初中人教版12.1 全等三角形综合训练题

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一、单选题
1. ( 3分 ) 下列说法正确的是（ ）
A. 周长相等的两个三角形全等
B. 面积相等的两个三角形全等
C. 三个角对应相等的两个三角形全等
D. 三条边对应相等的两个三角形全等
【答案】 D
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故本选项错误；
D、正确，符合判定方法SSS.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS可得结果.
2. ( 3分 ) 下列说法不正确的是（ ）.
A. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
B. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
C. 底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等
D. 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
【答案】 D
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、满足SAS的判定方法，正确，不符合题意；
B、满足AAS或ASA的判定方法，正确，不符合题意；
C、满足AAS或ASA的判定方法，正确，不符合题意；
D、两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，故错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS一一判断得出答案.
3. ( 3分 ) 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知 AB=DE ， AC=DF ，添加下列条件还不能判定的 ΔABC≅ΔDEF 是（ ）
A. ∠ABC=∠DEF B. ∠A=∠D C. BE=CF D. BC=EF
【答案】 A
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠ABC=∠DEF，根据条件不可以证明△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠A=∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是EB=CF，可得BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合全等三角形的判定定理进行解答即可.
4. ( 3分 ) 如图，乐乐书上的三角形墨迹污染了一部分，很快他就画出一个三角形与书上的三角形全等，这两个三角形全等的依据是（ ）
A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS
【答案】 B
【考点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：根据题意，三角形的两角和他们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
故答案为：B.
【分析】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”,据此即可得出答案.

5. ( 3分 ) 如图，已知P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3 cm，则MD的长度为( )
A. 3cm B. 3 3 cm C. 2cm D. 2 3 cm
【答案】 A
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】作PC⊥OB于C，则此时PC最小，
∵P是∠AOB的角平分线上的一点，PD⊥OA，PC⊥OB，
∴PD=PC=3，∠AOP=30°，
∴OP=2PD=6，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，
∴DM= 12 OP=3，
故答案为：A．

【分析】根据垂线段最短、角平分线的性质求出PD，根据垂直三角形的性质解答。
6. ( 3分 ) 如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O ， 且CE＝BD ， 若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（ ）
A. 20° B. 40° C. 60° D. 70°
【答案】 B
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵BD、CE是高，∠CBD＝20°，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
{CE=BDBC=CB ，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠BCD＝∠CBE＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：B ．

【分析】利用直角三角形可得∠BCD的度数，再根据“HL”可得△BEC≌△CDB，进而得到∠BCD＝∠CBE，可得∠A的度数。
7. ( 3分 ) 如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A. ∠ABC＝∠ABD B. ∠BAC＝∠BAD C. AC＝AD D. AC＝BC
【答案】 C
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．∵∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
B．∵∠BAC＝∠BAD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故本选项符合题意；
D．根据∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝BC不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD，故本选项不符合题意；
故答案为：C．

【分析】利用“HL”证明三角形全等的方法逐项判定即可。
8. ( 3分 ) 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，点E在边AC上，若DE＝DB，则下列结论不正确的是（ ）

A. DC＝DF B. DE＝BF C. AC＝AF D. AB＝AC+CE
【答案】 B
【考点】直角三角形全等的判定（HL），角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，∴DC＝DF，故A正确；
在Rt△DCE与Rt△DFB中，
{DC=DFDE=DB ，
∴Rt△DCE≌Rt△DFB（HL），
∴CE＝BF，故B错误；
在Rt△ADC与Rt△ADF中，
{DC=DFAD=AD ，
∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），
∴AC＝AF，故C正确；
∴AB＝AF+BF＝AC+CE，故D正确，
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质得出DC＝DF，据此判断A；根据HL可证Rt△DCE≌Rt△DFB，Rt△ADC≌Rt△ADF，利用全等三角形的性质得出CE＝BF，AC＝AF，从而求出AB＝AF+BF＝AC+CE，据此判断B、C、D.
9. ( 3分 ) 在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ，E是AB上一点，且 BE=BC ，过E作 DE⊥AB 交AC于D，如果 AC=5cm ，则 AD+DE 等于（ ）

A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
【答案】 C
【考点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ∵DE⊥AB ，
∴∠DEB=90°=∠C ，
在 Rt△BED 和 Rt△BCD 中
{BD=BDBE=BC ，
∴Rt△BED ≌ Rt△BCD(HL) ，
∴DE=DC ，
∴AD+DE=AD+CD=AC=5cm ，
故答案为：C.
【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS， HL. 根据HL证 Rt△BED ≌ Rt△BCD ，推出 DE=DC ，得出 AD+DE=AD+DC=AC ，代入求出即可.
10. ( 3分 ) 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM.则下列结论中：①AC＝BD；②∠AMB＝30°；③△OEM≌△OFM；④MO平分∠BMC.
正确的个数有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】 B
【考点】三角形全等的判定，角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，作OH⊥AC于H，OG⊥BD于G，

∵∠AOB=∠COD=30°，
∴∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，故 ① 正确；
∴∠OAC=∠OBD，
而∠AFM=∠BFO，
∴∠AMF=∠BOF=30°，故 ② 正确；
∵OC∠OAC，
∵∠OEM=∠OCE+30°，∠OFM=∠OBF+30°=∠OAM+30°，
∴∠OEM>∠OFM，
∴△OEM与△OFM不可能全等，故 ③ 错误；
∵△AOC≌△BOD，
∴OH=OG，
∴OM平分∠BMC，故 ④ 正确；
综上，正确的选项有3个.
故答案为：B.

