专题09 因式分解之八大题型-【备考期末】2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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判断是否是因式分解
例题：（2023下·陕西宝鸡·七年级校联考期末）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、，故该选项符合题意；
B、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式（含有分式），不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解，这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
【变式训练】
1．（2023下·浙江温州·七年级校考期末）下列变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、中，是整式乘法，故本选项不符合题意；
B、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
C、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【详解】A、，从左到右的变形是因式分解，故此选项符合题意；
B、，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、，从左到右的变形，是乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键．
已知因式分解的结果求参数
例题：（2023下·河北保定·八年级保定十三中校考期末）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式的法则和等式右边展开，根据同类项即可求出的值，由此即可求解．
【详解】解：，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解与多项式乘法的关系，正确计算出等式右边展开的结果是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·安徽合肥·七年级统考期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ．
【答案】9
【分析】把展开，求出、的值，计算即可．
【详解】解：，
，
，，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算．
2．（2023上·河南开封·八年级校考期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
【答案】，
【分析】设另一根因式为，可得，再建立方程组，再解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵二次三项式有一个因式是，
∴设另一根因式为，
∴，
∴，解得：，
∴另一根因式为：．
【点睛】本题考查的是因式分解的含义，二元一次方程组的解法，熟练的利用待定系数法建立方程组是解本题的关键．
公因式
例题：（2023上·福建厦门·八年级校考期末）单项式与的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．
【详解】解：单项式与单项式的公因式是．
故选：A．
【点睛】此题考查公因式，掌握由几个单项式的各系数最大公约数与各相同字母最小次幂的乘积，组成的式子叫这几个单项式的公因式是解决此题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·辽宁锦州·八年级统考期末）多项式各项的公因式是 ．
【答案】
【分析】根据公因式的定义即可得出答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了公因式，掌握多项式中，各项都含有一个公共的因式，因式叫做这个多项式各项的公因式是解题的关键．
2．（2023下·江西景德镇·八年级统考期末）对多项式分解因式时，应提取的公因式是 ．
【答案】/
【分析】公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．
【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键．一个多项式的各项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式．
提公因式法分解因式
例题：（2023上·吉林长春·八年级统考期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】根据提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·广东清远·八年级统考期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】提公因式进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键．
2．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）若，，则 ．
【答案】
【分析】先将所求式子因式分解，再代值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解、代数式求值，熟练掌握提公因式法分解因式是解答的关键．
综合提公因式法和公式法分解因式
例题：（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）将下列各式分解因式：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式，掌握平方差公式和完全平方公式．
【变式训练】
1．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）分解因式：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式2，再用平方差公式进行因式分解即可；
（2）将看做一个整体，利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
2．（2023下·江苏盐城·七年级统考期中）分解因式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用提公因式法及平方差公式，即可分解因式；
（2）利用提公因式法及完全平方公式，即可分解因式；
（3）利用完全平方公式及平方差公式，即可分解因式．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．
十字相乘法分解因式
例题：（2023下·四川达州·八年级校考期末）将多项式分解因式后正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
【变式训练】
1．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）阅读与思考
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：．
(2)分解因式：．
(3)若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．
【答案】(1)
(2)
(3)整数p的值可能为5或﹣5或1或﹣1
【分析】（1）利用“十字相乘法”即可求解；
（2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解；
（3）将常数进行分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
（3）解：∵，
∴或或或
因此整数p的值可能为5或或1或．
