专题10 分式与分式的基本性质之十大题型-【备考期末】2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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分式的判断
例题：（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）下列各式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【详解】解：A、C、D的分母中不含有字母，不满足分式的定义；
B、分母中含有字母，满足分式的定义；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级统考期末）下列代数式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的定义，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：只有，分母中含有字母，是分式，
故选C．
【点睛】本题考查分式的识别．熟练掌握形如，中含有字母，这样的式子叫做分式，是解题的关键．
2．（2023下·宁夏银川·八年级校考期末）下列各式：；；；；．其中分式共有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】首先判断一个式子是否是分式，关键要看分母中是否含有未知数，然后对分式的个数进行判断．
【详解】解：分母中含有未知数的有：，共有2个分式．
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
分式有意义、无意义的条件
例题：（2023下·河南南阳·八年级统考期末）分式有意义的条件是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的分母不能为0即可解答．
【详解】解：根据题意可知，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查分式有意义的条件．掌握分式的分母不能为0是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·福建厦门·八年级校考期末）若要使有意义，则满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件得，解之即可．
【详解】解：由题意，得，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
2．（2023下·江苏宿迁·八年级统考期末）若分式无意义，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式无意义的条件：分母等于0，即可进行解答．
【详解】解：∵分式无意义，
∴，解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件：分母等于0．
分式的值为0的条件
例题：（2023下·陕西咸阳·八年级统考期末）若分式的值为零，则x的值为 ．
【答案】1
【分析】根据分式值为零的条件，列式计算即可．
【详解】∵分式的值为0，
∴，
解得：．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟知分式值为零：分子为零分母不为零是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·湖北武汉·八年级校考期末）若分式，则x的值是( )
A．1B．－1C．D．0
【答案】B
【分析】根据若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0进行解答即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式为零的条件，掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可是解题的关键．
2．（2023下·四川达州·八年级校考期末）若分式的值为0，则的值为 .
【答案】
【分析】根据分式值为零的条件可得，且，再解即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
求分式值为正(负) 数时未知数的取值范围
例题：（2021上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分式值为负的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：∵＜0
∴x-2＜0，即．
故填：．
【点睛】本题主要考查了分式值为负的条件，根据分式小于零的条件列出不等式成为解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江大庆·八年级统考期末）已知分式的值为正数，则a的取值范围 ．
【答案】且
【分析】根据分式的值为正数，那么分子与分母的符号相同，结合分子大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为正数，，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，正确理解题意是解题的关键．
2．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期末）若分式的值为负数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
，
分式的值为负数，
，
，
的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解题的关键．
求使分式值为整数时未知数的整数值
例题：（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）已知n为整数，当 时，分式的值是整数．
【答案】或0或2或3
【分析】根据分式的值是整数，得出2能别整除，则或或1或2，求解即可．
【详解】解：∵分式的值是整数，
∴2能别整除，
∴或或1或2，
解得：或0或2或3，
故答案为：或0或2或3．
【点睛】本题主要考查了分式，解题的关键是根据整数的定义得出2能别整除．
【变式训练】
1．（2023下·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）使分式的值为整数的所有整数x的和为（ ）
A．8B．4C．0D．
【答案】B
【分析】由整除的性质可知，是7的因数，即可分别得出符合题意的值，再求和即可．
【详解】解：的值为整数，
为7的因数，
，或．
又为整数，
，或，或，或，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．
2．（2023下·江苏·八年级姜堰区实验初中校考期中）已知分式．
(1)若分式无意义，求x；
(2)若分式值为0，求x；
(3)若分式的值为整数，求整数x的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)或4或8
【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得，再解即可；
（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得，且，再解即可；
（3）分式值为整数，将分式变形为，再根据数的整除求解．
【详解】（1）解：∵分式无意义，
∴，
解得：或；
（2）∵分式值为0，
∴，
解得：；
（3）
∵分式的值为整数，
∴或5或或，
解得：或8或2或，
∵且，
∴整数x的值为或4或8．
【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件．
判断分式变形是否正确
例题：（2023上·云南红河·八年级统考期末）下列分式的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质作答．
【详解】A、，正确，故此选项符合题意；
B、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
C、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
D、，是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
【变式训练】
1．（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）下列计算中，错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质逐一作出判断．
【详解】解：A. ，故本选项运算错误；
B. ，故本选项运算正确；
C. ，故本选项运算正确；
D. ，故本选项运算正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
2．（2023下·山西运城·八年级统考期末）下列分式的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质依次判断即可．
【详解】A. ，故此选项不符合题意；
B.是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题；