【分析】根据SAS证明证明△AOC≌△BOD即可得到AC=BD，即可对 ① 作出判断；根据全等三角形的性质得到∠OAC=∠OBD，则根据三角形的性质得到∠AMF=∠BOF=30°，于是对 ② 进行判断；利用OC∠OAC，推出∠OEM>∠OFM，则△OEM与△OFM不可能全等，对③进行判断；作OH⊥AC于H，OG⊥BD于G，利用AAS证明△OCG≌△ODH，得到OG=OH，由角平分线的判定定理得出MO平分∠BMC, 则 ④ 可判断.
二、填空题
11. ( 4分 ) 如图，点 B 、 D 、 E 、 C 在一条直线上，若 △ABD≌△ACE ， BC=12 ， BD=3 ，则 DE 的长为________.
【答案】 6
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： ∵△ABD≌△ACE
∴BD=CE
∵BC=12 ， BD=3
∴DE=BC−BD−EC=12−3−3=6
故答案为：6.
【分析】由全等三角形的对应边相等可得BD=CE，然后根据线段的构成可求解.
12. ( 4分 ) 一个三角形的三条边长分别为 5 ， 7 ，x，另一个三角形的三条边长分别为y， 5 ， 3 ，若这两个三角形全等，则 x+y= ________.
【答案】 10
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，一个三角形的三条边长分别为5，7，x，另一个三角形的三条边长分别为y，5， 3 ，
∴x＝3，y＝7，
∴x＋y＝10，
故答案为：10.
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得x＝3，y＝7，据此可求得x+y的值.
13. ( 4分 ) 如图，已知△ABC≌△DEF，则DE=________.
【答案】 4
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF
∴DE=AB=4.
故答案为：4.
【分析】根据全等三角形的对应边相等可知DE=AB=4.
14. ( 4分 ) 如图， BD 是 ∠ABC 的角平分线， DE⊥AB 于 E ， ΔABC 的面积是 30cm2,AB=18cm,BC=12cm ，则 DE= ________.
【答案】 2cm
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点D作 DF⊥BC ，垂足为点F
∵BD是∠ABC的角平分线， DE⊥AB
∴DE=DF
∵ ΔABC 的面积是 30cm2,AB=18cm,BC=12cm
∴ S△ABC=12·DE·AB+12·DF·BC
即 12×18×DE+12×12×DE=30
∴DE=2cm
故答案为：2cm.
【分析】过点D作DF⊥BC，垂足为点F，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，再由S△ABC=12DE·AB+12DF·BC可得关于DE的方程，解方程可求解.
15. ( 4分 ) 在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=10,AD平分∠BAC交BC于点D,且BD∶CD=3∶2,则点D到线段AB的距离为________.
【答案】 4
【考点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，

∵BD∶CD=3∶2，BC=10,
设BD=3x，CD=2x
∴3x+2x=10
解之：x=2
∴CD=2×2=4.
∵AD平分∠BAC交BC于点D，∠C=90°，
∴AC⊥CD，
∴CD=DE=4.
故答案为：4.
【分析】利用已知条件求出CD的长；过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出DE的长.
16. ( 4分 ) 如图， ∠1=∠2 ，要使 △ABE≌△ACE ，还需添加一个条件是：________.（填上你认为适当的一个条件即可）
【答案】 BE=CE 或 ∠B=∠C 或 ∠BAE=∠CAE
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AEC，
∵AE为公共边，
∴根据“SAS”得到三角形全等，可添加BE=CE；根据“AAS”可添加∠B=∠C；根据“ASA”可添加∠BAE=∠CAE；
故答案为：BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE.
【分析】根据平角的概念可推出∠AEB=∠AEC，然后结合全等三角形的判定定理解答即可.
17. ( 4分 ) 如图，△ABC≌△DBE，△ABC的周长为30，AB=9，BE=8，则AC的长是________
【答案】 13
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ △ABC≌△DBE
∴BC=BE
∵ AB=9，BE=8 ， △ABC的周长为30
∴AC=30-9-8=13
故答案是：13
【分析】由全等三角形可得出对应边相等，再有三角形周长是三条边之和可得出AC的结果.
18. ( 4分 ) 如图， △ABC 与 △AEF 中，AB=AE ， BC=EF ， ∠B=∠E ， AB交EF于D ． 给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DF=CF；③FA是∠DFC的平分线；④∠BFD=∠CAF ． 其中正确的结论是：________（填写所有正确结论的序号）．
【答案】 ①③④
【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定，角平分线的性质
【解析】【解答】在 △ABC 和 △AEF 中， {AB=AE∠B=∠EBC=EF ，
∴△ABC≅△AEF(SAS) ，
∴AC=AF,∠AFE=∠C ，
∴∠AFC=∠C ，则结论①符合题意；
∴∠AFE=∠AFC ，
∴FA 是 ∠DFC 的平分线，则结论③符合题意；
由三角形的外角性质得： ∠AFB=∠C+∠CAF ，
又 ∵∠AFB=∠AFE+∠BFD=∠C+∠BFD ，
∴∠BFD=∠CAF ，则结论④符合题意；
假设 DF=CF ，
在 △ACF 和 △ADF 中， {CF=DF∠AFC=∠AFDAF=AF ，
∴△ACF≅△ADF(SAS) ，
∴∠CAF=∠DAF ，即AF是 ∠BAC 的角平分线，
∵ AF不一定是 ∠BAC 的角平分线，
∴ 假设不一定成立，则结论②不符合题意；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．

