人教版七年级数学下学期期末复习常考点知识巩固+例题练习+期末模拟测 专题05 一元一次不等式（原卷版+解析）

这是一份人教版七年级数学下学期期末复习常考点知识巩固+例题练习+期末模拟测 专题05 一元一次不等式（原卷版+解析），共45页。


考点一：不等式
【知识点巩固】
不等式的概念：
用 连接的式子叫做不等式。不等式中可含未知数，也可不含未知数。但是必须满足 。
常见的不等号：
大于： ；小于： ；不等于： ；大于等于： ；小于等于： 。
【例题：判断不等式】
1．下列各式中，不是不等式的是（ ）
A．3x≠0B．4x2﹣2x+5C．﹣1＜0D．5x﹣2≥1
2．下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+y＜2，③2x＝3，④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【例题：根据描述列出不等式】
3．下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成a＞0
B．x不大于3，可表示成x＜3
C．m与4的差是负数，可表示成m﹣4＜0
D．x与2的和是非负数，可表示成x+2＞0
4．x是不大于5的正数，则下列表示正确的是（ ）
A．0＜x＜5B．0＜x≤5C．0≤x≤5D．x≤5
5．数x不大于3是指（ ）
A．x≤3B．x≥3C．x＞3D．x＜3
【知识点巩固】
不等式的性质：
性质1：不等式的左右两边同时加上（减去） 数（式子），不等号方向
。即若，则 （ ）
性质2：不等式的左右两边同时乘上（除以）同一个 ，不等号的方向 。即若，，则 ， （ ， ）
性质3：不等式的左右两边同时乘上（除以）同一个 ，不等号的方向 。即若，，则 ， （ ， ）
【例题：根据不等式的性质判不等式】
6．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．﹣9a＞﹣9bB．
C．D．7b﹣c＜7a﹣c
7．已知a＜b，则下列不等式错误的是（ ）
A．a﹣7＜b﹣7B．ac2＜bc2
C．D．1﹣3a＞1﹣3b
8．下列说法中错误的是（ ）
A．若a＜b，则a+1＜b+1
B．若﹣2a＞﹣2b，则a＜b
C．若a＜b，则ac＜b c
D．若a（c2+1）＜b（c2+1），则a＜b
9．下列判断不正确的是（ ）
A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4bB．若2a＞3a，则a＜0
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b
【知识点巩固】
不等式的解：
使不等式 的未知数的值。不等式的解有 个。
不等式的解集：
不等式的无数个解 叫做不等式的解集。
在数轴上表示不等式的解集：
确定边界，有等号用 ，没有等号用 。大于朝 ，小于朝 。
【例题：不等式的解集在数轴上表示】
10．在数轴上表示不等式x＞1的解集，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．在数轴上表示不等式﹣1＜x⩽2，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
13．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例题：写出数轴上表示的解集】
14．不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式的解是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1
15．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ）
A．x＜2B．x≤2C．x＞2D．x≥2
16．如图，数轴上表示的解集为（ ）
A．﹣3＜x≤2B．x≤2C．x＞﹣3D．﹣3≤x＜2
17．一个不等式组中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，这个不等式组的解集为（ ）
A．x＜﹣1B．x≤1C．﹣1＜x≤1D．x≥1
考点二：一元一次不等式
【知识点巩固】
一元一次不等式的概念：
含有 个未知数，且未知数的次数是 的不等式。
解一元一次不等式：
步骤1：去分母——不等式左右两边同时乘分母的 。用了 （填性质1或性质2或性质3）。
步骤2：去括号。
步骤3：移项——含有未知数的移到 ，常数移到右边。用了 （填性质1或性质2或性质3）。
步骤4：合并。
步骤5：系数化为1：不等式左右两边同除以 或乘以系数的 。当系数是
时，要注意符号的变化。用了 。（填性质1或性质2或性质3）。
【例题：一元一次不等式的概念理解】
18．在数学表达式：﹣4＜0，2x+y＞0，x＝1，x2+2xy+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
19．在x＞0，＜﹣1，2x＜﹣2+x，x+y≥﹣3，x+1＝0，x2＞3中，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例题：根据一元一次不等式的概念求值】
20．已知（m﹣4）x|m﹣3|+2＞6是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．4B．2C．4或2D．不确定
21．已知（m+2）x|m|﹣1+1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1B．±1C．2D．±2
22．已知（m﹣2）x|m|﹣1+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ﹣2 ．
【例题：解一元一次不等式】
23．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
24．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
25．解不等式1﹣，并写出它的非负整数解．
26．解不等式，并在数轴上表示解集，并写出它的非正整数解．
27．对于任意实数m、n，定义关于“⊕”的一种运算如下：m⊕n＝3m﹣2n．
例如：2⊕5＝3×2﹣2×5＝﹣4，（﹣1）⊕4＝3×（﹣1）﹣2×4＝﹣11．
（1）若（﹣3）⊕x＝2021，求x的值；
（2）若y⊕6＞10，求y的最小整数解．
【例题：求含未知字母的不等式】
28．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＜﹣1C．a＞1D．a＞﹣1
