∠3，则有∠1＝∠2，即可求解．
【解答】证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD（已知），
∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°（垂直的定义），
∴∠ACB＝∠EFB（等量代换），
∴EF∥AC（同位角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠1（两直线平行，同位角相等），∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵∠A＝∠3（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴EF平分∠BED（角平分线的定义）．
故答案为：垂直的定义；等量代换；EF；AC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；∠2；等量代换；角平分线的定义．
33．请把下列证明过程及理由补充先整（填在横线上）．
已知：如图，在四边形ABCD中AD∥BC，F是边CD上一点，BC与AF的延长线交于点E，连接AC．且∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：AB∥CD．
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠3＝∠CAD（ ）．
∵∠3＝∠4（已知），
∴ ＝∠CAD（等量代换）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴1+∠CAF＝∠2+∠CAF（ ），
即 ＝ ，
∴∠4＝∠BAF（等量代换），
∴AB∥CD（ ）．
【分析】由平行线的性质得∠3＝∠CAD，从而得∠4＝∠CAD，从而可求得∠BAF＝∠CAD，则有∠4＝∠BAF，从而得证AB∥CD．
【解答】证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠3＝∠CAD（两直线平行，内错角相等）．
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠4＝∠CAD（等量代换）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠BAF＝∠CAD，
∴∠4＝∠BAF（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠4；等式的性质；∠BAF；∠CAD；同位角相等，两直线平行．
34．如图，∠ADM＝∠CBN，∠AMD+∠ANB＝180°．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若BD平分∠ABC，∠DBN＝3∠CBN，2∠BAE﹣∠BDE＝60°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）由题意得∠AMD+∠DMN＝180°，从而求得∠ANB＝∠DMN，则可判定DM∥BN，即有∠BDM＝∠DBN，可求得∠ADB＝∠CBD，即可判定AD∥BC；
（2）由角平分线的定义得∠CBD＝∠ABD，由（1）可得∠ABC+∠BAE＝180°，∠BDE+∠CBD＝180°，结合所给的条件即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠AMD+∠DMN＝180°，∠AMD+∠ANB＝180°，
∴∠ANB＝∠DMN，
∴DM∥BN，
∴∠BDM＝∠DBN，
∵∠ADM＝∠CBN，
∴∠BDM+∠ADM＝∠DBN+∠CBN，
即∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠BDE+∠CBD＝180°，
∴∠CBD＝180°﹣∠BDE，
∴∠ABC＝2∠CBD＝360°﹣2∠BDE，
∴∠BAE＝180°﹣∠ABC＝2∠BDE﹣180°，
∵2∠BAE﹣∠BDE＝60°，
∴2（2∠BDE﹣180°）﹣∠BDE＝60°，
解得：∠BDE＝140°．
35．如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．
（1）求证：DG∥BC；
（2）若DG是角∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，请说明AB和CD有怎样的位置关系？
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠2＝∠DCB，求出∠1＝∠DCB，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质求出∠BCG＝180°﹣∠3＝95°，求出∠DCE＝45°，根据平行的性质求出∠CDE＝45°，根据角平分线定义求出∠ADC即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠DCB，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCB，
∴DG∥BC；
（2）解：CD⊥AB，理由如下：
由（1）知DG∥BC，
∵∠3＝85°，
∴∠BCG＝180°﹣∠3＝95°，
∵∠DCE：∠DCG＝9：10，
∴∠DCE＝95°×＝45°，
∵DG∥BC，
∴∠1＝∠DCE＝45°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC＝2∠1＝90°，
∴CD⊥AB．
36．问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
猜想验证：（1）若∠1＝135°，∠2＝155°，试猜想∠P＝ ．
初步探究：（2）在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展探究：（3）将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．
【分析】（1）过点P作PM∥AB，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点P作PM∥AB，根据平行线的性质即可求解；
