高考数学二轮复习练习：专题限时集训11《圆锥曲线的定义、方程、几何性质》（含答案详解）

高考数学二轮复习练习：专题限时集训11

《圆锥曲线的定义、方程、几何性质》

一、选择题

1.已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的右顶点与抛物线y2=8x的焦点重合，且其离心率e=，

则该双曲线的方程为(　　)

A.－=1       B.－=1     C.－=1       D.－=1

2.已知离心率为的双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2=16，则双曲线的实轴长是(　　)

A.32        B.16           C.84          D.4

3.如图，椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，

满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋=1      B.＋=1      C.＋=1      D.＋=1

4.已知椭圆＋=1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0,2)，当△APF的周长最大时，

△APF的面积等于(　　)

A.         B.         C.           D.

5.已知F1，F2分别是双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，G是双曲线C上一点，

且满足|GF1|－7|GF2|=0，则C经过第一象限的渐近线的斜率的取值范围是(　　)

A.         B.          C.         D.

6.已知双曲线－y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点，直线y=kx＋m与该抛物线相交于A，B两个不同的点，点M(2,2)是AB的中点，则△AOB(O为坐标原点)的面积是 (　　)

A.4         B.3         C.          D.2

7.已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y=(x＋c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为(　　)

A.         B.         C.2＋1          D.＋1

8.已知抛物线C：x2=2py(p＞0)，直线2x－y＋2=0交抛物线C于A、B两点，过线段AB的中点作x轴的垂线，交抛物线C于点Q.若|2＋|=|2－|，则p=(　　)

A.            B.            C.              D.

二、填空题

9.设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M为抛物线上一点，MN⊥l，N为垂足，

如果直线NF的倾斜角为π，|MF|=4，则抛物线的方程为________.

10.已知F为双曲线－=1(a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，

且·=0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________.

11.已知抛物线C1：y=ax2(a＞0)的焦点F也是椭圆C2：＋=1(b＞0)的一个焦点，

点M，P分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|＋|MF|的最小值为________.

12.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，

若2＋－3=0，则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为________.

三、解答题

13.如图，椭圆＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，

且PQ⊥PF1.

(1)若|PF1|=2＋，|PF2|=2－，求椭圆的标准方程；

(2)若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e.

14.已知动圆P与圆F1：(x＋2)2＋y2=49相切，且与圆F2：(x－2)2＋y2=1内切，记圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点，求△QMN面积的最大值.

0.答案详解

1.答案为：A；

解析：易知抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a=2.

又双曲线的离心率e=，所以c=3，b2=c2－a2=5，所以双曲线的方程为－=1，选A.]

2.答案为：B；

解析：由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y=x上，由题意可知|F2M|==b，

所以|OM|==a.由S△OMF2=16，可得ab=16，即ab=32，

又a2＋b2=c2，=，所以a=8，b=4，c=4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.]

3.答案为：C；

解析：如图，设椭圆C的右焦点为F′.

由|OP|=|OF|=|OF′|，知PF⊥PF′.

在Rt△PFF′中，|PF′|===8.

由|PF|＋|PF′|=2a=4＋8=12，得a=6.由题意，得c=2，

所以b2=a2－c2=62－(2)2=16.所以椭圆C的方程为＋=1.故选C.]

4.答案为：B；

解析：由椭圆＋=1知a=3，b=，c==2，在Rt△AOF中，|OF|=2，|OA|=2，

则|AF|=4.设椭圆的左焦点为F1，

则△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|=|AF|＋|AP|＋2a－|PF1|

=4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(当且仅当P在线段AF1的延长线上时取“=”).

下面求当△APF周长最大时P的纵坐标：易知AF1的方程为＋=1，

与椭圆的方程5x2＋9y2－45=0联立并整理得32y2－20y－75=0，

解得yP=－(正值舍去).则△APF的周长最大时，

S△APF=·|F1F|·|yA－yP|=×4×=.故选B.]

5.答案为：A；

解析：因为|GF1|－7|GF2|=0，所以|GF1|=7|GF2|，由双曲线的定义得|GF1|－|GF2|=2a，

联立得，得.

又|GF1|＋|GF2|≥|F1F2|，即＋≥2c，即离心率e≤，因为e＞1，所以1＜e≤.

又C经过第一象限的渐近线为y=x，

所以双曲线C经过第一象限的渐近线的斜率==∈.]

6.答案为：D；

解析：如图，记抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，

因为双曲线－y2=1的右焦点的坐标为(2,0)，所以F(2,0)，

所以抛物线的方程为y2=8x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则y=8x1，y=8x2，

所以y－y=8(x2－x1)，所以k==，

因为M(2,2)为AB的中点，所以y1＋y2=4，k=2，所以直线AB的方程为y=2x＋m，

因为直线过点M(2,2)，所以m=－2，

所以直线AB的方程为y=2x－2，其与x轴的交点为C(1,0).

由，得y2－4y－8=0，所以，

所以|y1－y2|==4，

所以△AOB的面积为×1×|y1－y2|=2，故选D.]

7.答案为：D；

解析：∵直线y=(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为30°，∴∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，

∴∠F2PF1=90°，即F1P⊥F2P.∴|PF2|=|F1F2|=c，|PF1|=|F1F2|·sin 60°=c，

由双曲线的定义得2a=|PF1|－|PF2|=c－c，

∴双曲线C的离心率e===＋1，选D.]