29．若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是x＜，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（ ）
A．x＜B．x＜﹣C．x＞D．x＞﹣
30．已知关于x的不等式（2a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为，则关于x的不等式ax＞b﹣a的解集为（ ）
A．x＜﹣3B．x＞﹣5C．D．
31．若关于x的不等式m x+m＜﹣n x+n的解集为x＞﹣，则关于x的不等式m x﹣m＞2nx﹣n的解集是（ ）
A．x＞B．x＜C．x＞﹣D．x＜﹣
考点三：一元一次不等式组
【知识点巩固】
一元一次不等式组的概念：
含有 的未知数的几个一元一次不等式组合在一起形成一元一次不等式组。
解一元一次不等式组：
即求不等式组中所有不等式的 。
一元一次不等式组解的情况：
①同大取大。即若，当时，不等式组的解集为 ，当时，不等式组的解集为 。
②同小取小。即若，当时，不等式组的解集为 ，当时，不等式组的解集为 。
③大小小大取中间。即若，，则不等式组的解集为 。
④大大小小无解答。即若，，则不等式 。
【例题：判断不等式组的解集】
32．不等式组的解集是（ ）
A．3＜x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜3D．﹣2＜x＜3
33．不等式组的解为 ．
34．下列不等式组中，无解的是（ ）
A．B．C．D．
【例题：根据不等式组的解集求字母的取值范围】
35．若不等式组的解为x＞a，则下列各式正确的是（ ）
A．a＜3B．a≤3C．a＞﹣3D．a≥﹣3
36．若不等式组的解集为x＜m，则m的取值范围为（ ）
A．m≤1B．m＝1C．m≥1D．m＜1
37．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3B．a＜﹣3C．a＞3D．a≥3
38．若不等式组的解集为x＞﹣b，则下列各式正确的是（ ）
A．a≥bB．a≤bC．a＞bD．a＜b
【例题：解一元一次不等式组】
39．解不等式组：．
40．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并求出所有非负整数解．
42．（1）解不等式；
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【例题：利用一元一次不等式的特殊解求字母的取值范围】
43．已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a＜﹣2B．﹣3＜a≤﹣2C．﹣3＜a＜﹣2D．a＜﹣2
44．已知关于x的不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1＜a＜﹣B．﹣1≤a≤﹣C．﹣1＜a≤﹣D．﹣1≤a＜﹣
45．不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣6＜a＜﹣5B．﹣6≤a＜﹣5C．﹣6＜a≤﹣5D．﹣6≤a≤﹣5
46．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
47．若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的方程的解为负整数，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点五：一元一次不等式（组）的实际应用
【知识点巩固】
解题步骤
①审题：仔细审题，找出题目中的 关系。
②设未知数。
③列不等式或不等式组。
④解不等式或不等式组。
⑤检验作答。
【例题：由实际问题抽象不等式】
48．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（19﹣x）≥90B．10x﹣5（19﹣x）＞90
C．10x﹣（19﹣x）≥90D．10x﹣（19﹣x）＞90
49．学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地300m2．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完30m2．学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，则x满足的不等关系为（ ）
A．30+（3﹣0.5）x≤300B．30+（3﹣0.5）x≥300
C．﹣0.5≤3D．0.5+≥3
50．一艘轮船从上游的A地匀速驶到下游的B地用了5h，从B地匀速返回A地用了不到7h，轮船在静水里往返的速度均为30km/h，则这段江水的流速x（km/h）满足的条件是（ ）
A．7（30﹣x）＞5（30+x）B．7（30﹣x）＜5（30+x）
C．7（x﹣30）＞5（x+30）D．7（x﹣30）＜5（x+30）
【例题：由实际问题抽象不等式组】
51．目前，我国已获批上市4款自主研发的新冠疫苗．某生物制药公司计划生产制造A、B两种疫苗共40万支，已知生产每支A疫苗需甲种原料8mg，乙种原料5mg；生产每支B疫苗需甲种原料4mg，乙种原料9mg．公司现有甲种原料4kg，乙种原料3kg，设计划生产A疫苗x支，下列符合题意的不等式组是（ ）
A． B．
C． D．
52．开发区某物流公司计划调用甲、乙两种型号的物流货车共15辆，运送360件A种货物和396件B种货物．已知甲种物流货车每辆最多能载30件A种货物和24件B种货物，乙种物流货车每辆最多能载20件A种货物和30件B种货物．设安排甲种物流货车x辆，你认为下列符合题意的不等式组是（ ）
A． B．
C． D．
53．某企业决定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？为解决这个问题，设购买A型污水处理设备x台，所列不等式组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例题：不等式组的实际应用题】
54．为坚决阻断新冠肺炎疫情传播途径，有效遏制疫情扩散和蔓延，宁波全市自12月7日起启动Ⅰ级应急响应，同时对镇海区临时实施封闭管理．某地红十字会计划将一批物资打包成箱捐赠给疫情严重的蛟川街道，其中口罩200箱，防护服120箱．
（1）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批口罩和防护服全部运往蛟川街道．已知甲种货车最多可装口罩40箱和防护服10箱，乙种货车最多可装口罩和防护服各20箱．安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（2）在第（1）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费2000元，乙种货车每辆需付运输费1800元，应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
