高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.2 抛物线的几何性质测试题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.2 抛物线的几何性质测试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12yD．x2＝±6y
2．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则p的值( )
A．1B．－1
C．4D．6
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，则|AB|的值为( )
A．10B．8
C．6D．4
4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M在抛物线C上，点N在准线l上，且MN⊥l.若|MF|＝8，∠MFN＝60°，则p的值为( )
A．8B．4
C．2D．1
二、填空题
5．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为________．
6．直线3x－4y＝0与抛物线W：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线W的焦点，若|AB|＝5，则△ABF的面积为________．
7．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
三、解答题
8．已知定点A(－3，0)，B(3，0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，求·的最小值．
9.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
[尖子生题库]
10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
课时作业(二十四) 抛物线的几何性质
1．解析：依题意知抛物线方程为x2＝±2py(p＞0)的形式，又eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，2p＝12，故方程为x2＝±12y.
答案：C
2．解析：eq \f(p,2)＝eq \r(3＋1)⇒p＝4，解得p＝4.
答案：C
3.
解析：∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.
∴由抛物线定义知：
|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
答案：B
4．解析：由抛物线的定义可得|NM|＝|MF|＝8，又∠MFN＝60°，
故△MFN为等边三角形，所以∠NMF＝60°且|MN|＝|MF|＝|NF|＝8，
因为MN平行于x轴，故MF的倾斜角为60°.
故∠NFO＝60°，F到准线的距离为8cs60°＝4，即p＝4.故选B.
答案：B
5．解析：不妨设A(x，2eq \r(3))，则(2eq \r(3))2＝4x，所以x＝3，所以AB的方程为x＝3，抛物线的焦点为(1，0).所以焦点到AB的距离为2.
答案：2
6．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－4y＝0,y2＝2px))，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(32p,9),y＝\f(8p,3)))，
所以|AB|＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(\f(322p2,81)＋\f(64p2,9))＝eq \r(\f(322＋242,81)p2)，
而|AB|＝5，
可得eq \r(\f(322＋242,81)·p2)＝5，解得p＝eq \f(9,8)，即Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，0))，
所以F到直线AB的距离
d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3×\f(9,16))),\r(32＋（－4）2))＝eq \f(27,16×5)，
所以S△ABF＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \f(1,2)×5·eq \f(27,16×5)＝eq \f(27,32).
答案：eq \f(27,32)
7．解析：由题意知Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,\r(3))，－\f(p,2)))，代入方程eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1得p＝6.
答案：6
8．解析：设P(x，y)，则y2＝2x，因为A(－3，0)，B(3，0)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝(x＋3，y)·(x－3，y)＝x2＋y2－9＝x2＋2x－9＝(x＋1)2－10(x≥0)，故当x＝0时，取得最小值为－9.
9．解析：(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan60°＝eq \r(3).
又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，所以直线l的方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2))).联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，))消去y得x2－5x＋eq \f(9,4)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－eq \f(3,2)，
所以M到准线的距离等于3＋eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).
10．证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).
由题意可设直线方程为x＝my＋eq \f(p,2)，代入y2＝2px，
得y2＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
由y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.
因为y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝2px1，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2px2，所以y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝4p2x1x2，
所以x1x2＝eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4p2)＝eq \f(p4,4p2)＝eq \f(p2,4).
(2)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,x1＋\f(p,2))＋eq \f(1,x2＋\f(p,2))
＝eq \f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)（x1＋x2）＋\f(p2,4)).
因为x1x2＝eq \f(p2,4)，x1＋x2＝|AB|－p，
代入上式，
得eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(|AB|,\f(p2,4)＋\f(p,2)（|AB|－p）＋\f(p2,4))＝eq \f(2,p)(定值).
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，
则|MN|＝eq \f(1,2)(|AC|＋|BD|)
＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．