8.答案为：B；

解析：联立抛物线x2=2py与直线y=2x＋2的方程，消去y得x2－4px－4p=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ=16p2＋16p＞0，x1＋x2=4p，x1x2=－4p，∴Q(2p,2p).

∵|2＋|=|2－|，∴·=0，∴(x1－2p)(x2－2p)＋(y1－2p)(y2－2p)=0，

即(x1－2p)(x2－2p)＋(2x1＋2－2p)(2x2＋2－2p)=0，

∴5x1x2＋(4－6p)(x1＋x2)＋8p2－8p＋4=0，将x1＋x2=4p，x1x2=－4p代入，

得4p2＋3p－1=0，得p=或p=－1(舍去).故选B.]

9.答案为：y2=4x；

解析：由题意可知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F(，0)，

抛物线y2=2px的准线方程为x=－，设M(x0，y0)，(x0，y0均为正数)，则2px0=y，

∴|MN|=x0＋，|FN|=，由抛物线的定义可知|MF|=|MN|=x0＋=4　①，

又∠NFx=π，∴|FN|=2p，即=2p，=2p，p＋2x0=4p，即x0=p②，

由①②得2p=4，即p=2，故抛物线的方程为y2=4x.]

10.答案为：；

解析：因为·=0，所以⊥.设双曲线的左焦点为F′，

则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|=|NF′|，|MN|=2c，

不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|－|NF|=2a，所以|MF|－|NF|=2a.

因为S△MNF=|MF|·|NF|=ab，所以|MF||NF|=2ab.

在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2=|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|=|MN|2，

所以(2a)2＋2·2ab=(2c)2，把c2=a2＋b2代入，并整理，得=1，

所以e===.]

11.答案为：2；

解析：将P代入＋=1，可得＋=1，∴b=，∴c=1，∴抛物线的焦点F为(0,1)，

∴抛物线C1的方程为x2=4y，准线为直线y=－1，设点M在准 线上的射影为D，

根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|，

∴要求|MP|＋|MF|的最小值，即求|MP|＋|MD|的最小值，易知当D、M、P三点共线时，

|MP|＋|MD|最小，最小值为1－(－1)=2.]

12.答案为：；

解析：依题意得，抛物线的焦点F(0,1)，准线方程是y=－1，

因为2(－)＋(－)=0，即2＋=0，所以F，A，B三点共线.

设直线AB：y=kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则由，得x2=4(kx＋1)，即x2－4kx－4=0，x1x2=－4　①；

又2＋=0，因此2x1＋x2=0　②.

由①②解得x=2，弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为

[(y1＋1)＋(y2＋1)]=(y1＋y2)＋1=(x＋x)＋1=＋1=.]

13.解：(1)由椭圆的定义，有2a=|PF1|＋|PF2|=(2＋)＋(2－)=4，故a=2.

设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，得2c=|F1F2|==2，即c=，

从而b==1.故所求椭圆的标准方程为＋y2=1.

(2)法一：(代数法)连接F1Q，如图，设P(x0，y0)，因为点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，

所以＋=1，x＋y=c2，求得x0=±，y0=±.

由|PF1|=|PQ|＞|PF2|得x0＞0，

从而|PF1|2=2＋=2(a2－b2)＋2a=(a＋)2.

由PF1⊥PF2，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|.因此(2＋)|PF1|=4a，

即(2＋)(a＋)=4a，于是(2＋)(1＋)=4，

解得e==－.

法二：(定义法)连接F1Q，由椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|=2a，|QF1|＋|QF2|=2a.

从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|＋|QF2|，有|QF1|=4a－2|PF1|.

又由PF1⊥PQ，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|，

因此，4a－2|PF1|=|PF1|，得|PF1|=2(2－)a，

从而|PF2|=2a－|PF1|=2a－2(2－)a=2(－1)a.

由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2，

因此e=====－.

14.解：(1)设圆P的半径为R，圆心P的坐标为(x，y)，

由于动圆P与圆F1：(x＋2)2＋y2=49相切，且与圆F2：(x－2)2＋y2=1内切，

所以动圆P与圆F1只能内切.

所以，则|PF1|＋|PF2|=6＞|F1F2|=4.

所以圆心P的轨迹是以点F1，F2为焦点的椭圆，且a=3，c=2，则b2=a2－c2=5.

所以曲线C的方程为＋=1.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)，直线MN的方程为 x=my＋2，

由，可得(5m2＋9)y2＋20my－25=0，

则y1＋y2=－，y1y2=－.

所以|MN|=

==.

因为MN∥OQ，所以△QMN的面积等于△OMN的面积.

点O到直线MN：x=my＋2的距离d=.

所以△QMN的面积S=|MN|·d=××=.

令=t，则m2=t2－1(t≥1)，S===.

设f(t)=5t＋(t≥1)，则f′(t)=5－=.

因为t≥1，所以f′(t)=＞0，

所以f(t)=5t＋在[1，＋∞)上单调递增.

所以当t=1时，f(t)取得最小值，其值为9.

所以△QMN的面积的最大值为.