55．桌游“剧本杀”已经成为了年轻人的新的娱乐方式，小帅计划开设一家剧本杀门店，计划建造A，B两类桌游房间共10个．两类桌游房的占地面积，容纳玩家数以及造价如下表：
已知门店可供使用面积最多不超过165平方米，且要求该门店至少可同时容纳64名玩家游戏．
（1）若要满足门店要求，则需建造A，B两类房间各几个？写出所有建造方案．
（2）具体计算判断哪种建造方案最省钱？
56．某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽宁波”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，请解答下列问题：
（1）求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价．
（2）若社区欲用不超过3600元购进两种垃圾桶共50个，其中A型垃圾桶至少29个，求有哪几种购买方案？
57．接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．
（1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗．
（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
58．某商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店有哪几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利5元，出售一件B种纪念品可获利3元，若商品全部卖出，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多，最多为多少元？（直接写出结果，不说明理由）
A型
B型
价格（万元/台）
12
10
月污水处理能力（吨/月）
200
160
类型
占地面积（平方米/间）
可容纳玩家数（人/间）
造价（万元/间）
A
15
6
2
B
20
10
3
一元一次不等式（组）常考点知识巩固与题型练习
考点一：不等式
【知识点巩固】
不等式的概念：
用 不等号 连接的式子叫做不等式。不等式中可含未知数，也可不含未知数。但是必须满足 不等关系 。
常见的不等号：
大于： ＞ ；小于： ＜ ；不等于： ≠ ；大于等于： ≥ ；小于等于： ≤ 。
【例题：判断不等式】
1．下列各式中，不是不等式的是（ ）
A．3x≠0B．4x2﹣2x+5C．﹣1＜0D．5x﹣2≥1
【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解答】解：A、3x≠0是不等式，故A不符合题意；
B、4x2﹣2x+5是代数式，不是不等式，故B符合题意；
C、﹣1＜0是不等式，故C不符合题意；
D、5x﹣2≥1是不等式，故D不符合题意；
故选：B．
2．下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+y＜2，③2x＝3，④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据不等式的定义进行判断．
【解答】解：不等式有：①3＞0，②4x+y＜2，⑤x+2≤3．
故选：B．
【例题：根据描述列出不等式】
3．下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成a＞0
B．x不大于3，可表示成x＜3
C．m与4的差是负数，可表示成m﹣4＜0
D．x与2的和是非负数，可表示成x+2＞0
【分析】根据各选项的表述列出个不等式，与选项中所表示的比对即可得出答案．
【解答】A、a不是负数，可表示成a≥0，故本选项错误；
B、x不大于3，可表示成x≤3，故本选项错误；
C、m与4的差是负数，可表示成m﹣4＜0，故本选项正确；
D、x与2的和是非负数，可表示成x+2≥0，故本选项错误．
故选：C．
4．x是不大于5的正数，则下列表示正确的是（ ）
A．0＜x＜5B．0＜x≤5C．0≤x≤5D．x≤5
【分析】根据已知列出不等式即可．
【解答】解：∵x是不大于5的正数，
∴0＜x≤5，
故选：B．
5．数x不大于3是指（ ）
A．x≤3B．x≥3C．x＞3D．x＜3
【分析】“数x不大于3”意思是x是小于或等于3的数，由此可列得相关式子．
【解答】解：数x不大于3是指x≤3；
故选：A．
【知识点巩固】
不等式的性质：
性质1：不等式的左右两边同时加上（减去） 同一个 数（式子），不等号方向 不发生改变 。即若，则 ＞ （ ＜ ）
性质2：不等式的左右两边同时乘上（除以）同一个 正数 ，不等号的方向 不发生改变 。即若，，则 ＞ ， ＞ （ ＜ ， ＜ ）
性质3：不等式的左右两边同时乘上（除以）同一个 负数 ，不等号的方向 发生改变 。即若，，则 ＜ ， ＜ （ ＞ ， ＞ ）
【例题：根据不等式的性质判不等式】
6．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．﹣9a＞﹣9bB．
C．D．7b﹣c＜7a﹣c
【分析】根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可．
【解答】解：A、因为a＞b，所以﹣9a＜﹣9b，故A不符合题意；
B、因为a＞b，所以b﹣12＜a﹣12，故B不符合题意；
C、因为a＞b，所以a＞b，故C不符合题意；
D、因为a＞b，所以7b﹣c＜7a﹣c，故D符合题意；
故选：D．
7．已知a＜b，则下列不等式错误的是（ ）
A．a﹣7＜b﹣7B．ac2＜bc2
C．D．1﹣3a＞1﹣3b
【分析】根据不等式的性质解答．①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a﹣7＜b﹣7，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴当c＝0时，原变形错误，故本选项符合题意；
C、∵a＜b，
∴＜，原变形正确，故本选项不符合题意；
D、∵a＜b，
∴1﹣3a＞1﹣3b，原变形正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．下列说法中错误的是（ ）
A．若a＜b，则a+1＜b+1
B．若﹣2a＞﹣2b，则a＜b
C．若a＜b，则ac＜b c
D．若a（c2+1）＜b（c2+1），则a＜b
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＜b，
∴a+1＜b+1，故本选项不符合题意；
