【寒假作业】中职数学 高教版2021 高一数学寒假提升训练 第四章 第二课时 弧度制-练习.zip

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1．弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．
2．角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）
3．重要公式
弧长公式：（是圆心角的弧度数），
扇形面积公式：．
4．角度制与弧度制互化的关键与方法
1关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；
2方法：度数×EQ \f(π,180)＝弧度数；弧度数×EQ \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数；
3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
5．弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝eq \f(1,2)αr2和S＝eq \f(1,2)lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
例题解析
【例1 】下列说法中，错误的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．的角是周角的，的角是周角的
C．的角比的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
【答案】D
【解析】对于A选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，A选项正确；对于B选项，的角是周角的，的角是周角的，B选项正确；对于C选项，，C选项正确；对于D选项，用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关，D选项错误，故选：D.
【例2 】4弧度的角的终边所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】∵4 rad ≈rad，∴，故其终边在第三象限，故选：C.
【例3 】一个扇形的周长为8，当圆心角为 时，扇形的面积有最大值．
【答案】2
【解析】设扇形的半径为，弧长为 ∵扇形的周长为8， 即 ，∴扇形的面积 ，∴当半径 时，扇形的面积最大为4， ，此时， 故答案为：2．
【例4 】设与终边相同的角的集合为M，则①；②M中最小正角是；③M中最大负角是，其中正确的有 .（选填序号）
【答案】①②③
【解析】因为，所以①正确，令k=0，可得②正确；令k=-1，可得③正确，故答案为：①②③.
【例5 】已知某半径小于的扇形，其周长是，面积是.
（1）求该扇形的圆心角的弧度数；
（2）求该扇形中所含弓形面积（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）.
【答案】(1)；(2)
【解析】解：（1）由题意，扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R，该扇形弧长为，则：扇形的周长+2R=，扇形的面积S=，解得，故圆心角弧度数为．
（2）所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为，底为，S三角形面积=
可得：S弓形面积=S扇形-S三角形面积=，故S弓形面积=.
过关检测
【选择】
1．若角，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【解析】因为，所以是第二象限角，故选：B．
2．下列命题中正确的是（ ）．
A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角；
B．5弧度的角是第三象限角；
C．是第一象限角，则也是第一象限角；
D．－1弧度角是锐角．
【答案】C
【解析】A选项，1弧度的角就是弧长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误；B选项，，所以弧度是第四象限角，B选项错误；C选项，是第一象限角，即，所以，所以也是第一象限角，C选项正确；D选项，－1弧度角是负角，所以不是锐角，D选项错误，故选：C.
3．已知单位圆上有一段长度等于2的弧，则这段弧所对应的圆心角为（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】B
【解析】由已知圆心角为弧度，故选：B．
4．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，故与角的终边相同的角的集合为，故选：D.
5．若扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】由扇形面积公式可得：，故扇形的半径，则扇形的圆心角的弧度数，故这个扇形的圆心角的弧度数是3，故选：B.
6．给出下列3个结论，其中正确的个数是（ ）
①是第三象限角；②是第二象限角；③.
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【解析】①，所以是第三象限角，正确；②，所以是第三象限角，故不正确；③，故不正确，故选：C.
7．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（ ）
A．扇形的圆心角大小不变
B．扇形的圆心角增大到原来的2倍
C．扇形的圆心角增大到原来的4倍
D．不能确定
【答案】A
【解析】设圆心角的半径与弧长分别为、，此时圆心角的弧度数为，当圆心角的半径与弧长都扩大2倍后分别为、，此时圆心角的弧度数为，故选：A.
8．的角化为弧度制的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，故选：C.
9．设，那么的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设得0<2α<π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－<2α－<π，故选：D.
10．某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分针需要顺时针方向旋转，即弧度数为，故选：A.
【填空】
11．在半径为2的圆中，弧长为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为 .
【答案】
【解析】半径为2的圆中，弧长为1的圆弧所对的圆心角，故答案为：.
12．将–1485°化为2kπ+α（0≤α<2π，k∈Z）的形式是 .
【答案】–10π+
【解析】–1485°=–1485×=–=–10π+．故答案为–10π+．
13．与终边相同的所有角的集合用弧度制可以表示为 .
【答案】
【解析】将化为弧度制为，所以与终边相同的所有角的集合用弧度制为，故答案为：.
14．弧长为，圆心角为的扇形，其面积为 .
【答案】
【解析】设扇形半径为，由弧度制的定义可得：，解得：，则扇形的面积：.
15．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为 .
【答案】
【解析】终边落在第二象限的角的集合为：，故答案为：.
16．已知圆心角是2弧度的扇形面积为，则扇形的周长为 .
【答案】
【解析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可得：，解得：，故扇形的周长为：，故答案为．
17．把310°化成弧度的结果为 ，把rad化成角度的结果为 .
【答案】rad；75°
【解析】由，所以，由，所以，故答案为：rad；75°．
18．已知半径为的圆O中，弦AB的长为4，则弦AB所对的圆心角α的大小为 .
【答案】
【解析】因为圆的半径为，弦的长为4，所以，，所以，故为直角三角形，且为直角，所以弦所对圆心角为.
【解答】
19．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限．
（1）﹣1725°；
（2）﹣60°+360°k（）．
【答案】答案见解析
【解析】解：（1）化为弧度制为，因为 ，而为第一象限角，
所以﹣1725°为第一象限角.
（2）﹣60°+360°k（）互为弧度制为，因为为第四象限角，故﹣60°+360°k（）为第四象限角.
20．已知一个扇形的面积为4，周长为10，求该扇形的半径和圆心角．
【答案】半径为4，圆心角为
【解析】解：设扇形圆心角的弧度数为，弧长为，半径为，则， 可得，解得，．当时，，此时，舍去；当时．，此时．
故该扇形的半径为4，圆心角为.
21．已知α＝2000°.
（1）把α写成2kπ＋β [k∈Z，β∈[0，2π)]的形式；
（2）求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．
【答案】(1)；(2).
【解析】解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝.
(2)θ与α的终边相同，故θ＝θ＝2kπ＋π，k∈Z，又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋π＝.
22．用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：

（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）边界对应射线所在终边的角分别为，所以终边在阴影部分的角的集合为.
（2）边界对应射线所在终边的角分别为，所以终边在阴影部分的角的集合为=.