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【寒假作业】中职数学 高教版2021 高一数学寒假提升训练 第四章 第一课时 角的概念的推广-练习.zip
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这是一份【寒假作业】中职数学 高教版2021 高一数学寒假提升训练 第四章 第一课时 角的概念的推广-练习.zip，文件包含寒假作业中职数学高教版2021基础模块上册高一数学寒假提升训练第四章第一课时角的概念的推广原卷版docx、寒假作业中职数学高教版2021基础模块上册高一数学寒假提升训练第四章第一课时角的概念的推广解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
1．任意角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
正角：按逆时针方向旋转所形成的角．
负角：按顺时针方向旋转所形成的角．
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．
2．象限角的判定方法
(1)在坐标系中使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．
3．象限角
①α是第一象限角可表示为 {α|k·360°<α②α是第二象限角可表示为 {α|k·360°+90°<α③α是第三象限角可表示为{α|k·360°+180°<α④α是第四象限角可表示为{α|k·360°+270°<α4．非象限角
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝k·360°，k∈Z} ；
②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作{α|α＝k·360°+180°，k∈Z} ；
③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝k·360°+90°，k∈Z}；
④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作{α|α＝k·360°+270°，k∈Z}；
⑤终边在x轴上的角的集合可记作{α|α＝k·180°，k∈Z}；
⑥终边在y轴上的角的集合可记作 {α|α＝k·180°+90°，k∈Z}；
5．与角α终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
例题解析
【例1 】以下命题正确的是（ ）
A．终边重合的两个角相等B．小于 的角都是锐角
C．第二象限的角是钝角D．锐角是第一象限的角
【答案】D
【解析】对于A,例如和中边相同，但两个角不相等，故A错误；对于B,例如，但不是锐角，故B错误；对于C,例如是第二象限角，但不是钝角，故C错误；因为锐角为大于小于，所以锐角在第一象限，故D正确，故选:D.
【例2 】将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢分钟，转过的角为，故选：C.
【例3 】若与的终边相同，则适合的角的集合用列举法表示为 .
【答案】
【解析】与的终边相同，所以，，又，故答案为:
【例4 】集合中，角所表示的取值范围（阴影部分）正确的是
（填序号）.
【答案】③
【解析】当时，集合，当时，集合，
则可得出角所表示的取值范围为③，故答案为：③.
【例5 】已知，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3）之间的角．
【答案】(1)；(2)；(3)、、
【解析】解：(1)与角终边相同的角为，当时，，当时，，
故在与终边相同的角中，最小正角为.
(2)由（1）可知，在与终边相同的角中，最大的负角为.
(3)与角终边相同的角为，
当时，；当时，，当时，；
当时，；当时，.
因此，在与终边相同的角中，在之间的角为、、.
过关检测
【选择】
1．下列命题正确的是（ ）．
A．终边相同的角是相等的角B．锐角是小于90°的角
C．终边在第二象限的角是钝角D．相等的角终边重合
【答案】B
【解析】对于A项，因为，所以与终边相同，但是，故A项错误；对于B项，锐角是大于且小于90°的角，故B项正确；对于C项，终边落在第二象限，但不是钝角，故C项错误；对于D项，若两个角相等，但是始边不同，显然它们的终边不相同，故D项错误，故选：B.
2．喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（ ）
A．30°B．﹣30°C．60°D．﹣60°
【答案】D
【解析】因为分针为顺时针旋转，所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是 ，故选：D．
3．已知角，那么的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】因为，又，所以的终边在第三象限，故选：C．
4．与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为与角终边相同的角是，，当时，这个角为，只有选项D满足，其他选项不满足，故选：D.
5．与终边相同的角的集合是（ ），
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由终边相同的角知：与终边相同的角的集合是，故选：A.
6．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】第一象限角，；锐角，小于的角
，，，； “小于的角”里边有“第一象限角”，从而，故选：．
7．若角满足，则角的终边落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限.D．第四象限
【答案】A
【解析】角满足，则角的终边落在第一象限，故选：.
8．若，则的终边在（ ）
A．第二或第三象限B．第一或第三象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
【答案】B
【解析】当k为奇数时，记，则，此时为第三象限角；当k为偶数时，记，则，此时为第一象限角，故选：B.
9．将轴正半轴绕原点逆时针旋转，得到角，则下列与终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：，当时，，B正确，其他选项经过验证均不正确，故选：B.
10．给出四个命题：①是第四象限角；②是第三象限角；③是第二象限角；④是第一象限角.其中正确的有（ ）个.
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】对①：是第四象限角，故①正确；对②：，故其为第三象限角，故②正确；对③：，又是第二象限角，故是第二象限角，③正确；对④：，又是第一象限角，给是第一象限角，④正确，故正确的有个，故选：.