B．∵﹣2a＞﹣2b，
∴a＜b，故本选项不符合题意；
C．当c≤0时，由a＜b不能推出ac＜bc，故本选项符合题意；
D．∵a（c2+1）＜b（c2+1），
∴a＜b，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．下列判断不正确的是（ ）
A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4bB．若2a＞3a，则a＜0
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac2＞bc2，则a＞b
【分析】利用不等式的性质，注意判定得出答案即可．
【解答】解：A、若a＞b，则﹣4a＜﹣4b，此选项正确；
B、若2a＞3a，则a＜0，此选项正确；
C、若a＞b，则ac2＞bc2，没有注明c≠0，此选项错误；
D、若ac2＞bc2，则a＞b，此选项正确．
故选：C．
【知识点巩固】
不等式的解：
使不等式 成立 的未知数的值。不等式的解有 无数 个。
不等式的解集：
不等式的无数个解 集合起来 叫做不等式的解集。
在数轴上表示不等式的解集：
确定边界，有等号用 实心圆 ，没有等号用 空心圈 。大于朝 右 ，小于朝 左 。
【例题：不等式的解集在数轴上表示】
10．在数轴上表示不等式x＞1的解集，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据在数轴上表示不等式的解集的方法进行判断即可．
【解答】解：在数轴上表示不等式x＞1的解集如下：
故选：A．
11．将不等式组的解集表示在数轴上，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式组的解集为x≥2，
在数轴上表示为：
故选：A．
12．在数轴上表示不等式﹣1＜x⩽2，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】不等式﹣1＜x≤2在数轴上表示不等式x＞﹣1与x≤2两个不等式的公共部分．
【解答】解：“＞”空心圆圈向右画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
故在数轴上表示不等式﹣1＜x⩽2如下：
故选：A．
13．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式组的解集为x＜1，
在数轴上表示为．
故选：C．
【例题：写出数轴上表示的解集】
14．不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式的解是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论．
【解答】解：∵﹣1处是空心圆点，且折线向右，
∴x＞﹣1．
故选：A．
15．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ）
A．x＜2B．x≤2C．x＞2D．x≥2
【分析】观察数轴得到不等式的解集都在2的左侧包括2，根据数轴表示数的方法得到不等式的解集为x≤2．
【解答】解：观察数轴可得该不等式的解集为x≤2．
故选：B．
16．如图，数轴上表示的解集为（ ）
A．﹣3＜x≤2B．x≤2C．x＞﹣3D．﹣3≤x＜2
【分析】根据求不等式组的解集的表示方法，可得答案．
【解答】解：由图可得，x＞﹣3且x≤2
∴在数轴上表示的解集是﹣3＜x≤2，
故选：A．
17．一个不等式组中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，这个不等式组的解集为（ ）
A．x＜﹣1B．x≤1C．﹣1＜x≤1D．x≥1
【分析】本题可根据数轴的性质，实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆圈不包括该点用“＜”，“＞”表示，大于向右，小于向左．观察相交的部分即为不等式的解集．
【解答】解：数轴上表示解集的线的条数与不等式的个数一样的部分是﹣1左边的部分，则不等式解集为：x＜﹣1．
故选：A．
考点二：一元一次不等式
【知识点巩固】
一元一次不等式的概念：
含有 1 个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式。
解一元一次不等式：
步骤1：去分母——不等式左右两边同时乘分母的 最小公倍数 。用了 性质2 （填性质1或性质2或性质3）。
步骤2：去括号。
步骤3：移项——含有未知数的移到 左边 ，常数移到右边。用了 性质1 （填性质1或性质2或性质3）。
步骤4：合并。
步骤5：系数化为1：不等式左右两边同除以 系数 或乘以系数的 倒数 。当系数是负数 时，要注意符号的变化。用了 性质2或性质3 。（填性质1或性质2或性质3）。
【例题：一元一次不等式的概念理解】
18．在数学表达式：﹣4＜0，2x+y＞0，x＝1，x2+2xy+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式，依次判断6个式子即可．
【解答】解：根据不等式的定义，依次分析可得：﹣4＜0，2x+y＞0，x≠5，x+2＞y+3，1个式子符合一元一次不等式定义，而x＝1是等式，x2+2xy+y2是代数式，
故选：A．
19．在x＞0，＜﹣1，2x＜﹣2+x，x+y≥﹣3，x+1＝0，x2＞3中，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【解答】解：是一元一次不等式的有：x＞0，2x＜﹣2+x共有2个．
故选：B．
【例题：根据一元一次不等式的概念求值】
20．已知（m﹣4）x|m﹣3|+2＞6是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．4B．2C．4或2D．不确定
【分析】根据一元一次不等式的定义，|m﹣3|＝1，m﹣4≠0，分别进行求解即可．
【解答】解：根据题意|m﹣3|＝1，m﹣4≠0，
所以m﹣3＝±1，m≠4，
解得m＝2．
故选：B．
21．已知（m+2）x|m|﹣1+1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1B．±1C．2D．±2
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【解答】解：依题意得：|m|﹣1＝1且m+2≠0，
解得m＝2．
故选：C．
22．已知（m﹣2）x|m|﹣1+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ﹣2 ．
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．
