新教材适用2023_2024学年高中数学第8章立体几何初步8.5空间中直线平面的平行8.5.1直线与直线平行素养作业新人教A版必修第二册

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第8章　8.5　8.5.1A组·素养自测一、选择题1．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( B )A．全等 B．相似C．仅有一个角相等 D．无法判断[解析]　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似．2．在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝( D )A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]　如图所示，因为E，D，F分别为AB，PA，AC的中点，可得DE∥PB，EF∥BC，又因为PB⊥BC，所以DE⊥EF，所以∠DEF＝90°.故选D.3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( D )A．一定平行 B．一定相交C．一定异面 D．相交或异面[解析]　分别与两条异面直线平行的直线不可能平行，否则，由基本性质4可得原来的两条异面直线平行，与两直线异面矛盾．但可以相交或异面．4．如图，在三棱锥P－ABC中，E，F，G，H，I，J分别为线段PA，PB，PC，AB，BC，CA的中点，则下列说法正确的是( C )A．PH∥BG B．IE∥CPC．FH∥GJ D．GI∥JH[解析]　由题意结合三角形中位线的性质，可得FH∥PA，GJ∥PA，由平行公理可得FH∥GJ.5.如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( A )A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面[解析]　∵E，F为中点，∴EF∥PN，同理，HG∥PN，∴EF与HG平行．二、填空题6.如图，AA′是长方体ABCD－A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有 3　条．[解析]　∵四边形ABB′A′、ADD′A′均为长方形，∴AA′∥BB′，AA′∥DD′.又四边形BCC′B′为长方形，∴BB′∥CC′，∴AA′∥CC′.故与AA′平行的棱共有3条，它们分别是BB′，CC′，DD′.7．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)，则四边形EFGH形状为_梯形__.[解析]　如图在△ABD中，∵eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)，∴EH∥BD且EH＝eq \f(1,2)BD.在△BCD中，∵eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)，∴FG∥BD且FG＝eq \f(1,3)BD，∴EH∥FG且EH>FG，∴四边形EFGH为梯形．8．如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝ eq \f(1,3)m　.[解析]　连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，再连接MN，EF，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD.∴MN綉eq \f(2,3)EF，EF綉eq \f(1,2)BD.∴MN綉eq \f(1,3)BD.∴MN＝eq \f(1,3)m.三、解答题9.如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形．[证明]　(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq \f(1,2)AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四边形EFGH是平行四边形．(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝eq \f(1,2)BD.因为EF＝eq \f(1,2)AC，AC＝BD，所以EH＝EF.又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形．10．如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)，求证：直线EH与直线FG平行．[证明]　∵E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，又∵F、G分别是BC、CD上的点，且eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)，则FG∥BD，∴EH∥FG，故直线EH与直线FG平行．B组·素养提升一、选择题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是棱AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( C )A．相交 B．异面C．平行 D．垂直[解析]　如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.2．(多选题)下列四面体中，直线EF与MN不可能平行的是( ABD )[解析]　根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定A，B中EF，MN异面；C中直线EF与MN有可能平行；D中，若EF∥MN，则过EF的平面与底面相交，EF就跟交线平行，则过点N有两条直线与EF平行，不可能．故选ABD.3．(多选题)如图，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是( ABC )A．M，N，P，Q四点共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四边形MNPQ为梯形[解析]　由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；由三角形的中位线定理，知MQ綉eq \f(1,2)BD，NP綉eq \f(1,2)BD，所以MQ綉NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确．二、填空题4.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB∥CM；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为_①②__.[解析]　把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确．5．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；④若a，b与c成等角，则a∥b.其中正确的命题是_①__(填序号)．[解析]　由基本事实4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确．三、解答题6.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．[解析]　如图所示，在平面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.C组·探索创新已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、AD的中点，求证：∠DNM＝∠D1A1C1.[证明]　连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是棱CD，AD的中点，∴MN是三角形的中位线，∴MN∥AC，MN＝eq \f(1,2)AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝eq \f(1,2)A1C1，∴即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补，而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.