【填空】
11．平面直角坐标系中，若角，则是第 象限的角.
【答案】二
【解析】，因此与终边相同，而是第二象限角．所以是第二象限角，故答案为：二．
12．已知，求与角终边相同的最小正角为 .
【答案】
【解析】，所以与角终边相同的最小正角为，故答案为：.
13．在范围内，与终边相同的角是 .
【答案】
【解析】与角终边相同的角是，， 当时为，在范围内，与角终边相同的角是，故答案为：.
14．下列命题：
①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角､直角或锐角，其中不正确的序号为 .
【答案】①②③④
【解析】是第一象限角也是负角，①错；是第二象限角，是第一象限角，但＜，②错；
同上，是第二象限角，但不是钝角，③错；角是小于的角，但不是钝角，不是直角，也不是锐角，④错，故答案为：①②③④．
15．经过12分钟，时钟的分针所转过的角度是 .
【答案】
【解析】时钟分针转过一圈是60分钟，则转过12分钟，即划过整个圆周的，由顺时针走过为负角，则转过12分钟，所转过的角为，故答案为：.
16．已知：①，②，③，④，其中是第一象限角的为 (填序号).
【答案】②③④
【解析】因为，，，，所以②，③，④是第一象限角，故答案为：②③④.
17．在，，，，这五个角中，第二象限角有 个.
【答案】3
【解析】因为，是第四象限角；，，，都是第二象限角；，是第三象限角，故第二象限角有3个，故答案为：3.
18．如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合 .
【答案】
【解析】阴影部分内的角的集合为，故答案为：.
【解答】
19．写出与终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式的元素α写出来.
【答案】
【解析】解：与角终边相同的角的集合为，当时，时，时，；中适合不等式的元素为：.
20．在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
（1）；
（2）.
【答案】(1)第三象限角；(2)第四象限角.
【解析】解：(1)因为，所以在范围内，与角终边相同的角是角，它是第三象限角.
(2)因为 ，所以在范围内，与角终边相同的角是角，它是第四象限角.
21．已知角β为以O为顶点，x轴为始边，逆时针旋转60°所成的角.
（1）写出角β的集合S；
（2）写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素.
【答案】(1)S＝{β|β＝60°＋k·180°,k∈Z}；(2)－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.
【解析】解：(1)依题意，角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°,k∈Z}.
(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°；取k＝－1,得β＝－120°；取k＝0,得β＝60°；取k＝1,得β＝240°；取k＝2,得β＝420°；取k＝3,得β＝600°，所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°,－120°,60°,240°,420°,600°.
22．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．
【答案】答案见详解
【解析】解：在的范围内，阴影部分为，终边落在阴影部分的角的集合可表示为：
.
1．任意角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
正角：按逆时针方向旋转所形成的角．
负角：按顺时针方向旋转所形成的角．
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．
2．象限角的判定方法
(1)在坐标系中使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．
3．象限角
①α是第一象限角可表示为 {α|k·360°<α
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝k·360°，k∈Z} ；
②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作{α|α＝k·360°+180°，k∈Z} ；
③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝k·360°+90°，k∈Z}；
④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作{α|α＝k·360°+270°，k∈Z}；
⑤终边在x轴上的角的集合可记作{α|α＝k·180°，k∈Z}；
⑥终边在y轴上的角的集合可记作 {α|α＝k·180°+90°，k∈Z}；
5．与角α终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
例题解析
【例1 】以下命题正确的是（ ）
A．终边重合的两个角相等B．小于 的角都是锐角
C．第二象限的角是钝角D．锐角是第一象限的角
【答案】D
【解析】对于A,例如和中边相同，但两个角不相等，故A错误；对于B,例如，但不是锐角，故B错误；对于C,例如是第二象限角，但不是钝角，故C错误；因为锐角为大于小于，所以锐角在第一象限，故D正确，故选:D.
【例2 】将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢分钟，转过的角为，故选：C.
【例3 】若与的终边相同，则适合的角的集合用列举法表示为 .
【答案】
【解析】与的终边相同，所以，，又，故答案为:
【例4 】集合中，角所表示的取值范围（阴影部分）正确的是
（填序号）.
【答案】③
【解析】当时，集合，当时，集合，
则可得出角所表示的取值范围为③，故答案为：③.
【例5 】已知，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3）之间的角．
【答案】(1)；(2)；(3)、、
【解析】解：(1)与角终边相同的角为，当时，，当时，，
故在与终边相同的角中，最小正角为.
(2)由（1）可知，在与终边相同的角中，最大的负角为.
(3)与角终边相同的角为，
当时，；当时，，当时，；
当时，；当时，.
因此，在与终边相同的角中，在之间的角为、、.