【解答】解：∵（m﹣2）x|m|﹣1+3＞0是关于x的一元一次不等式，
∴，
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【例题：解一元一次不等式】
23．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】根据不等式的性质：去分母、移项，再合并同类项最后系数化1即可．
【解答】解：去分母，得4x﹣（6x+1）≥6，
去括号，得4x﹣6x﹣1≥6．
移项，得4x﹣6x≥6+1．
合并，得﹣2x≥7．
解得x≤﹣．
在数轴上表示为：
．
24．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：去分母，得：3（x﹣1）＜2（4x﹣5）﹣6，
去括号，得：3x﹣3＜8x﹣10﹣6，
移项，得：3x﹣8x＜﹣10﹣6+3，
合并同类项，得：﹣5x＜﹣13，
系数化为1，得：x＞，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
25．解不等式1﹣，并写出它的非负整数解．
【分析】先解一元一次不等式，求出不等式的解集，然后确定其非负整数解．
【解答】解：去分母，得，6﹣3（x﹣2）≥2（1+x），
去括号得，6﹣3x+6≥2+2x，
移项得，﹣3x﹣2x≥2﹣6﹣6
合并同类项得，﹣5x≥﹣10，
化系数为1得，x≤2．
∴原不等式的非负整数解为：0，1，2．
26．解不等式，并在数轴上表示解集，并写出它的非正整数解．
【分析】先根据不等式的解集求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集，最后求出不等式的整数解即可．
【解答】解：，
去分母，得4+3x≤2（1+2x）+6，
去括号，得4+3x≤2+4x+6，
移项，得3x﹣4x≤2+6﹣4，
合并同类项，得﹣x≤4，
系数化成1，得x≥﹣4，
在数轴上表示为：
，
所以不等式的非正整数解是﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0．
27．对于任意实数m、n，定义关于“⊕”的一种运算如下：m⊕n＝3m﹣2n．
例如：2⊕5＝3×2﹣2×5＝﹣4，（﹣1）⊕4＝3×（﹣1）﹣2×4＝﹣11．
（1）若（﹣3）⊕x＝2021，求x的值；
（2）若y⊕6＞10，求y的最小整数解．
【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值即可；
（2）已知不等式利用题中的新定义化简，求出解集，确定出y的最小整数解即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义化简（﹣3）⊕x＝2021，得：﹣9﹣2x＝2021，
移项合并得：﹣2x＝2030，
解得：x＝﹣1015；
（2）根据题中的新定义化简y⊕6＞10，得：3y﹣12＞10，
移项合并得：3y＞22，
解得：y＞＝7，
所以y的最小整数解是8．
【例题：求含未知字母的不等式】
28．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＜﹣1C．a＞1D．a＞﹣1
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
a+1＜0，
解得a＜﹣1，
故选：B．
29．若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是x＜，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（ ）
A．x＜B．x＜﹣C．x＞D．x＞﹣
【分析】由不等式ax﹣b＞0的解集为x＜，得a＜0，且，由此可得a＝4b，再根据一元一次不等式的性质解答即可．
【解答】解：∵不等式ax﹣b＞0的解集是x＜，
∴a＜0，且，
∴a＝4b，
又（a+b）x＞b﹣a，
∴5bx＞﹣3b，
x．
故选：B．
30．已知关于x的不等式（2a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为，则关于x的不等式ax＞b﹣a的解集为（ ）
A．x＜﹣3B．x＞﹣5C．D．
【分析】根据题意得出a与b的关系、b的符号，代入ax＞b﹣a并解不等式，即可得出结果．
【解答】∵（2a﹣b）x+a﹣5b＞0，
∴（2a﹣b）x＞5b﹣a，
∵关于x的不等式（2a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为，
∴＝且2a﹣b＜0，
∴35b﹣7a＝20a﹣10b，
∴45b＝27a，
∴a＝b，
∵2a﹣b＜0，
∴b﹣b＜0，
∴b＜0，
∵ax＞b﹣a，
∴bx＞b﹣b，
∴x＜﹣，
∴x＜﹣，
故选：C．
31．若关于x的不等式m x+m＜﹣n x+n的解集为x＞﹣，则关于x的不等式m x﹣m＞2nx﹣n的解集是（ ）
A．x＞B．x＜C．x＞﹣D．x＜﹣
【分析】根据不等式的性质3，可得m、n的关系，求出m，n的值，代入mx﹣m＞2nx﹣n，解不等式可得答案．
【解答】解：∵mx+m＜﹣nx+n，
∴（m+n）x＜n﹣m，
∵关于x的不等式mx+m＜﹣nx+n的解集为x＞﹣，
∴m+n＜0，
∴，
∴（k≠0），
①+②得：2n＝﹣k，
∴n＝﹣k，
把n＝﹣k代入①得：﹣k﹣m＝2k，
∴m＝﹣k，
∴把n＝﹣k，m＝﹣k代入mx﹣m＞2nx﹣n，解得，．
故选：B．
考点三：一元一次不等式组
【知识点巩固】
一元一次不等式组的概念：
含有 相同 的未知数的几个一元一次不等式组合在一起形成一元一次不等式组。
解一元一次不等式组：
即求不等式组中所有不等式的 公共部分 。
一元一次不等式组解的情况：
①同大取大。即若，当时，不等式组的解集为 ，当时，不等式组的解集为 。
②同小取小。即若，当时，不等式组的解集为 ，当时，不等式组的解集为 。
③大小小大取中间。即若，，则不等式组的解集为 。
④大大小小无解答。即若，，则不等式 无解 。
【例题：判断不等式组的解集】
32．不等式组的解集是（ ）
A．3＜x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜3D．﹣2＜x＜3
【分析】根据不等式的解集解答即可．
【解答】解：不等式组的解集是：﹣2＜x＜3．
故选：D．
33．不等式组的解为 ．
【分析】根据每一个不等式的解集，求出公共解集即可．
【解答】解：不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
故答案为：﹣1≤x＜3．
34．下列不等式组中，无解的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据确定不等式组的解集的方法逐一判断即可．
