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    新高考数学二轮复习专题突破练21圆锥曲线的定义、方程与性质含答案

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    新高考数学二轮复习专题突破练21圆锥曲线的定义、方程与性质含答案

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    这是一份新高考数学二轮复习专题突破练21圆锥曲线的定义、方程与性质含答案,共9页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题等内容,欢迎下载使用。
    1.已知抛物线y=mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为178,则m的值为( )
    A.1B.2C.12D.14
    2.(2023·新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a=( )
    A.233B.2C.3D.6
    3.(2021·新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
    A.13B.12C.9D.6
    4.过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为2,则|AB|等于( )
    A.4B.6C.8D.10
    5.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率等于2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上且PF1⊥PF2,若△PAF1的面积为3a,则双曲线的虚轴长等于( )
    A.3B.2C.23D.4
    二、多项选择题
    6.已知Rt△ABC中有一个内角为π3,如果双曲线E以A,B为焦点,并经过点C,则该双曲线的离心率可能是( )
    A.3+1B.2C.3D.2+3
    7.已知双曲线C:9x2-16y2=144的左、右焦点分别为F1,F2,点P为C上的一点,且|PF1|=6,则下列说法正确的是( )
    A.双曲线的离心率为53
    B.双曲线的渐近线方程为3x±4y=0
    C.△PF1F2的周长为30
    D.点P在椭圆x2100+y275=1上
    8.(2022·新高考Ⅰ,11)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则( )
    A.C的准线为y=-1
    B.直线AB与C相切
    C.|OP|·|OQ|>|OA|2
    D.|BP|·|BQ|>|BA|2
    三、填空题
    9.x29+y22=1的焦点为F1,F2,点Р在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为 .
    10.(2022·新高考Ⅰ,16)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 .
    11.(2022·新高考Ⅱ,16)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别相交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则直线l的方程为 .
    12.点P在椭圆C1:x24+y23=1上,C1的右焦点为F,点Q在圆C2:x2+y2+6x-8y+21=0上,则|PQ|-|PF|的最小值为 .
    专题突破练21 圆锥曲线的定义、方程与性质
    1.B 解析 由题意,知抛物线y=mx2(m>0)的准线方程为y=-14m,
    根据抛物线的定义,可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y=-14m的距离,可得2+14m=178,解得m=2.
    2.A 解析 由题意,在C1:x2a2+y2=1中,a>1,b=1,c=a2-b2=a2-1,
    ∴e1=ca=a2-1a.
    在C2:x24+y2=1中,a=2,b=1,c=a2-b2=3,∴e2=ca=32.
    ∵e2=3e1,∴32=3×a2-1a,解得a=233.故选A.
    3.C 解析 由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,
    则|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|2=3,
    则|MF1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.
    故|MF1|·|MF2|的最大值为9.
    4.C 解析 抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程l:x=-1.
    设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线,垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线,|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=2(x0+1).
    直线AB过抛物线的焦点F,显然直线AB的斜率存在且不为0,可设直线AB的方程为x=my+1(m为常数),