过关检测
【选择】
1．下列命题正确的是（ ）．
A．终边相同的角是相等的角B．锐角是小于90°的角
C．终边在第二象限的角是钝角D．相等的角终边重合
【答案】B
【解析】对于A项，因为，所以与终边相同，但是，故A项错误；对于B项，锐角是大于且小于90°的角，故B项正确；对于C项，终边落在第二象限，但不是钝角，故C项错误；对于D项，若两个角相等，但是始边不同，显然它们的终边不相同，故D项错误，故选：B.
2．喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（ ）
A．30°B．﹣30°C．60°D．﹣60°
【答案】D
【解析】因为分针为顺时针旋转，所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是 ，故选：D．
3．已知角，那么的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】因为，又，所以的终边在第三象限，故选：C．
4．与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为与角终边相同的角是，，当时，这个角为，只有选项D满足，其他选项不满足，故选：D.
5．与终边相同的角的集合是（ ），
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由终边相同的角知：与终边相同的角的集合是，故选：A.
6．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】第一象限角，；锐角，小于的角
，，，； “小于的角”里边有“第一象限角”，从而，故选：．
7．若角满足，则角的终边落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限.D．第四象限
【答案】A
【解析】角满足，则角的终边落在第一象限，故选：.
8．若，则的终边在（ ）
A．第二或第三象限B．第一或第三象限
C．第二或第四象限D．第三或第四象限
【答案】B
【解析】当k为奇数时，记，则，此时为第三象限角；当k为偶数时，记，则，此时为第一象限角，故选：B.
9．将轴正半轴绕原点逆时针旋转，得到角，则下列与终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：，当时，，B正确，其他选项经过验证均不正确，故选：B.
10．给出四个命题：①是第四象限角；②是第三象限角；③是第二象限角；④是第一象限角.其中正确的有（ ）个.
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】对①：是第四象限角，故①正确；对②：，故其为第三象限角，故②正确；对③：，又是第二象限角，故是第二象限角，③正确；对④：，又是第一象限角，给是第一象限角，④正确，故正确的有个，故选：.
【填空】
11．平面直角坐标系中，若角，则是第 象限的角.
【答案】二
【解析】，因此与终边相同，而是第二象限角．所以是第二象限角，故答案为：二．
12．已知，求与角终边相同的最小正角为 .
【答案】
【解析】，所以与角终边相同的最小正角为，故答案为：.
13．在范围内，与终边相同的角是 .
【答案】
【解析】与角终边相同的角是，， 当时为，在范围内，与角终边相同的角是，故答案为：.
14．下列命题：
①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角､直角或锐角，其中不正确的序号为 .
【答案】①②③④
【解析】是第一象限角也是负角，①错；是第二象限角，是第一象限角，但＜，②错；
同上，是第二象限角，但不是钝角，③错；角是小于的角，但不是钝角，不是直角，也不是锐角，④错，故答案为：①②③④．
15．经过12分钟，时钟的分针所转过的角度是 .
【答案】
【解析】时钟分针转过一圈是60分钟，则转过12分钟，即划过整个圆周的，由顺时针走过为负角，则转过12分钟，所转过的角为，故答案为：.
16．已知：①，②，③，④，其中是第一象限角的为 (填序号).
【答案】②③④
【解析】因为，，，，所以②，③，④是第一象限角，故答案为：②③④.
17．在，，，，这五个角中，第二象限角有 个.
【答案】3
【解析】因为，是第四象限角；，，，都是第二象限角；，是第三象限角，故第二象限角有3个，故答案为：3.
18．如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合 .
【答案】
【解析】阴影部分内的角的集合为，故答案为：.
【解答】
19．写出与终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式的元素α写出来.
【答案】
【解析】解：与角终边相同的角的集合为，当时，时，时，；中适合不等式的元素为：.
20．在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
（1）；
（2）.
【答案】(1)第三象限角；(2)第四象限角.
【解析】解：(1)因为，所以在范围内，与角终边相同的角是角，它是第三象限角.
(2)因为 ，所以在范围内，与角终边相同的角是角，它是第四象限角.
21．已知角β为以O为顶点，x轴为始边，逆时针旋转60°所成的角.
（1）写出角β的集合S；
（2）写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素.
【答案】(1)S＝{β|β＝60°＋k·180°,k∈Z}；(2)－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.
【解析】解：(1)依题意，角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°,k∈Z}.
(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°；取k＝－1,得β＝－120°；取k＝0,得β＝60°；取k＝1,得β＝240°；取k＝2,得β＝420°；取k＝3,得β＝600°，所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°,－120°,60°,240°,420°,600°.
22．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．
【答案】答案见详解
【解析】解：在的范围内，阴影部分为，终边落在阴影部分的角的集合可表示为：
.
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