（3）过点P作PM∥AB，结合（2）再根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，
∵∠1＝135°，∠2＝155°，
∴∠EPM＝45°，∠MPF＝25°，
∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝45°+25°＝70°，
故答案为：70°；
（2）∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2，理由如下：
如图①，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，
∴∠EPM＝180°﹣∠1，∠MPF＝180°﹣∠2，
∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝360°﹣∠1﹣∠2；
（3）如图②，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，
由（2）知，∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2，
∵PM∥AB，
∴∠1+∠EPM＝180°，
∴∠EPM＝180°﹣∠1，
∵∠EPG＝∠EPM+∠MPG＝75°，
∴∠MPG＝75°﹣∠EPM＝75°﹣（180°﹣∠1）＝∠1﹣105°，
∴∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2＝360°﹣（∠1﹣105°）﹣∠2＝465°﹣（∠1+∠2），
∵∠1+∠2＝325°，
∴∠PGF＝465°﹣325°＝140°．
考点五：命题与定理
【知识点巩固】
命题：
判断一件事情的语句叫做命题。分为 真命题 与 假命题 。均可以改写成 如果...那么... 的形式。
定理：
需要推理论证的真命题叫做定理。
【例题：真假命题的判断】
37．在同一平面内，a、b、c是三条不同的直线，下列命题是真命题的有（ ）
①若a∥b∥c，则：a∥c；
②若a⊥b，b⊥c．则a⊥c；
③若a∥b，b⊥c，则a∥c；
④若a∥b，b∥c．则a⊥c
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的判定方法及垂直的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、①若a∥b∥c，则：a∥c，正确，是真命题，符合题意；
②若a⊥b，b⊥c．则a∥c，故错误，是假命题，不符合题意；
③若a∥b，b⊥c，则a∥c，正确，是真命题，符合题意；
④若a∥b，b∥c．则a∥c，故错误，是假命题，不符合题意，
真命题有2个，
故选B．
38．下列4个命题中，为假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【分析】根据对顶角性质、平行线的判定逐项判断．
【解答】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法是假命题，符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，不符合题意；
故选：C．
39．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补
B．有理数与数轴上的点一一对应
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
D．0的立方根是0
【分析】根据平行线的性质，实数及相关概念，点到直线的距离的定义逐项判断．
【解答】解：A、如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补，故A是假命题，不符合题意；
B、实数与数轴上的点一一对应，故B是假命题，不符合题意；
C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故C是假命题，不符合题意；
D、0的立方根是0，故D是真命题，符合题意；
故选：D．
【例题：命题的改写】
40．将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为： ．
【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．
【解答】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：
．
【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．
【解答】解：把命题“垂直于同一条直线的两直线平行”，改写成“如果…，那么…”的形式：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【例题：命题的证明】
42．如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题，并进行证明．（任选一种情况，写出已知、求证、证明．）
①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD．
【分析】条件：①②，结论：③，根据平行线的性质直接证明即可．
【解答】解：条件：①②，结论：③，证明过程如下：
∵CE∥AB，
∴∠B＝∠ECD，
∴∠A＝∠ACE，
∵∠A＝∠B，
∴∠ACE＝∠ECD，
∴CE平分∠ACD．
43．如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截．请你从以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM＝∠CEN中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题．
（1）请按照：“∵ ， ；∴ ”的形式，写出所有正确的命题；
（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程．
【分析】（1）以三个条件的任意2个为题设，另外一个为结论组成命题即可；
（2）根据平行线的性质进行证明．