【解答】解：A.的解集为x＜﹣3，故本选项不合题意；
B.的解集为﹣3＜x＜2，故本选项不合题意；
C.的解集为x＞2，故本选项不合题意；
D.无解，
故选：D．
【例题：根据不等式组的解集求字母的取值范围】
35．若不等式组的解为x＞a，则下列各式正确的是（ ）
A．a＜3B．a≤3C．a＞﹣3D．a≥﹣3
【分析】根据不等式组的解集同大取较大，可得答案．
【解答】解：∵不等式组的解为x＞a，
∴a≥﹣3，
故选：D．
36．若不等式组的解集为x＜m，则m的取值范围为（ ）
A．m≤1B．m＝1C．m≥1D．m＜1
【分析】先解不等式，然后根据解集为x＜m，可得结论．
【解答】解：，
∵不等式组的解集为x＜m，
∴m≤1．
故选：A．
37．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3B．a＜﹣3C．a＞3D．a≥3
【分析】根据不等式组无解得出a﹣1≥2，求出即可．
【解答】解：∵关于x的不等式组无解，
∴a﹣1≥2，
∴a≥3，
故选：D．
38．若不等式组的解集为x＞﹣b，则下列各式正确的是（ ）
A．a≥bB．a≤bC．a＞bD．a＜b
【分析】根据不等式组取解集的方法确定出所求即可．
【解答】解：∵不等式组的解集为x＞﹣b，
∴﹣a≤﹣b，
整理得：a≥b，
故选：A．
【例题：解一元一次不等式组】
39．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥2．
解不等式②，得x＜7．
故不等式组的解集是2≤x＜7．
40．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+5＞3，得：x＞﹣1，
解不等式1﹣2x≥﹣3，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
41．解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并求出所有非负整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣7＜3（x﹣1），得：x＞﹣4，
解不等式5﹣（x+4）≥x，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
∴不等式组的非负整数解为0、1、2．
42．（1）解不等式；
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集；
（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，可得答案，把解集表示在数轴上即可．
【解答】解：（1）去分母得：2（1+2x）+6≥3（1+x），
去括号得：2+4x+6≥3+3x，
移项得：4x﹣3x≥3﹣2﹣6，
合并得：x≥﹣5；
（2），
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥﹣3，
不等式①，不等式②的解集在数轴上表示，如图：
，
则原不等式组的解集为﹣3≤x＜2．
【例题：利用一元一次不等式的特殊解求字母的取值范围】
43．已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a＜﹣2B．﹣3＜a≤﹣2C．﹣3＜a＜﹣2D．a＜﹣2
【分析】解不等式组可得a≤x＜，再根据整数解共有4个，即可得出a的取值范围．
【解答】解：解不等式组得：a≤x＜，
∵不等式组的整数解共有4个，
∴不等式组的整数解分别为：﹣2，﹣1，0，1，
∴﹣3＜a≤﹣2，
故选：B．
44．已知关于x的不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1＜a＜﹣B．﹣1≤a≤﹣C．﹣1＜a≤﹣D．﹣1≤a＜﹣
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的整数解个数列出关于a的不等式组，解之即可．
【解答】解：解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，
解不等式x﹣a＞0，得：x＞2a，
∵不等式组恰有4个整数解，
∴﹣2≤2a＜﹣1，
解得﹣1≤a＜﹣，
故选：D．
45．不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣6＜a＜﹣5B．﹣6≤a＜﹣5C．﹣6＜a≤﹣5D．﹣6≤a≤﹣5
【分析】先分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．
【解答】解：解不等式﹣x＜﹣1，得：x＞4，
解不等式4（x﹣1）＜2（x﹣a），得：x＜2﹣a，
∵不等式组有3个整数解，
∴不等式组的整数解为5、6、7，
则7＜2﹣a≤8，
解得﹣6≤a＜﹣5，
故选：B．
46．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可．
【解答】解：解方程组得：，
∵x≥y，
∴a+1≥﹣a﹣2，
解得：a≥﹣，
解不等式组得＜s≤1，
∵关于s的不等式组恰好有4个整数解（﹣2，﹣1，0，1），
∴﹣3≤＜﹣2，
解得：﹣2≤a＜1，
∵a≥﹣，
∴﹣≤a＜1，
∴所有符合条件的整数a有﹣1，0，共有2个，
故选：C．
47．若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的方程的解为负整数，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先解不等式组，由不等式组有且仅有3个整数解，可得﹣2＜≤﹣1，求得﹣16＜a≤﹣9；再解方程得y＝﹣，再由方程的解为负整数，可得a是奇数，可求a的值为﹣13、﹣11、﹣9．
【解答】解：不等式组整理得，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴﹣2＜≤﹣1，
∴﹣16＜a≤﹣9，
，
方程的两边同时乘以15得5a﹣5y＝6a﹣3y+15，
移项、合并同类项得，2y＝﹣a﹣15，
解得y＝﹣，
∵方程的解为负整数，
∴a是奇数，
∴a的值为﹣13、﹣11、﹣9，
∴符合条件的所有整数a的个数为3个，
故选：C．
考点五：一元一次不等式（组）的实际应用
【知识点巩固】
解题步骤
①审题：仔细审题，找出题目中的 不等量 关系。
②设未知数。
③列不等式或不等式组。
④解不等式或不等式组。
⑤检验作答。
【例题：由实际问题抽象不等式】
48．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分．小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（ ）
