高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念精品同步测试题

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知识点01：任意角的三角函数定义
1、单位圆定义法：
如图,设 SKIPIF 1 < 0 是一个任意角, SKIPIF 1 < 0 ,它的终边 SKIPIF 1 < 0 与单位圆相交于点 SKIPIF 1 < 0
①正弦函数：把点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 的正弦函数,记作 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
②余弦函数：把点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 的余弦函数,记作 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
③正切函数：把点 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标与横坐标的比值 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 的正切,记作 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
【即学即练1】（2023春·北京·高一北京四中校考期中）已知角θ的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在单位圆上，根据三角函数值的定义， SKIPIF 1 < 0 的横坐标的值即为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2、终边上任意一点定义法：
在角 SKIPIF 1 < 0 终边上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，设原点到 SKIPIF 1 < 0 点的距离为 SKIPIF 1 < 0
①正弦函数： SKIPIF 1 < 0
②余弦函数： SKIPIF 1 < 0
③正切函数： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )
【即学即练2】（2023春·广西钦州·高一校考期中）若点 SKIPIF 1 < 0 在角 SKIPIF 1 < 0 的终边上，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /0.8
【详解】点 SKIPIF 1 < 0 在角 SKIPIF 1 < 0 的终边上，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
知识点02：三角函数值在各象限的符号
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”
）
知识点03：特殊的三角函数值
知识点04：诱导公式一
(1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.
(2)式子表示:
① SKIPIF 1 < 0
② SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 .
知识点05：三角函数线
设 SKIPIF 1 < 0 角的终边与单位圆相交点 SKIPIF 1 < 0 ；④由点 SKIPIF 1 < 0 向 SKIPIF 1 < 0 轴做垂线，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ；⑤由点 SKIPIF 1 < 0 作单位圆的切线与终边相交于点 SKIPIF 1 < 0 。如下图所示：
在 SKIPIF 1 < 0 中：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为正弦线，长度为正弦值。
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为余弦线，长度为余弦值。
在 SKIPIF 1 < 0 中： SKIPIF 1 < 0 。
SKIPIF 1 < 0 为正切线，长度为正切值。
题型01利用三角函数的定义求三角函数值
【典例1】（2023春·陕西西安·高一校考阶段练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点在原点，始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在单位圆上即 SKIPIF 1 < 0
终边在第三象限所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的终边与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
【典例3】（2023·浙江嘉兴·高一统考期末）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的顶点与原点 SKIPIF 1 < 0 重合，它的始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴重合，终边 SKIPIF 1 < 0 交单位圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题意，角 SKIPIF 1 < 0 的顶点与原点 SKIPIF 1 < 0 重合，它的始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴重合，终边 SKIPIF 1 < 0 交单位圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角函数的定义可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【变式1】（2023春·湖南·高二统考学业考试）设角 SKIPIF 1 < 0 的终边与单位圆的交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】C
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
【变式2】（2023·福建泉州·高一统考期末）已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若 SKIPIF 1 < 0 的终边与圆心在原点的单位圆交于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 在单位圆上，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
题型02由终边或终边上点求三角函数值
【典例1】（2023秋·云南大理·高二大理白族自治州民族中学校考开学考试）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边落在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
则 SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点），
根据正弦函数的定义得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以选项D正确，选项A，B，C错误，
故选：D.
【典例2】（多选）（2023秋·江西赣州·高二江西省全南中学校考开学考试）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 的值可能为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：CD.
【典例3】（2023春·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【详解】由角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023春·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）若角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到原点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【变式2】（多选）（2023春·江西萍乡·高一统考期中）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】由题知，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在第三象限，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：BD.
【变式3】（2023秋·北京·高三北京市第六十六中学校考开学考试）若 SKIPIF 1 < 0 的终边所在射线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 的终边所在射线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
题型03由三角函数值求终边上的点或参数
【典例1】（2023·全国·高一假期作业）角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则b的值为（ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．5
【答案】B
【详解】根据三角函数定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数m取值为 ．
【答案】0或 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为角 SKIPIF 1 < 0 的终边上有一点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：0或 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023秋·高一课时练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边上一点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 值.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】解：依题意有： SKIPIF 1 < 0 即： SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·上海·高一专题练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由三角函数的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
故选：A
【变式2】（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考阶段练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意，根据余弦函数的定义，可得 SKIPIF 1 < 0 .
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023春·广西钦州·高一校考期中）已知点 SKIPIF 1 < 0 角 SKIPIF 1 < 0 的终边上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求m， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】根据三角函数定义 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
题型04三角函数值符号的运用
【典例1】（2023·全国·高一假期作业）求 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【典例2】（2023春·贵州毕节·高一校考期中）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是第四象限角.
故选:D.
【典例3】（2023·全国·高一专题练习） SKIPIF 1 < 0 所有可能取值的集合为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得角 SKIPIF 1 < 0 的终边不在坐标轴上，
当角 SKIPIF 1 < 0 的终边在第一象限，则原式 SKIPIF 1 < 0 ，
当角 SKIPIF 1 < 0 的终边在第二象限，则原式 SKIPIF 1 < 0 ，
当角 SKIPIF 1 < 0 的终边在第三象限，则原式 SKIPIF 1 < 0 ，
当角 SKIPIF 1 < 0 的终边在第四象限，则原式 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 所有可能取值的集合为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则点P所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】因为1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P所在象限为第四象限.
故选：D.
【变式2】（2023春·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 是第三象限的点，则 SKIPIF 1 < 0 的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】∵点 SKIPIF 1 < 0 是第三象限的点，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴；
由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 的终边位于第一象限或第三象限，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的终边位于第三象限．
故选:C
【变式3】（2023秋·高一课时练习）点 SKIPIF 1 < 0 位于第 象限．
【答案】四
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，
则 SKIPIF 1 < 0 .
则点 SKIPIF 1 < 0 位于第四象限．
故答案为：四
题型05画三角函数线
【典例1】（2023春·山东威海·高一校考阶段练习）不等式 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的解集为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图所示，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·高一课时练习）利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：
(1) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）分别作出三角函数线图象如下所示：

