高中数学2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系练习

这是一份高中数学2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系练习，共6页。

1．已知圆C1：x2＋y2－2eq \r(3)x－4y＋6＝0，C2：x2＋y2－6y＝0，则两圆的位置关系( )
A．外离B．外切
C．相交D．内切
2．已知圆C1：x2＋y2－mx－3＝0平分圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝4的周长，则m＝( )
A．2B．4
C．6D．8
3．“a＝－3”是“圆x2＋y2＝1与圆(x＋a)2＋y2＝4相切”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．[2022湖南邵东一中高二期中]圆C1：x2＋y2－2ay＝0和圆C2：(x－1)2＋y2＝4相交，则实数a的取值范围是( )
A．[－eq \f(3,4)，eq \f(3,4)]
B．(－∞，－eq \f(3,4))
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－eq \f(3,4))∪(eq \f(3,4)，＋∞)
5．已知圆C：x2＋y2－2x＋m＝0与圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝36内切，点P是圆C上一动点，则点P到直线5x＋12y＋8＝0的距离的最大值为( )
A．2B．3
C．4D．5
6．(多选)已知圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆N：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1，则下列是圆M与圆N的公切线的直线方程为( )
A．y＝0B．4x－3y＝0
C．x－2y＋eq \r(5)＝0D．x＋2y－eq \r(5)＝0
7．设圆C1：x2＋y2－2x＋4y＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＝0，则圆C1，C2有公切线________条．
8．若圆(x－1)2＋y2＝1与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的一般式方程是________．
9．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝36－m，其中m∈R.
(1)如果圆C与圆x2＋y2＝1外切，求m的值；
(2)如果直线x＋y－3＝0与圆C相交所得的弦长为4eq \r(5)，求m的值．
[提能力]
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2＝m2，圆C2：x2＋y2＋2x－2eq \r(3)y＋3＝0的公切线有2条，则m的取值范围为( )
A．1B．－3C．2D．－311．[2022·湖南临澧一中高二期中](多选)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r>0)，则( )
A．若圆C1与圆C2无公共点，则0B．当r＝5时，两圆公共弦长所在直线方程为6x－8y－1＝0
C．当r＝2时，P、Q分别是圆C1与圆C2上的点，则|PQ|的取值范围为[2，8]
D．当012．经过点M(2，－2)以及圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0交点的圆的方程为________．
13．圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则过A，B两点的直线方程为________，A，B两点间的距离为________．
14．[2022·湖南雅礼中学高二月考]设圆C的半径为r，圆心C是直线y＝2x－4与直线y＝x－1的交点．
(1)若圆C过原点O，求圆C的方程；
(2)已知点A(0，3)，若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求r的取值范围．
[培优生]
15．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识(图1)，标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程．其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切(图2).已知R＝(eq \r(2)＋1)r，则由其中一个圆心向另一个大圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为( )
A．eq \r(2)B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(2)＋1,3)D．3(eq \r(2)－1)
课时作业(二十三) 圆与圆的位置关系
1．解析：圆C1：x2＋y2－2eq \r(3)x－4y＋6＝0，
即C1：(x－eq \r(3))2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为(eq \r(3)，2)，半径为1，
C2：x2＋y2－6y＝0，
即C2：x2＋(y－3)2＝9，圆心坐标为(0，3)，半径为3，
所以两圆的圆心距为eq \r(3＋1)＝2，半径之差为3－1＝2，
所以圆心距与半径差相等，
所以两圆内切．
答案：D
2．解析：由圆C1：x2＋y2－mx－3＝0平分圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝4的周长可知，圆C1经过圆C2的一条直径的两个端点，
所以圆C2的圆心在圆C1与圆C2的公共弦上，两圆方程相减整理得圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为(2－m)x＋4y－4＝0，
又圆心C2(1，2)，所以2－m＋8－4＝0，所以m＝6.
答案：C
3．解析：a＝－3时，圆(x＋a)2＋y2＝4的圆心坐标为(3，0)，半径为2，可得与圆x2＋y2＝1相外切．
所以“a＝－3”是两圆相切的充分条件；
若圆x2＋y2＝1与圆(x＋a)2＋y2＝4相切，
当两圆外切时，a＝－3；当两圆内切时，解得a＝1或a＝－1，
所以“a＝－3”不是两圆相切的必要条件，选项A正确．
答案：A
4．解析：因为圆C1：x2＋y2－2ay＝0 ①和圆C2：(x－1)2＋y2＝4 ②相交，所以①减②得2x－2ay＋3＝0，即两圆的公共弦方程为2x－2ay＋3＝0，则圆C2：(x－1)2＋y2＝4的圆心C2(1，0)到公共弦的距离小于半径2，
d＝eq \f(|5|,\r(22＋（－2a）2))<2，解得a>eq \f(3,4)或a<－eq \f(3,4).
答案：D
5．解析：x2＋y2－2x＋m＝0可化为(x－1)2＋y2＝1－m，
由已知得：6－eq \r(1－m)＝eq \r([1－（－3）]2＋[0－（－3）]2)＝5，解得m＝0，
∵圆心C到直线5x＋12y＋8＝0的距离d＝eq \f(|5＋8|,13)＝1，
∴点P到直线5x＋12y＋8＝0的距离的最大值为1＋1＝2.
答案：A
6．解析：M(2，1)，N(－2，－1)，半径r1＝r2＝1，两圆相离，有四条公切线
两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O，
设切线y＝kx，则圆心到直线的距离eq \f(|2k－1|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0或k＝eq \f(4,3)，
另两条切线与直线MN平行且相距为1，lMN：y＝eq \f(1,2)x，
设切线y＝eq \f(1,2)x＋b，则eq \f(|b|,\r(1＋\f(1,4)))＝1，解得b＝±eq \f(\r(5),2).