A．10x﹣5（19﹣x）≥90B．10x﹣5（19﹣x）＞90
C．10x﹣（19﹣x）≥90D．10x﹣（19﹣x）＞90
【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：﹣5（19﹣x），不等关系：小聪得分超过90分．
【解答】解：设他答对了x道题，根据题意，得
10x﹣5（19﹣x）＞90．
故选：B．
49．学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地300m2．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完30m2．学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，则x满足的不等关系为（ ）
A．30+（3﹣0.5）x≤300B．30+（3﹣0.5）x≥300
C．﹣0.5≤3D．0.5+≥3
【分析】设他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，根据学校要求完成全部任务的时间不超过3小时得出不等式解答即可．
【解答】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，根据题意可得：30+（3﹣0.5）x≥300，
故选：B．
50．一艘轮船从上游的A地匀速驶到下游的B地用了5h，从B地匀速返回A地用了不到7h，轮船在静水里往返的速度均为30km/h，则这段江水的流速x（km/h）满足的条件是（ ）
A．7（30﹣x）＞5（30+x）B．7（30﹣x）＜5（30+x）
C．7（x﹣30）＞5（x+30）D．7（x﹣30）＜5（x+30）
【分析】利用顺流的速度＝轮船在静水里的速度+水速（逆流的速度＝轮船在静水里的速度﹣水速），可用含v的代数式表示出轮船顺流及逆流的速度，利用路程＝速度×时间，结合轮船从B地匀速返回A地用了不到7h，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出v的取值范围．
【解答】解：由题意可得：7（30﹣x）＞5（30+x）．
故选：A．
【例题：由实际问题抽象不等式组】
51．目前，我国已获批上市4款自主研发的新冠疫苗．某生物制药公司计划生产制造A、B两种疫苗共40万支，已知生产每支A疫苗需甲种原料8mg，乙种原料5mg；生产每支B疫苗需甲种原料4mg，乙种原料9mg．公司现有甲种原料4kg，乙种原料3kg，设计划生产A疫苗x支，下列符合题意的不等式组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据生产每支A疫苗需甲种原料8mg，乙种原料5mg；生产每支B疫苗需甲种原料4mg，乙种原料9mg．公司现有甲种原料4kg，乙种原料3kg，可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，故选：C．
52．开发区某物流公司计划调用甲、乙两种型号的物流货车共15辆，运送360件A种货物和396件B种货物．已知甲种物流货车每辆最多能载30件A种货物和24件B种货物，乙种物流货车每辆最多能载20件A种货物和30件B种货物．设安排甲种物流货车x辆，你认为下列符合题意的不等式组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】货车承载量要不低于（≥）A种货物总件数和B种货物总件数，故可列一元一次不等式组解决．
【解答】解：设安排甲种物流货车x辆，则需要乙种物流货车（15﹣x）辆．
由题意：，
故选：A．
53．某企业决定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？为解决这个问题，设购买A型污水处理设备x台，所列不等式组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可．
【解答】解：设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，
根据题意，得
，
故选：A．
【例题：不等式组的实际应用题】
54．为坚决阻断新冠肺炎疫情传播途径，有效遏制疫情扩散和蔓延，宁波全市自12月7日起启动Ⅰ级应急响应，同时对镇海区临时实施封闭管理．某地红十字会计划将一批物资打包成箱捐赠给疫情严重的蛟川街道，其中口罩200箱，防护服120箱．
（1）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批口罩和防护服全部运往蛟川街道．已知甲种货车最多可装口罩40箱和防护服10箱，乙种货车最多可装口罩和防护服各20箱．安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（2）在第（1）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费2000元，乙种货车每辆需付运输费1800元，应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
【分析】（1）设租用甲种货车x辆，则租用乙种货车（8﹣x）辆，根据租用的8辆货车一次性可装的口罩不少于200箱、防护服不少于120箱，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各租用方案；
（2）利用总运输费＝每辆甲种货车的运输费×租用数量+每辆乙种货车的运输费×租用数量，即可分别求出选择各方案所需总运输费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设租用甲种货车x辆，则租用乙种货车（8﹣x）辆，
依题意得：，
解得：2≤x≤4．
又∵x为正整数，
∴x的值可以为2，3，4，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用2辆甲种货车，6辆乙种货车；
方案2：租用3辆甲种货车，5辆乙种货车；
方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车．
（2）选择方案1所需总运输费为2000×2+1800×6＝14800（元）；
选择方案2所需总运算费为2000×3+1800×5＝15000（元）；
选择方案3所需总运输费为2000×4+1800×4＝15200（元）．
∵14800＜15000＜15200，
∴选择方案1：租用2辆甲种货车，6辆乙种货车时，总运算费最少，最少总运输费是14800元．
55．桌游“剧本杀”已经成为了年轻人的新的娱乐方式，小帅计划开设一家剧本杀门店，计划建造A，B两类桌游房间共10个．两类桌游房的占地面积，容纳玩家数以及造价如下表：
