1．点P(2,3,4)到x轴的距离是( )
A.eq \r(13) B．2eq \r(5)
C．5 D.eq \r(29)
2．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面xOz的距离是( )
A．1 B．2
C．3 D.eq \r(14)
3．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A、B两点间距离为( )
A．10 B.eq \r(10)
C.eq \r(38) D．38
4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9 B.eq \r(29)
C．5 D．2eq \r(6)
5．已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于( )
A.eq \f(\r(53),4) B.eq \f(\r(53),2)
C.eq \f(53,2) D.eq \f(\r(13),2)
6．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，那么该定点到原点的距离是( )
A.eq \r(6) B．2eq \r(3)
C.eq \r(3) D.eq \f(2\r(6),3)
7．在空间直角坐标系中，设A(1,3,0)，B(－3,6,12)，则|AB|＝________.
8．点P(1,2,3)与Q(1，－1，m)两点间的距离为eq \r(13)，则m＝________.
9．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(x,0,1)，则x＝________.
10．已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：
(1)线段AB的中点坐标及AB的长度；
(2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．
[提能力]
11．[多选题]在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为( )
A．－2 B．2
C．6 D．－6
12．一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是( )
A.eq \r(37) B.eq \r(47)
C.eq \r(33) D.eq \r(57)
13．已知空间直角坐标系中点P(1,2,3)，且点Q在z轴上，则使|PQ|最小的点Q的坐标为( )
A．(0,0,1) B．(0,1,0)
C．(0,0,2) D．(0,0,3)
14．若A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)为三角形的三个顶点，则△ABC的形状是________.
15．点P在xOy平面内的直线3x－y＋6＝0上，点P到点M(2a,2a＋5，a＋2)的距离最小，求点P的坐标．
[培优生]
16．在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，若|PA|＝|PB|＝|PC|＝a，求点P到平面ABC的距离．
课时作业(二十三)
1．解析：点P(2，3，4)在x轴上的射影为A(2，0，0)，|PA|＝eq \r(32＋42)＝5.故选C.
答案：C
2．解析：因为点P(－1，－2，－3)，
所以点P(－1，－2，－3)到平面xOz的距离是2.故选B.
答案：B
3．解析：点B是A(2，－3，5)关于xOy平面对称的点，所以B点的横坐标和纵坐标与A点相同，竖坐标相反，所以B(2，－3，－5)，所以AB的长度是5－(－5)＝10.故选A.
答案：A
4．解析：由已知可得C1(0，2，3)，
∴|AC1|＝eq \r(（4－0）2＋（0－2）2＋（0－3）2)＝eq \r(29).故选B.
答案：B
5．解析：AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)，3))，它到点C的距离|CM|＝eq \r(（2－0）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－1))\s\up12(2)＋（3－0）2)＝eq \f(\r(53),2).故选B.
答案：B
6．解析：设该定点坐标为(x，y，z)，
因为在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，所以|x|＝2，|y|＝2，|z|＝2，
所以该定点到原点的距离是：eq \r(22＋22＋22)＝2eq \r(3).故选B.
答案：B
7．解析：A(1，3，0)，B(－3，6，12)，
则|AB|＝eq \r(（－3－1）2＋（6－3）2＋（12－0）2)＝13.
答案：13
8．解析：由于|PQ|＝eq \r(（1－1）2＋（2＋1）2＋（3－m）2)＝eq \r(13)，解得m＝1或m＝5.
答案：1或5
9．解析：由题意可知|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即(1－2)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(x－2)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝(x－1)2＋(0－1)2＋(1－2)2⇒x＝2.
答案：2
10．解析：(1)设M(x1，y1，z1)是线段AB的中点，则根据中点坐标公式得x1＝eq \f(3＋1,2)＝2，y1＝eq \f(3＋0,2)＝eq \f(3,2)，z1＝eq \f(5＋1,2)＝3.所以AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)，3)).
根据两点间距离公式，得|AB|＝eq \r(（1－3）2＋（0－3）2＋（5－1）2)＝eq \r(29)，所以AB的长度为eq \r(29).
(2)因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等，所以有下面等式：
eq \r(（x－3）2＋（y－3）2＋（z－1）2)＝eq \r(（x－1）2＋（y－0）2＋（z－5）2).
化简得4x＋6y－8z＋7＝0，因此，到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0.
11．解析：∵以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴|AB|＝|AC|
∴eq \r(（4－10）2＋（1＋1）2＋（9－6）2)＝eq \r(（4－x）2＋9＋36)，
∴7＝eq \r(（4－x）2＋9＋36)，
∴x＝2或x＝6.故选BC.
答案：BC
12．解析：点P(1，1，1)关于平面xOy的对称点的坐标M(1，1，－1)，一束光线自点P(1，1，1)发出，遇到平面xOy被反射，到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光所走的路程是：eq \r(（3－1）2＋（3－1）2＋（6＋1）2)＝eq \r(57).故选D.
答案：D
13．解析：设Q(0，0，z0)，
则|PQ|＝eq \r(（0－1）2＋（0－2）2＋（z0－3）2)
＝eq \r(（z0－3）2＋5)，所以当z0＝3时，|PQ|有最小值，此时Q(0，0，3).故选D.
答案：D
14．解析：|AB|＝eq \r(9＋16＋64)＝eq \r(89)，|AC|＝eq \r(25＋1＋49)＝eq \r(75)，|BC|＝eq \r(4＋9＋1)＝eq \r(14)，因为14＋75＝89，所以△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
15．解析：由已知可设点P(a，3a＋6，0)，
则|PM|＝eq \r(（2a－a）2＋[（2a＋5）－（3a＋6）]2＋[（a＋2）－0]2)＝eq \r(3a2＋6a＋5)＝eq \r(3（a＋1）2＋2)，
所以当a＝－1时，|PM|取最小值，
所以在xOy平面内的直线3x－y＋6＝0上，
取点P(－1，3，0)时，点P到点M的距离最小．
16.
解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a).
过P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．
因为|PA|＝|PB|＝|PC|，所以H为△ABC的外心．
又因为△ABC为正三角形，所以H为△ABC的重心，
可得H点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，\f(a,3)，\f(a,3)))，
所以|PH|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(a,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(a,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(a,3)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(3),3)a，
所以点P到平面ABC的距离为eq \f(\r(3),3)a.