【解答】解：（1）命题1：∵AB∥CD，AM∥EN；
∴∠BAM＝∠CEN；
命题2：∵AB∥CD，∠BAM＝∠CEN；
∴AM∥EN；
命题3：∵AM∥EN，∠BAM＝∠CEN；
∴AB∥CD；
（2）证明命题1：
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CEA，
∵AM∥EN，
∴∠3＝∠4，
∴∠BAE﹣∠3＝∠CEA﹣∠4，
即∠BAM＝∠CEN．
故答案为AB∥CD，AM∥EN；∠BAM＝∠CEN．
考点六：平移
【知识点巩固】
平移：
把一个图形按照一定的方向 平行 移动一定的距离，这个过程叫做平移。
平移要素：
平移方向 与 平移距离 。
平移的性质：
平移前后对应点连线 平行且相等 ，且等于 平移距离 。
平移前后对应线段 平行且相等 。
平移前后对应角 相等 。
平移作图：
把图形的 关键点 按照 平移方向 与 平移距离 进行平移，得到相应的对应点，在把对应点按照 原图形 连接起来即可。
【例题：平移概念的理解】
44．下列现象中，不属于平移的是（ ）
A．滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行
B．时针的走动
C．商场自动扶梯上顾客的升降运动
D．火车在笔直的铁轨上行驶
【分析】利用平移的两要素来判断即可．
【解答】解：A、滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行，是平移现象；
B、时针的走动，是围绕一个点旋转，不是平移现象；
C、商场自动扶梯上顾客的升降运动，是平衡现象；
D、火车在笔直的铁轨上行驶，是平移现象．
故选：B．
45．下列生活中的现象，属于平移的是（ ）
A．地球绕着太阳转B．抽屉的拉开
C．坐在秋千上人的运动D．汽车刮雨器的运动
【分析】利用平移的定义，沿着某个方向移动一定的距离，可知B项正确．
【解答】解：A、地球绕着太阳转，是转动，不符合题意；
B、抽屉的拉开，是抽屉沿着一个方向移动一定的距离，符合题意；
C、坐在秋千上的人，绕着顶端旋转，不符合题意；
D、汽车刮雨器的运动，是绕着底端旋转，不符合题意．
故选：B．
46．2022年北京冬奥会顺利闭幕，奥运会吉祥物“冰墩墩”让我们印象深刻，下面是“冰墩墩”的形象图片，在下面的四个图形中，能由图经过平移得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．
【解答】解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是．
故选：B．
【例题：平移性质的应用与计算】
47．如图，在三角形ABC中，BC＝6，∠A＝70°，∠B＝50°，把三角形ABC平移三角形DEF位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（ ）
A．AB∥DEB．∠D＝70°C．EC＝4D．BE＝4
【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：∵把△ABC沿BC的方向平移到△DEF的位置，BC＝6，∠A＝70°，∠B＝50°，
∴∠D＝∠A＝70°，CF＝BE＝4，AB∥DE，
∴CE＝BC﹣BE＝2，
A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意，
故选：C．
48．如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上），如果BC＝8cm，EC＝5cm，那么平移距离为（ ）
A．3cmB．5cmC．8cmD．13cm
【分析】观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离＝BE＝8﹣5＝3，进而可得答案．
【解答】解：由题意平移的距离为BE＝BC﹣EC＝8﹣5＝3（cm），
故选：A．
49．如图，已知∠3＝35°，∠2＝140°，直线b平移后得到直线a，则∠1的度数为（ ）
A．75°B．70°C．65°D．60°
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：如图：
，
∵直线a平移后得到直线b，
∴a∥b，
∵∠4＝∠3＝35°，
∴5＝∠2﹣∠4＝140°﹣35°＝105°，
∴∠1＝180°﹣∠5＝180°﹣105°＝75°，
故选：A．
50．如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿BC方向平移得到△DEF．若AB＝10cm，BE＝6cm，DH＝4cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．47cm2B．48cm2C．49cm2D．50cm2
【分析】先根据平移的性质得到DE＝AB＝10cm，△ABC≌△DEF，则S△ABC＝S△DEF，HE＝6cm，所以S阴影部分＝S梯形ABEH，然后根据梯形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴DE＝AB＝10cm，△ABC≌△DEF，
∴S△ABC＝S△DEF，HE＝DE﹣DH＝10﹣4＝6（cm），
即S梯形ABEH+S△CEH＝S△CEH+S阴影部分，
∴S阴影部分＝S梯形ABEH＝×（6+10）×6＝48（cm2）．
故选：B．
【例题：平移作图】
51．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，点B的对应点是B'，解答以下问题：
（1）画出△A′B′C′；
（2）如果连接AA'、CC'，那么AA′与CC′的关系是 ；
（3）在平移过程中，线段AC扫过的图形的面积是 ．
【分析】（1）根据平移的性质找出对应点连接即可求解；
（2）由图形可知AA′与CC′的关系是平行且相等；
（3）利用割补法求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）由图形知AA′与CC′的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等；
（3）由图形可知，在平移过程中，线段AC扫过的图形的面积即为平行四边形ACC'A'的面积，
∴S▱ACC'A'＝10×2﹣2×＝10，
故答案为：10．