【点睛】本题考查了提公因式法、“十字相乘法”进行因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
2．（2023下·广西崇左·七年级统考期中）阅读理解题
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，
基本式子为：，
例如：分解因式，，，
按此排列： 交叉相乘，乘积相加等于，
得到，这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)先分解因式，再求值：，其中．
【答案】(1)
(2)，45
【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；
（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．
【详解】（1）解：；
（2）
当时，原式．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
分组分解法分解因式
例题：（2023下·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1） （2）
【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：
探究1：分解因式：（1）
分析：甲发现该多项式前两项有公因式，后两项有公因式，分别把它们提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．
解：
另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式，第一项和第三项含有公因式，把，提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．
解：
探究2：分解因式：（2）
分析：甲发现先将看作一组应用平方差公式，其余两项看作一组，提出公因式6，则可继续再提出因式，从而达到分解因式的目的．
解：
【方法总结】：对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法：
【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题；
（1）分解因式：；
（2）分解因式：；
【拓展提升】：
（3）分解因式：．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）把前面两个和后面两个分别组成两组，提公因式后再利用平方差公式继续分解；
（2）把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可；
（3）把15分解成，再把前面三个和后面一个组成两组，利用公式分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】解答本题的关键是注意用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式．
【变式训练】
1．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
分成两组
分别分解
提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是______．
①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
①______．
②______．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
【答案】(1)
(2)①，②；
(3)
【分析】(1)根据阅读材料解答即可；
(2)运用分组分解法直接作答即可；
(3)运用分组分解法直接作答即可．
【详解】（1）解：从材料可知：“分组”的目的是：
①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解；
故正确的序号是，
故答案为：；
（2）解：①，
②，
故答案为：①，②；
（3）解：
【点睛】本题考查了因式分解，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解答本题的关键．
因式分解的应用
例题：（2023下·辽宁丹东·八年级统考期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】将进行变形得，根据完全平方公式得，即可得，即可得．
【详解】解：，
，
，
，
，，，
，，，
∴，
∴三角形为等边三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解，完全平方公式，等边三角形的判定，解题的关键是掌握因式分解，完全平方公式，等边三角形的判定．
【变式训练】
1．（2023下·四川达州·八年级校考期末）已知a、b是的两边，且满足，则的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【分析】依据题意，由得，再进行适当变形得，结合三角形两边之和大于第三边，有，从而可以得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
2．（2023下·陕西榆林·八年级校考期末）我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①用分组分解法：；
②用拆项法：；
(2)已知：，，为的三条边，，求的周长．
【答案】(1)①，见解析；②，见解析
(2)
【分析】（1）①仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式；
②仿照例题的方法，根据拆项法分解因式；
（2）仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式，根据非负数的性质，求得的值，即可求解．
【详解】（1）①；
②
（2），，为的三条边，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴的周长为．
【点睛】本题考查了因式分解以及因式分解的应用，仿照例题的方法因式分解是解题的关键．
一、单选题
1．（2023下·云南昭通·八年级校联考期末）在多项式中，各项的公因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据多项式的公因式来进行求解即可．
【详解】解： ，
是多项式中各项的公因式．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多项式的公因式，理解多项式的公因式是解答关键．
2．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可．
【详解】A、，因式分解错误，该选项不符合题意；
B、因式分解正确，该选项符合题意；
C、，因式分解错误，该选项不符合题意；
D、，因式分解错误，该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查因式分解，牢记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解）和方法（提公因式法和公式法）是解题的关键．
3．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）如果，则k应为（ ）
A．B．3C．7D．
【答案】D
【分析】先利用整式乘法化简等式的左边代数式，再根据对应系数相等求解k值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，熟知因式分解和整式乘法是互为逆运算是解答的关键．
4．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：A.是完全平方公式因式分解，不合题意；
B.不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
C.，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