【分析】根据题意，证明△AEF≌△ABC，根据全等三角形的性质分别进行判断即可得到答案。
三、解答题
19. ( 7分 ) 如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C． 求证：∠A=∠D．
【答案】 解：∵BE=FC，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE；（SAS）∴∠A=∠D．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由BE=FC，根据等式的性质得出BF=CE，然后由SAS判断出△ABF≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等得出∠A=∠D．
20. ( 7分 ) 如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD=CB，DE=BF，求证：AF=CE．
【答案】 证明：∵DE=BF，∴DE+EF=BF+EF，即DF=BE，在Rt△ADF和Rt△CBE中， {DF=BEAD=CB ，∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），∴AF=CE
【考点】三角形全等及其性质，直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据等式的性质，由DE=BF，得出DF=BE，然后利用HL判断出Rt△ADF≌Rt△CBE，根据全等三角形对应边相等得出AF=CE。
21. ( 7分 ) 如图AB=AC，BD=CD，DE⊥BA，点E为垂足，DF⊥AC，点F为垂足，求证：DE=DF．
【答案】 证明：在△ABD和△ACD中， {AD=ADBD=CDAB=AC ，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥BA，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【解析】【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD，再根据全等三角形的性质，可证得∠BAD=∠CAD，然后根据角平分线的性质，可证得结论。
22. ( 7分 ) 如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F．∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFD的度数.
【答案】 解：∵∠ABC=40°，∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣40°﹣60°=80°，
∵∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，
∴∠BFD=∠FBC+∠FCB= 12 ∠ABC+ 12 ∠ACB=20°+40°=60°.
【考点】角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质可计算出∠BFD的度数。
23. ( 7分 ) 已知：如图，OF是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．
求证：AB=CD．
【答案】 ∵OF是∠AOC和∠BOD的平分线，
∴∠AOF=∠COF，∠BOF=∠DOF
∴∠AOB=∠COD
在△AOB和△COD中，
{OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD
∴△AOB △COD(SAS)
∴AB=CD
【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定
【解析】【分析】由OF是∠AOC和∠BOD的平分线，可得∠AOF=∠COF，∠BOF=∠DOF，则∠AOF-∠BOF =∠COF-∠DOF，即∠AOB=∠COD；又由OA=OC，OB=OD，根据全等三角形的判定定理“SAS”可得△AOB △COD，从而得AB=CD。
24. ( 8分 ) 证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，
求证：
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
【答案】 解：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：PD=PE．
故答案为：PD=PE．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在△PDO和△PEO中，
{∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP ，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD=PE．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题意画出图形。根据题设写出已知，根据结论写出求证，然后利用AAS证明△OPD≌△OPE，利用全等三角形的性质，可证得结论。
25. ( 15分 ) 如图
（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．
【答案】 （1）解：如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，{∠BDA=∠CEA∠CAE=∠ABDAB=AC ，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE
（2）解：如图2，∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
{∠BDA=∠CEA∠CAE=∠ABDAB=AC ，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE
（3）解：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵在△DBF和△EAF中，{BD=AE∠DBF=∠EAFBF=AF ，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的两个角以及一角的对边相等，可以证明△ADB≌△CEA（AAS），根据全等三角形的线段对应相同，即可证明DE=AE+AD=BD+CE。
（2）可设∠BDA=∠BAC=α，即可证得∠DBA=∠CAE；根据三角形的两个角以及一角的对边相等，可以证明△ADB≌△CEA（AAS），即可证明DE=AE+AD=BD+CE。
（3）根据（2）中求出的条件△ADB≌△CEA，可以求得∠DBF=∠FAE，根据三角形的两边相同及其夹角相等，可证明△DBF≌△EAF（SAS），根据三角形全等的性质，可以证明△DEF为等边三角形。