由图（1）知当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，
角 SKIPIF 1 < 0 满足的集合 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由图（2）知：当 SKIPIF 1 < 0 时，
角 SKIPIF 1 < 0 满足的集合 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）使 SKIPIF 1 < 0 成立的x的一个变化区间是（ ）
A．[ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ]B．[ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ]
C．[ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ]D．[0， SKIPIF 1 < 0 ]
【答案】A
【详解】当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足 SKIPIF 1 < 0 ．

故选：A
【变式2】（2023·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图，作出单位圆中的三角函数线，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023·高一课时练习）利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解 （1） 作出如图所示的图形，则根据图形可得
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）作出如图所示的图形，则根据图形可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）作出如图所示的图形，则根据图形可得 SKIPIF 1 < 0 ．
题型06三角函数线的应用
【典例1】（2023秋·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个内角，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，作角 SKIPIF 1 < 0 的正切线 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示.由图可得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，试证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，试比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）如下单位圆中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 与单位圆切于 SKIPIF 1 < 0 点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 扇形 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .

（2）作单位圆如下图， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .

【变式1】（2023·高一课时练习）如图，已知点 SKIPIF 1 < 0 是单位圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，角 SKIPIF 1 < 0 的终边与单位圆的交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作单位圆的切线交角 SKIPIF 1 < 0 的终边于 SKIPIF 1 < 0 ，则角 SKIPIF 1 < 0 的正弦线、余弦线、正切线分别是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以角 SKIPIF 1 < 0 的正弦线、余弦线、正切线分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【变式2】（2023秋·高一课时练习）利用三角函数线,确定满足不等式 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 取值范围.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
【详解】解:作出以坐标原点为圆心的单位圆,分别作直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点M,直线 SKIPIF 1 < 0 与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,与x轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .在 SKIPIF 1 < 0 范围内, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别在角 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的终边上.又 SKIPIF 1 < 0 ,结合图形可知,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·广东佛山·高一校考期中）若角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果.
【详解】因为角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）角 SKIPIF 1 < 0 的终边上一点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】借助三角函数定义求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用定义 SKIPIF 1 < 0 可求答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．（2023秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点与原点 SKIPIF 1 < 0 重合，始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴重合，它的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4．（2023春·新疆·高一八一中学校考期中）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的终边在（ ）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上
D．第二、四象限或在x轴上
【答案】D
【分析】根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 是第四象限或x轴正半轴，结合角的表示方法，进求得 SKIPIF 1 < 0 所在的象限，得到答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是第一、四象限或x轴正半轴，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是二、四象限或x轴，
所以 SKIPIF 1 < 0 是第四象限或x轴正半轴，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在二象限或x轴负半轴；
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在四象限或x轴正半轴，
综上可得， SKIPIF 1 < 0 的终边在第二、四象限或在x轴上.
故选：D.
5．（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习） SKIPIF 1 < 0 的符号为（ ）
A．正B．0C．负D．无法确定
【答案】C
【分析】先判断所给角位于的象限，进而判断正负即可．
【详解】由1弧度为第一象限角，2弧度为第二象限角，3弧度为第二象限角，4弧度为第三象限角，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
6．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为始边，OP为终边，若 SKIPIF 1 < 0 ，则P所在的圆弧是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段 SKIPIF 1 < 0 为余弦线，有向线段 SKIPIF 1 < 0 为正弦线，有向线段 SKIPIF 1 < 0 为正切线.
A选项：当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故A选项错误；
B选项：当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故B选项错误；
C选项：当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故C选项正确；
D选项：点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上且 SKIPIF 1 < 0 在第三象限， SKIPIF 1 < 0 ，故D选项错误.
综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到 SKIPIF 1 < 0 所对应的三角函数线进行比较.
7．（2023·全国·高一假期作业）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线 SKIPIF 1 < 0 与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】当质点Q与P第二次相遇时，质点Q比P多旋转 SKIPIF 1 < 0 ，解方程确定质点Q所在终边，求坐标.
【详解】设当质点Q与P第二次相遇时，用了时间 SKIPIF 1 < 0 ，依题意有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时质点Q转过角度为 SKIPIF 1 < 0 ，因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q转在 SKIPIF 1 < 0 角的终边上，圆的半径为1，Q的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
8．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高一巴彦淖尔中学校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）的图像恒过点P，若点 SKIPIF 1 < 0 是角 SKIPIF 1 < 0 终边上的一点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据对数型函数过定点求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角函数的定义求解即可.