5．（2023下·安徽宿州·八年级校考期末）已知的三边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】依据题意，由得，从而，由两边之和大于第三边可得，即，进而，故可得解．
【详解】解：由题意，∵，
∴．
∴．
又∵，即，
∴，即．
∴是等腰三角形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时需要熟练掌握并能理解．
二、填空题
6．（2023上·河南许昌·八年级统考期末）因式分解：
【答案】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，熟记平方差公式，熟练掌握因式分解的方法步骤是解答的关键．
7．（2023上·山东淄博·八年级统考期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】直接利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查利用十字相乘法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
8．（2023下·湖南邵阳·七年级统考期末）若，，则多项式的值是 ．
【答案】
【分析】先对多项式因式分解，再代入计算即可得到答案．
【详解】解：
，
，，
原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解、代数式求值，利用整体代入的思想，熟练掌握提公因式法分解因式是解题关键．
9．（2023上·湖北荆州·八年级统考期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为 ．
【答案】
【分析】根据题意分别运算和，确定、的值，然后进行因式分解即可．
【详解】解：∵甲看错了，分解结果为，
∴由，可知 ，
又∵乙看错了，分解结果为，
∴由，可知，
∴，
∵，
∴正确的分解结果为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出、的值．
10．（2023下·四川达州·八年级统考期末）∵，∴，这说明能被整除，即或是的一个因式．另外，当即时，多项式的值为0；当即时，多项式的值为0．若能被整除，则k的值是 ．
【答案】2
【分析】根据题意可知，当时，由此求解即可．
【详解】解：∵能被整除，
∴当时，，即此时，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键．
三、解答题
11．（2023下·四川达州·八年级校考期末）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2023下·四川达州·八年级校考期末）因式分解：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答；
（2）利用完全平方公式进行分解，即可解答．
【详解】（1）解：

；
（2）解：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
13．（2023下·四川达州·八年级校考期末）（1）因式分解：；
（2）若，．求的值．
【答案】（1）；（2）4.5
【分析】（1）先利用平方差公式分解因式，再利用提取公因式分解因式即可；
（2）先提取，然后分解因式，再整体代入求值即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是熟练掌握利用公式法、提取公因式法分解因式．
14．（2023下·江西景德镇·八年级统考期末）阅读下列分解因式的过程：．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)三边满足，判断的形状
【答案】(1)
(2)是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）运用完全平方公式分解，再运用平方差公式进行分解即可；
（2）运用乘法公式进行分组分解法分解因式即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：，
因式分解为：，
，
，
，即，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查因式分解的知识，掌握乘法公式的运用，因式分解的方法是解题的关键．
15．（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务．
生活中我们经常用到密码，例如用支付宝或微信支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：可以因式分解为，当时，，，，此时可以得到数字密码283031．
任务：
(1)根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？
(2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式分解因式后得到的密码（只需一个即可）．
【答案】(1)可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015
(2)24121（或12124）
【分析】（1）先将进行因式分解，再根据题意代入，计算，即可求解；
（2）根据勾股定理和三角形周长公式得，解得，再将多项式分解因式后，代入，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：，
当，时，，，
可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015．
（2）由题意得：，解得，
而，
所以可得数字密码为24121（或12124）．
【点睛】本题考查因式分解和因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法以及题目中数字密码的计算方法．
16．（2023下·辽宁锦州·八年级统考期末）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释如图，有足够多的A，B，C三种纸片：A种是边长为的正方形，B种是边长为的正方形，C种是宽为，长为的长方形．用A种纸片张，B种纸片张，C种纸片张可以拼出（不重不漏）如图所示的正方形．根据正方形的面积，可以用来解释整式乘法，反过来也可以解释多项式，因式分解的结果为，依据上述积累的数与形对应关系的经验，解答下列问题：

(1)若多项式表示分别由，，张A，B，C三种纸片拼出如图所示的大长方形的面积，请根据图形求出这个长方形的长和宽，并对多项式进行因式分解；
(2)我们可以借助图再拼出一个更长方形，使该长方形刚好由张A种纸片，张B种纸片，张C种纸片拼成，那么这个长方形的面积可以表示为多项式______，据此可得到该多项式因式分解的结果为______．
【答案】(1)长是，宽是，因式分解结果是
(2)，
【分析】（1）根据，，三种纸片的边长即可求出图2中长方形的长和宽，根据长方形的面积等于长乘宽即可进行因式分解；
（2）根据长方形由3张种纸片，2张种纸片，7张种纸片拼成，即可求出这个长方形的面积，然后进行因式分解即可．
【详解】（1）解：根据图形可知这个长方形的长是，宽是，
；
（2）根据长方形刚好由3张种纸片，2张种纸片，7张种纸片拼成，
则这个长方形的面积可以表示为多项式，
，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，利用数形结合思想与长方形的面积解答是解题的关键．
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，则，
即，∴，解得．
故另一个因式为，m的值为．
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
得．
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”．
例如：将式子分解因式．
解：.