高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆与圆的位置关系课时训练

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆与圆的位置关系课时训练，共5页。

1．圆x2＋y2＝9和圆x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．内切 D．外切
2．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
3．圆x2＋y2－6x＝0和圆x2＋y2－4x＋6y＝0交于A，B两点，则两圆公共弦的弦长|AB|为( )
A.eq \f(9\r(10),5) B.eq \f(9\r(10),10)
C.eq \f(7\r(10),5) D.eq \f(7\r(10),10)
4．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是( )
A．60° B．45°
C．120° D．90°
5．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0
6．[多选题]若圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0的交点为A，B，则( )
A．公共弦AB所在直线方程为x＋y－3＝0
B．线段AB中垂线方程为x－y＋1＝0
C．公共弦AB的长为2eq \r(2)
D．在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C1
7．若圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝m(m>0)与圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0有3条公切线，则m＝________.
8．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．
9．已知两圆相交于点A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．
10．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
[提能力]
11．[多选题]已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( )
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a
D．y1＋y2＝2b
12．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )
A．4 B．4eq \r(2)
C．8 D．8eq \r(2)
13．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
14．在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
15．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，满足以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[培优生]
16．[多选题]如图，已知A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，eq \x\t(CD)是以OD为直径的圆上的一段圆弧，eq \x\t(CB)是以BC为直径的圆上的一段圆弧，eq \x\t(BA)是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线W，则下述正确的是( )
A．曲线W与x轴围成区域的面积等于2π
B．曲线W上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)
C.eq \x\t(CB)所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1
D.eq \x\t(CB)与eq \x\t(BA)的公切线方程为x＋y＝eq \r(2)＋1
课时作业(十二)
1．解析：两圆的圆心坐标为(0，0)，(4，－3)，半径为3，4，所以1＝4－3答案：B
2．解析：两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，两圆的半径分别为3，2，由题意得eq \r(（m＋2）2＋（－1－m）2)＝3＋2，解得m＝2或－5.故选C.
答案：C
3．解析：圆C1：x2＋y2－6x＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋6y＝0的公共弦所在直线方程为：(x2＋y2－6x)－(x2＋y2－4x＋6y)＝－2x－6y＝0，即x＋3y＝0.∵圆C1：x2＋y2－6x＝0的圆心C1(3，0)到公共弦x＋3y＝0的距离d＝eq \f(3,\r(10))＝eq \f(3\r(10),10)，圆C1的半径为r＝3.∴公共弦|AB|＝2eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(10),10)))\s\up12(2))＝eq \f(9\r(10),5)，故选A.
答案：A
4．解析：圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2，0)，半径为r＝2.
圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为r＝2.
圆心距为d＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，弦心距d′＝eq \f(d,2)＝eq \r(2).
设公共弦所对的圆心角为2θ，则
csθ＝eq \f(d′,r)＝eq \f(\r(2),2)，∴θ＝45°，∴2θ＝90°.故选D.
答案：D
5．解析：以线段OM为直径的圆的方程为x2＋y2－4x＋y＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x－y－4＝0，这就是经过两切点的直线方程．故选A.
答案：A
6．解析：由(x2＋y2－3x－3y＋3)－(x2＋y2－2x－2y)＝0，得x＋y－3＝0，即公共弦AB所在直线方程，A正确；由公共弦AB的中垂线过圆心，得线段AB中垂线方程为x－y＝0，B不正确；由|AB|＝2eq \r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(2))))\s\up12(2))＝eq \r(6)，知C不正确；在过A，B两点的所有圆中，以AB为直径的圆的面积最小，而AB是圆C1的直径，所以面积最小的圆是圆C1，D正确．故选AD.
答案：AD
7．解析：由题意知圆C1与圆C2相外切，则eq \r(（2＋2）2＋（5－2）2)＝eq \r(m)＋4.解得m＝1.
答案：1
8．解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a，0)，eq \r(2)和(0，b)，1，因为两圆外离，所以eq \r(a2＋b2)＞eq \r(2)＋1，即a2＋b2＞3＋2eq \r(2).
答案：a2＋b2＞3＋2eq \r(2)
9．解析：由题意知，AB的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋1,2)，1))在直线x－y＋c＝0上，
∴eq \f(m＋1,2)－1＋c＝0，m＋2c＝1，
又直线AB的斜率kAB＝eq \f(3－（－1）,1－m)＝eq \f(4,1－m)＝－1，
∴m＝5，∴c＝－2，∴m＋c＝3.
答案：3
10．解析：设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，①
已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0.②
②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0
又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
11．解析：两圆方程相减得直线AB的方程为：a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，B正确；分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入2ax＋2by＝a2＋b2得：2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减得：2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确；由圆的性质可知：线段AB与线段C1C2互相平分，∴x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确，D错误．故选ABC.
答案：ABC
12．解析：∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝eq \r(（a－b）2＋（a－b）2)＝eq \r(32×2)＝8.
答案：C
13．解析：由题意知O1(0，0)，O2(m，0)，且eq \r(5)<|m|<3eq \r(5).又O2A⊥AO1，所以有m2＝(eq \r(5))2＋(2eq \r(5))2＝25⇒m＝±5，所以|AB|＝2×eq \f(\r(5)×\r(20),5)＝4.
答案：4
14．解析：圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心坐标为(4，0)，半径为1.
由题意知圆C的圆心(4，0)到直线y＝kx－2的距离不大于2，
即eq \f(|4k－2|,\r(k2＋1))≤2.
整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤eq \f(4,3)，故k的最大值为eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
15．解析：假设存在斜率为1的直线l，满足题意，且OA⊥OB，设直线l的方程为y＝x＋b，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋b，,x2＋y2－2x＋4y－4＝0，))
消元得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0.
设此方程两根为x1，x2，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝eq \f(b2＋4b－4,2).
以AB为直径的圆过原点O，
∴kOA·kOB＝eq \f(y1y2,x1x2)＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
∴b2＋3b－4＝0，∴b＝－4或b＝1.
又Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)，
经检验当b＝－4或b＝1时满足Δ＞0.
∴存在这样的直线l为y＝x－4或y＝x＋1.
16．解析：如图所示，连接BC，过点C作CK⊥x轴于K，过点B作BL⊥x轴于L.则曲线W和x轴围成区域的面积S＝π＋2，故A错误；曲线W上有A，B，C，D，M这5个整点，故B正确；eq \(CB,\s\up8(︵))所在圆的圆心为(0，1)，半径为1，故eq \(CB,\s\up8(︵))所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故C正确；设eq \(CB,\s\up8(︵))与eq \(BA,\s\up8(︵))的公切线方程为y＝kx＋b，由图知k<0，b>0，则eq \f(|k＋b|,\r(1＋k2))＝1，eq \f(|1－b|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－1，b＝eq \r(2)＋1，即x＋y＝eq \r(2)＋1，故D正确．故选BCD.
答案：BCD