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）的图像恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴由三角函数定义得 SKIPIF 1 < 0
故选：D
二、多选题
9．（2023春·四川眉山·高一校考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】BC
【分析】根据余弦值的正负确定角 SKIPIF 1 < 0 所在象限即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 可能是第二、三象限角.
故选：BC.
10．（2023·全国·高二专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 是第四象限角，则点 SKIPIF 1 < 0 在第（ ）象限.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】CD
【分析】根据给定条件确定 SKIPIF 1 < 0 角的范围，再确定 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 符号，即可判断作答.
【详解】因 SKIPIF 1 < 0 是第四象限角，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当k是奇数时， SKIPIF 1 < 0 是第二象限角， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在第三象限，
当k是偶数时， SKIPIF 1 < 0 是第四象限角， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在第四象限，
所以点 SKIPIF 1 < 0 在第三或四象限.
故选：CD
三、填空题
11．（2023秋·福建漳州·高三校考阶段练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边上一点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则角 SKIPIF 1 < 0 的最小正值为
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据坐标值符号确定 SKIPIF 1 < 0 所在象限，由三角函数定义求 SKIPIF 1 < 0 ，最后确定其对应的最小正角.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以角α的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，知 SKIPIF 1 < 0 ，故角α的最小正值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．（2023·高一课时练习）如果 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，则 SKIPIF 1 < 0 的符号为 （选填“正”或“负”）．
【答案】负
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得答案.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：负.
四、解答题
13．（2023·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，试判断 SKIPIF 1 < 0 的符号．
【答案】负
【分析】分 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 讨论即可求解.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意.
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的符号为负.
14．（2023·全国·高一随堂练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ,,试判断角 SKIPIF 1 < 0 所在的象限.
【答案】第三象限
【解析】化简得到 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，讨论得到答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 为第二象限或第三象限或终边在x轴负半轴上的角
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 为第三象限或第四象限或终边在y轴负半轴上的角
综上所述： SKIPIF 1 < 0 为第三象限的角.
【点睛】本题考查了角的象限问题，意在考查学生的计算能力.
15．（2023秋·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可能为第几象限的角？分别求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】答案见解析
【分析】根据余弦值的符号判断角所在象限，讨论 SKIPIF 1 < 0 所在象限，应用同角三角函数的关系求正弦、正切值即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可能是第二象限或者第三象限角，
若 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 可能是第二象限或者第三象限角，
若是第二象限角， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
若是第三象限角， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
16．（2023春·高一课时练习）利用三角函数线，说明当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】证明见详解
【分析】由正弦线及 SKIPIF 1 < 0 面积即可求证.
【详解】证明：如图：

在直角坐标系中作出单位圆， SKIPIF 1 < 0 的终边与单位圆交于P，
SKIPIF 1 < 0 的正弦线为有向线段MP，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】结合三角函数定义与单位圆数形结合求解即可；
【详解】如下图示，在单位圆中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，且 SKIPIF 1 < 0 ，

所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
扇形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
由图知： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2．（2023春·福建莆田·高一莆田一中校考阶段练习）在直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的始边为 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴，顶点为坐标原点 SKIPIF 1 < 0 ，已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边 SKIPIF 1 < 0 与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕原点逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0.6B．0.8C．-0.6D．-0.8
【答案】B
【详解】解：已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边 SKIPIF 1 < 0 与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在第四象限，角 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，
SKIPIF 1 < 0 绕原点逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
可知点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】本题考查单位圆中任意角的三角函数的定义的应用以及运用诱导公式化简，考查计算能力.
3．（多选）（2023春·辽宁大连·高一阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的图象经过定点 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在角 SKIPIF 1 < 0 的终边上，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】根据题意可知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过定点 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
当点 SKIPIF 1 < 0 在角 SKIPIF 1 < 0 的终边上，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 在角 SKIPIF 1 < 0 的终边上，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023春·四川宜宾·高一宜宾市叙州区第一中学校校考阶段练习）已知角 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 在第四象限，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
课程标准
学习目标
①理解结合单位圆定义三角函数的意
义。
②结合任意角终边与单位圆的交点会求任意角的正弦、余弦、正切值。
③根据任意角终边所在象限的位置，会判断任意角三角函数值的符号。
1.掌握三角函数的定义；
2会求任意角的三个三角函数值；
3.能准确判断任意角的三角函数值的符号；
角度 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
弧度 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
正弦值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
余弦值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
正切值 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0