专题02 因式分解-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（广东专用）

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判断是否为因式分解
1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是 （ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24八年级上·广东东莞·期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（22-23八年级下·广东深圳·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（22-23八年级下·广东深圳·期末）下列从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
公因式
6．（18-19八年级下·广东佛山·期末）多项式与的公因式是( )
A．B．C．D．
7．（18-19八年级上·广东潮州·期末）多项式8m2n+2mn的公因式是（ ）
A．2mnB．mnC．2D．8m2n
8．（20-21八年级下·广东梅州·期末）多项式的公因式是（ ）
A．B．C．2D．
9．（23-24八年级下·广东河源·期末）多项式与的公因式是 ．
10．（19-20八年级上·广东广州·期末）多项式与多项式的公因式分别是 .
提公因式法因式分解
11．（23-24八年级下·广东佛山·期末）将因式分解的结果是（ ）
A．B．C．D．
12．（23-24八年级上·广东广州·期末）将分解因式的结果是 ．
13．（23-24八年级上·广东中山·期末）分解因式: ．
14．（22-23八年级下·广东揭阳·期末）分解因式： ．
15．（22-23八年级上·广东湛江·期末）因式分解：（1） ，（2） ．
公式法因式分解
16．（22-23八年级上·广东韶关·期末）分解因式：（ ）
A．B．
C．D．
17．（23-24八年级上·广东东莞·期末）下面各整式能直接运用完全平方公式分解因式的为（ ）
A． B．
C． D．
18．（22-23八年级上·广东云浮·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
19．（23-24八年级上·广东东莞·期末）分解因式：
（1） ；
（2） ．
20．（22-23八年级下·广东·期末）学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：
例：因式分解：．
解：设，则原式…………第一步
……………………………………………………第二步
……………………………………………………… 第三步
…………………………………………………第四步
完成下列任务：
(1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）
①提取公因式； ②平方差公式；
③两数和的完全平方公式； ④两数差的完全平方公式．
(2)请你模仿以上例题分解因式：．
提公因式和公式法因式分解问题
21．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
22．（23-24八年级下·广东茂名·期末）因式分解：
(1)；
(2)；
23．（23-24八年级上·广东东莞·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
24．（23-24八年级上·广东深圳·期末）分解因式：
(1)；
(2)．
25．（21-22八年级上·广东肇庆·期末）因式分解：
(1)
(2)
十字相乘法因式分解
26．（21-22八年级上·广东广州·期末）若，则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝－3，q＝4C．p＝3，q＝－4D．p＝－3，q＝－4
27．（22-23八年级上·广东广州·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
28．（23-24八年级上·广东珠海·期末）在数学学习中，是常见的一类多项式，对这类多项式常采用十字相乘法和配方法来进行因式分解．请阅读材料，按要求回答问题．
(1)按照材料一提供的方法分解因式：；
(2)按照材料二提供的方法分解因式：．
29．（21-22八年级上·广东惠州·期末）结合图，观察下列式子：
于是有：．
(1)填空：因式分解（ ）（ ）；
(2)化简：；
(3)化简：．
30．（17-18八年级·广东珠海·期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，
①；
②．
材料2：因式分解：．
解：将“”看成一个整体，令，则原式，
再将“A”还原，得：原式．
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：；
②分解因式：．
分组分解法因式分解
31．（22-23八年级下·广东深圳·期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法．
请解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由，
32．（22-23八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式用上述方法无法分解，如，由于此式子前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，故可分解如下：
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边满足，判断的形状并说明理由．
33．（22-23八年级上·广东江门·期末）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边a，b，c满足，判断的形状并说明理由．
34．（21-22八年级下·广东揭阳·期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)分解因式：①；②；
(2)已知的三边a，b，c满足，试判断的形状．
35．（21-22八年级上·广东广州·期末）常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x2＋2xy＋y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x2＋2xy＋y2﹣16＝（x＋y）2﹣42＝（x＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：
(1)分解因式：2a2﹣8a＋8；
(2)请尝试用上面的方法分解因式：x2﹣y2＋3x﹣3y；
(3)若△ABC的三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．
因式分解的应用
36．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知a，b，c为的三边， 且满足则是 三角形．
37．（23-24八年级下·广东茂名·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．

(1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______（直接列出等式即可）；
(2)若，，求的值；
(3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形．
38．（23-24八年级下·广东河源·期末）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题．
例如：
．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是．
请用配方法解答下列问题：
(1)用配方法分解因式：；
(2)已知，求的值．
(3)当x取何值时，有最小值？最小值是多少？
39．（23-24八年级上·广东汕头·期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
即：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)已知，，是的三边长，且满足，求的最长边的取值范围；
(3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
40．（23-24八年级上·广东汕头·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；
（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．
因式分解的新定义
41．（20-21八年级上·广东广州·期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，但诸如“123456”．生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，例如多项式：x3＋2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x＋1）（x＋2），当x＝18时，x﹣1＝17，x＋1＝19，x＋2＝20，此时可以得到数字密码：171920，191720，201719等．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（只需写出其中2个）
（2）若多项式x3＋（m＋n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值；
（3）若关于x的方程﹣＝无解，求k的值．
42．（23-24八年级上·广东云浮·期末）下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________．
(2)由平方的非负性可知有最小值，则最小值为__________．
(3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解．
43．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
(1)求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）．
(2)图1，图2中空白部分面积分别为、，求值．
(3)图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含、的整式乘积的形式：
①．
②．
44．（23-24八年级上·广东中山·期末）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组， 从而得到，这时中又有公因式，于是可以提出，即， 我们称这种方法为分组法． 请你利用分组法解答下列问题：
(1)解决问题：分解因式 ．
(2)拓展运用: 已知a，b，c是的三边，且满足 ，请判断的形状并说明理由．
45．（21-22八年级下·广东揭阳·期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：，
解：原式
②，利用配方法求的最小值，
解：
∵，
∴当时，有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______．
(2)用配方法因式分解：．
(3)若，求的最小值．
(4)已知，则的值为______．
材料一：分解因式：
解：
材料二：分解因式：
解：原式
在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小林同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程．
解：设．
原式