新高考数学二轮复习专题突破练6利用导数证明问题含答案

这是一份新高考数学二轮复习专题突破练6利用导数证明问题含答案，共11页。试卷主要包含了已知函数f=a-x等内容，欢迎下载使用。
(1)若a=1,求b的值;
(2)求证:f(x)≥g(x).
2.已知函数f(x)=ex-asin x-x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0.
(1)求实数a的值;
(2)证明:对∀x∈R,f(x)>0恒成立.
3.(2023·新高考Ⅰ,19)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当a>0时,f(x)>2ln a+32.
4.已知函数f(x)=aex+sin x+x,x∈[0,π].
(1)证明:当a=-1时,函数f(x)有唯一的极大值点;
(2)当-20),则x02+2ax0=4a2ln x0+b.
又f'(x)=2x+2a,g'(x)=4a2x,∴2x0+2a=4a2x0.
∵a=1,∴x02+x0-2=0,∴x0=1,则4×1×0+b=1+2=3,解得b=3.
(2)证明 由(1)得2x0+2a=4a2x0,即x02+ax0-2a2=0,得x0=a.
∴a2+2a2-4a2ln a-b=0.
令h(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-4a2ln x-b(a>0),则h'(x)=2x+2a-4a2x=2(x2+ax-2a2)x=2(x+2a)(x-a)x.
当00,故h(x)在区间(0,a)内单调递减,在区间(a,+∞)内单调递增.
∴x=a时,函数h(x)取得极小值即最小值,且h(a)=a2+2a2-4a2ln a-b=0,因此h(x)≥0,故f(x)≥g(x).
2.(1)解 f'(x)=ex-acs x-1.
∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0,
∴f'(0)=-1,∴1-a-1=-1,得a=1.
(2)证明 由于f(x)=ex-sin x-x,要证明对∀x∈R,f(x)>0恒成立,需证明对∀x∈R,ex-x>sin x.
令g(x)=ex-x,∴g'(x)=ex-1.
令g'(x)=0,得x=0.
∴当x∈(-∞,0)时,g'(x)ln 1=0.
因此f(-ln a)>2ln a+32成立.
因此当a>0时,f(x)>2ln a+32.
4.证明 (1)当a=-1时,f(x)=x+sin x-ex,f'(x)=1+cs x-ex.
因为x∈[0,π],所以1+cs x≥0.
令g(x)=1+cs x-ex,x∈[0,π],则g'(x)=-ex-sin x0,g(π)=-eπ0;
当x00;
当t0,所以函数φ(t)在区间(0,π)内单调递增,所以φ(t)0,所以u(x)在R上单调递增,而u(0)=0,所以当x0,当x>1时,h'(x)G(0)=0.
故原不等式成立.
6.证明 (1)f'(x)=ln x-2ax+2,则f'(1)=2-2a,所以切线l的斜率为2-2a.
又f(1)=1-a,所以切线l的方程为y-(1-a)=(2-2a)(x-1),即y=(2-2a)x-12,可得当x=12时,y=0,故切线l恒过定点12,0.
(2)∵x1,x2是f(x)的零点,x2>2x1,且x1>0,x2>0,
∴x1ln x1-ax12+x1=0,x2ln x2-ax22+x2=0,即ln x1+1=ax1,ln x2+1=ax2,
∴a=ln x1+ln x2+2x1+x2=ln x2-ln x1x2-x1,
即ln(x1x2)+2=(x1+x2)lnx2x1x2-x1.
令t=x2x1,则t>2,于是ln(x1x2)+2=(t+1)lntt-1,
令g(t)=(t+1)lntt-1,则g'(t)=t-1t-2lnt(t-1)2.
令h(t)=t-1t-2ln t,则h'(t)=(t-1)2t2>0,
∴h(t)在区间(2,+∞)内单调递增,∴h(t)>h(2)=32-2ln 2>0,∴g'(t)>0,∴g(t)在区间(2,+∞)内单调递增,
∴g(t)>g(2)=3ln 2,
∴ln(x1x2)+2>3ln 2,即ln(x1x2)>3ln 2-2=ln8e2,
∴x1x2>8e2,
∴x12+x22>2x1x2>4e(由于x1≠x2,故不取等号).x
(-∞,-ln a)
-ln a
(-ln a,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
a
0,22
22
22,+∞
g'(a)
-
0
+
g(a)
↘
极小值
↗