已知门店可供使用面积最多不超过165平方米，且要求该门店至少可同时容纳64名玩家游戏．
（1）若要满足门店要求，则需建造A，B两类房间各几个？写出所有建造方案．
（2）具体计算判断哪种建造方案最省钱？
【分析】（1）根据门店可供使用面积最多不超过165平方米，且要求该门店至少可同时容纳64名玩家游戏，可以列出相应的不等式组，然后即可得到A类房间数量的取值范围，然后根据房间数为整数，即可写出相应的建造方案；
（2）根据（1）中的结果可以分别计算出三种方案的建造费用，然后比较大小即可．
【解答】解：（1）设建造A类桌游房间a间，则建造B类桌游房间（10﹣a）间，
∵门店可供使用面积最多不超过165平方米，且要求该门店至少可同时容纳64名玩家游戏，
∴，
解得7≤a≤9，
∵a为整数，
∴a＝7，8，9，
∴有三种方案，
方案一：建造A类桌游房间7间，建造B类桌游房间3间；
方案二：建造A类桌游房间8间，建造B类桌游房间2间；
方案三：建造A类桌游房间9间，建造B类桌游房间1间；
（2）方案一的建造费用为：7×2+3×3＝14+9＝23（万元）；
方案二的建造费用为：8×2+2×3＝16+6＝22（万元）；
方案三的建造费用为：9×2+1×3＝18+3＝21（万元）；
∵23＞22＞21，
∴方案三最省钱，
答：方案三：建造A类桌游房间9间，建造B类桌游房间1间最省钱．
56．某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽宁波”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，请解答下列问题：
（1）求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价．
（2）若社区欲用不超过3600元购进两种垃圾桶共50个，其中A型垃圾桶至少29个，求有哪几种购买方案？
【分析】（1）设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元，根据“用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价；
（2）设购进A型垃圾桶m个，则购进B型垃圾桶（50﹣m）个，根据“A型垃圾桶至少购进29个，且购进50个垃圾桶的总费用不超过3600元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A型垃圾桶的单价为80元，B型垃圾桶的单价为60元．
（2）设购进A型垃圾桶m个，则购进B型垃圾桶（50﹣m）个，
依题意得：，
解得：29≤m≤30．
又∵m为正整数，
∴m可以取29，30，
∴该社区共有2种购买方案，
方案1：购进A型垃圾桶29个，B型垃圾桶21个；
方案2：购进A型垃圾桶30个，B型垃圾桶20个．
57．接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．
（1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗．
（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【分析】（1）根据2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元，可以列出相应的不等式组，然后根据辆数为整数和租用A型车越少，费用越低，即可得到相应的运输方案和哪种方案所需费用最少，最少费用是多少．
【解答】解：（1）设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，
由题意可得，，
解得，
答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；
（2）设A型车a辆，则B型车（12﹣a）辆，
由题意可得，，
解得6≤a＜9，
∵a为正整数，
∴a＝6，7，8，
∴共有三种运输方案，
方案一：A型车6辆，B型车6辆，
方案二：A型车7辆，B型车5辆，
方案三：A型车8辆，B型车4辆，
∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，
∴A型车辆数越少，费用越低，
∴方案一所需费用最少，此时的费用为5000×6+3000×6＝48000（元），
答：方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元．
58．某商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店有哪几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利5元，出售一件B种纪念品可获利3元，若商品全部卖出，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多，最多为多少元？（直接写出结果，不说明理由）
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元，根据“若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（100﹣m）件，根据“用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案；
（3）利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可分别求出采用各方案可获得的总利润，再比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购进A种纪念品每件需10元，购进B种纪念品每件需5元．
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（100﹣m）件，
依题意得：，
解得：50≤m≤52.8，
∵m为正整数，
∴m可以为50，51，52，
∴该商店共有3种进货方案，
方案1：购进A种纪念品50件，B种纪念品50件；
方案2：购进A种纪念品51件，B种纪念品49件；
方案3：购进A种纪念品52件，B种纪念品48件．
（3）采用方案1获得的利润为5×50+3×50＝250+150＝400（元）；
采用方案2获得的利润为5×51+3×49＝255+147＝402（元）；
采用方案3获得的利润为5×52+3×48＝260+144＝404（元）．
∵400＜402＜404，
∴商家采用方案3可获利最多，最多为404元．A型
B型
价格（万元/台）
12
10
月污水处理能力（吨/月）
200
160
类型
占地面积（平方米/间）
可容纳玩家数（人/间）
造价（万元/间）
A
15
6
2
B
20
10
3