所以只有D项不正确(也可以不计算b，通过斜率即可排除D).
答案：ABC
7．解析：由题意得，圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝32，圆C2：(x＋3)2＋(y－4)2＝52，
∴|C1C2|＝eq \r(（1＋3）2＋（－2－4）2)＝2eq \r(13)∈(2，8)，
∴C1与C2相交，有2条公切线．
答案：2
8．解析：由题意可知A，B为两圆的交点，则线段AB必是两圆的公共弦，
由弦的性质可知：线段AB的垂直平分线必是两圆圆心所在的直线，
由(x－1)2＋y2＝1可得圆心C1(1，0)，
由(x＋1)2＋(y－2)2＝9可得圆心C2(－1，2)，
所以直线C1C2的斜率为eq \f(2－0,－1－1)＝－1，
所以直线C1C2的方程为y＝－(x－1)即x＋y－1＝0，
所以线段AB的垂直平分线的一般式方程是x＋y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0
9．解析：(1)圆C的圆心为(3，4)，半径为eq \r(36－m)，若圆C与圆x2＋y2＝1外切，故两圆的圆心距等于两圆半径之和，故eq \r(32＋42)＝1＋eq \r(36－m)，解得：m＝20.
(2)圆C的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为d＝eq \f(|3＋4－3|,\r(1＋1))＝2eq \r(2)，由垂径定理得：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),2)))eq \s\up12(2)＝(eq \r(36－m))2－d2，解得：m＝8.
10．解析：由题意，圆C1与圆C2有2条公切线，则两圆相交，
圆C1：x2＋y2＝m2的圆心C1(0，0)，半径为|m|，
圆C2：x2＋y2＋2x－2eq \r(3)y＋3＝0，
即(x＋1)2＋(y－eq \r(3))2＝1，圆心C2(－1，eq \r(3))，半径为1，
要使两圆相交，
则||m|－1|<|C1C2|＝eq \r(（0＋1）2＋（0－\r(3)）2)＝2<|m|＋1，
解得：－3答案：B
11．解析：由题意，圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径为r1＝1；圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r>0)的圆心为C2(3，－4)，半径为r；
则圆心距为|C1C2|＝eq \r(（0－3）2＋（0＋4）2)＝5；
A选项，若圆C1与圆C2无公共点，则只需|C1C2|r＋1，解得r>6或0B选项，若r＝5，则圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝25，由x2＋y2＝1与(x－3)2＋(y＋4)2＝25两式作差，可得两圆公共弦所在直线方程为6x－8y－1＝0，故B正确；
C选项，若r＝2，则C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4，此时|C1C2|＝5>2＋1＝3，所以圆C1与圆C2相离；又P、Q分别是圆C1与圆C2上的点，所以|C1C2|－(1＋2)≤|PQ|≤|C1C2|＋1＋2，
即2≤|PQ|≤8，故C选项正确；
D选项，当0记直线6x－8y＋r2－26＝0上任意一点为M(x0，y0)，则6x0－8y0＋r2－26＝0，
所以|MC1|＝eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )，
|MC2|＝eq \r(（x0－3）2＋（y0＋4）2)
＝eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －6x0＋8y0＋25)＝eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋r2－1)，
因此切线长分别为d1＝eq \r(|MC1|2－12)＝eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －1)，d2＝eq \r(|MC2|2－r2)＝eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －1)，
即d1＝d2，故D正确．
答案：BCD
12．解析：设过圆x2＋y2－6x＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0交点的圆的方程为：
x2＋y2－6x＋λ(x2＋y2－2x－4y)＝0 ①
把点M的坐标(2，－2)代入①式得λ＝eq \f(1,3)，把λ＝eq \f(1,3)代入①并化简得
x2＋y2－5x－y＝0，
∴所求圆的方程为：x2＋y2－5x－y＝0.
答案：x2＋y2－5x－y＝0
13．解析：根据题意，圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r＝2，其一般方程为x2＋y2－2x－4y＋1＝0，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2x－4y＋1＝0,x2＋y2－4x－2y＋1＝0))，变形可得y＝x，即过A，B两点的直线方程为y＝x，
点C1到y＝x的距离d＝eq \f(|1－2|,\r(1＋1))＝eq \f(\r(2),2)，则|AB|＝2×eq \r(4－\f(1,2))＝eq \r(14).
答案：y＝x eq \r(14)
14．解析：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x－4,y＝x－1))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝2))，所以圆心C(3，2).
又∵圆C过原点O，∴r＝|OC|＝eq \r(13)，∴圆C的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝13.
(2)设M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，得：eq \r(x2＋（y－3）2)＝
2eq \r(x2＋y2)，化简得x2＋(y＋1)2＝4.
∴点M在以D(0，－1)为圆心，半径为2的圆上．
又∵点M在圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝r2上，
∴|r－2|≤|CD|≤r＋2，
即|r－2|≤3eq \r(2)≤r＋2，
∴3eq \r(2)－2≤r≤3eq \r(2)＋2.
15．解析：由其中一个圆心向另一个大圆引的切线长为eq \r(（R＋r）2－R2)＝eq \r(2Rr＋r2)＝eq \r(2（\r(2)＋1）r2＋r2)＝eq \r(2\r(2)＋3)r，
两圆的公共弦长为2eq \r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R＋r,2)))\s\up12(2))
＝2eq \r(（\r(2)＋1）2r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)＋2,2)))\s\up12(2)r2)＝eq \r(6＋4\r(2))r，
所以它们的比为eq \f(\r(2\r(2)＋3)r,\r(6＋4\r(2))r)＝eq \r(\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2).
答案：B