    代入抛物线的方程,消去x并整理,得y2-4my-4=0.
    设A,B的纵坐标分别为y1,y2,线段AB的中点M(x0,y0),则y0=y1+y22=2m=2,解得m=1.
    直线AB的方程为x=y+1,x0=y0+1=2+1=3,|AB|=2×(3+1)=8.
    5.D 解析 如图,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率等于2,e=ca=2,①
    设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线在第一、三象限的渐近线的斜率为ba=c2-a2a2=3,②
    A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上,且PF1⊥PF2,
    所以P(a,b),△PAF1的面积为3a,可得12(a+c)·b=3a,③
    解①②③,可得b=2,所以C的虚轴长等于4.
    6.ACD 解析 当∠C=π3时,e=ABBC-AC=321-12=3;
    当∠B=π3时,e=ABAC-BC=132-12=3+1;
    当∠A=π3时,e=ABAC-BC=121-32=3+2.
    7.BCD 解析 双曲线的标准方程为x216-y29=1,a=4,b=3,则c=5,离心率e=ca=54,A错误;
    渐近线方程为x4±y3=0,即3x±4y=0,B正确;
    |PF1|=60,x1+x2=k,x1x2=1,∴|k|>2,y1y2=(x1x2)2=1,
    又|OP|=x12+y12=y1+y12,|OQ|=x22+y22=y2+y22,
    ∴|OP|·|OQ|=y1y2(1+y1)(1+y2)=kx1·kx2=|k|>2=|OA|2,故C正确;
    ∵|BP|=1+k2|x1|,|BQ|=1+k2|x2|,
    ∴|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正确.
    故选BCD.
    9.2π3 解析 由椭圆x29+y22=1可得a=3,b=2,c=7.
    根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|=2c=27,所以4+|PF2|=2a=6,解得|PF2|=2.
    在△F1PF2中,由余弦定理得cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=16+4-282×4×2=-12,
    所以∠F1PF2=2π3.
    10.13 解析 设椭圆的焦距为2c,F1,F2分别为左、右焦点.
    ∵椭圆的离心率e=12,
    ∴a=2c,∴b=a2-c2=3c,∴bc=3,
    ∴椭圆C的方程可化为x24c2+y23c2=1,直线AF2的斜率kAF2=-3.
    ∵直线DE⊥AF2,∴kDE·kAF2=-1(kDE为直线DE的斜率),∴kDE=33.
    ∴可设直线DE的方程为y=33(x+c).
    设点D(x1,y1),E(x2,y2),
    联立y=33(x+c),x24c2+y23c2=1,消去y整理得13x2+8cx-32c2=0.
    则x1+x2=-8c13,x1x2=-32c213.
    则|DE|=1+332·(x1+x2)2-4x1x2=43×-8c132+4×32c213=48c13.
    又|DE|=6,∴48c13=6.∴c=138.
    连接AF1,则|AF1|=a=2c=134,|F1F2|=2c=134,
    ∴|AF1|=|F1F2|,
    ∴直线DE为线段AF2的垂直平分线,
    连接EF2,DF2,则四边形ADF2E为轴对称图形,
    ∴△ADE周长=|DE|+|AE|+|AD|=|DE|+|EF2|+|DF2|=4a=8c=13.
    11.x+2y-22=0 解析 取AB的中点E,因为|MA|=|NB|,
    所以|ME|=|NE|,设A(x1,y1),B(x2,y2),
    可有x126+y123=1,①x226+y223=1,②
    由①-②,得x12-x226+y12-y223=0.
    即y12-y22x12-x22=-36=-12.
    即y1+y2x1+x2×y1-y2x1-x2=-12,即直线OE与直线AB的斜率之积为-12(O为坐标原点).
    设直线AB:y=kx+m,k0.
    令x=0,得y=m,即N(0,m),令y=0,得x=-mk,即M-mk,0.
    所以E-m2k,m2.
    所以k×m2-m2k=-k2=-12,k=-22.
    因为|MN|=23,所以m2+2m2=12,m=2.
    所以直线AB:y=-22x+2,
    即x+2y-22=0.
    12.25-6 解析 记椭圆C1:x24+y23=1的左焦点为E(-1,0),
    由椭圆的定义可得,|PE|+|PF|=2a=4,
    所以|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4.
    由x2+y2+6x-8y+21=0,得(x+3)2+(y-4)2=4,
    即圆C2的圆心为(-3,4),半径为r=2,作出图形如下:
    由圆的性质可得,|PQ|≥|PC2|-r=|PC2|-2,
    |PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4≥|PC2|+|PE|-6≥|EC2|-6=(-3+1)2+42-6=25-6(当且仅当C2,Q,P,E四点共线时,等号成立).

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