C.是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
D.，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质和最简分式，分子分母不含公因式的分式叫做最简分式．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
利用分式的基本性质判断分式值的变化
例题：（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的9倍B．扩大为原来的3倍C．不变D．缩小为原来的
【答案】D
【分析】将m和n都扩大3倍进行计算，与原分式比较即可．
【详解】解：由题意得，，
∴分式的值缩小为原来的，
故选：D．
【点睛】此题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化，正确掌握分式的计算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）把分式中的x和y都扩大3倍，分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．扩大9倍
【答案】B
【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】解：都扩大3倍为3x，3y，
代入得．
故选择：B．
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
2．（2018·甘肃定西·八年级统考期末）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍B．扩大9倍C．不变D．扩大3倍
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质，将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，代入求解即可．
【详解】解：将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，可得，
即分式的值扩大为原来的倍
故选：B
【点睛】此题考查了分式的基本性质，积的乘方，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，正确求解．
最简分式
例题：（2023下·吉林长春·八年级统考期末）下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最简分式的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、该式子的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，不符合题意；
B、该式子的分子、分母中含有公因数，不是最简分式，不符合题意；
C、该式子的分子、分母中不含有除之外的其他公因式，是最简分式，符合题意；
D、该式子的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
【变式训练】
1．（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最简分式的概念判断即可．
【详解】解：、，不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
2．（2023下·重庆北碚·八年级统考期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的定义对四个分式分别进行判断即可．
【详解】解：A. ，该选项不是最简分式，故不符合题意；
B. ，该选项是最简分式，符合题意；
C. ，该选项不是最简分式，故不符合题意；
D. ，该选项不是最简分式，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了最简分式的定义，解题关键是理解最简分式的定义．
约分
例题：（2023下·江苏徐州·八年级统考期末）约分： ．
【答案】/
【分析】先确定分子分母的公因式，再根据分式基本性质约分即可．
【详解】解：．
故答案为．
【点睛】本题考查的是分式的约分，根据分式基本性质，把分子分母中的公因式约去，分式的值不变，这样的分式变形叫做约分．
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级统考期末）约分的结果是 ．
【答案】
【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式的约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
2．（2023下·山西太原·八年级统考期末）将分式化成最简分式的结果为 ．
【答案】
【分析】利用提公因式法把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
最简公分母
例题：（2023上·河南商丘·八年级统考期末）分式与的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：分式与的最简公分母是
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·山东菏泽·八年级统考期末），的最简公分母是 ．
【答案】/
【分析】先把分母因式分解，再根据确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
根据上述方法求出最简公分母．
【详解】解：∵，
，
∴，的最简公分母是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简公分母，先把分母因式分解，再根据确定最简公分母的方法是本题的解题方法．
2．（2023下·江西萍乡·八年级统考期末）分式：，，的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．
【详解】解：，，的最简公分母是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简公分母，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题的关键．
一、单选题
1．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）分式有意义，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分式有意义，分母不等于零，据此可求x的取值范围．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是熟记分式有意义的条件是分母不为零．
2．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如果把分式中的x，y同时扩大为原来的4倍，那么该分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．缩小为原来的C．扩大为原来的2倍D．不变
【答案】A
【分析】依题意分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：，
∴缩小为原来的，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
3．（2023下·河北保定·八年级保定十三中校考期末）在，，，，中，是分式的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【详解】解：在，，，，中，分式的是：，，
共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子（A、B都是整式），如果分母B中含有字母，那么式子叫分式．
4．（2023下·辽宁丹东·八年级统考期末）当时，对于分式的说法正确的是（ ）
A．分式的值为B．分式的值为C．分式无意义D．分式有意义
【答案】C
【分析】由题意，当时，分式的分母，根据分式有意义的条件即可解答．
【详解】解：由题意，当时，分式的分母，
分式无意义，
故选：．
【点睛】本题主要考查了分式的值，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．
5．（2023上·河南漯河·八年级校考期末）关于下列运算判断正确的是（ ）
① ② ③
④ ⑤ ⑥
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据整式以及分式的运算法则逐项计算即可判断．
【详解】解：①，正确；
②，原计算错误；
③，正确；
④，原计算错误；
⑤当时，才成立，原计算错误；
⑥，原计算错误．
综上，只有①③正确，共2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式以及分式的运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键．
6．（2023下·河北保定·八年级统考期末）下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．A为整数值时，
【答案】C
【分析】根据分式的性质逐项求解即可．
【详解】解：A、当时，，故选项错误，不符合题意；
B、当时，即，无解，故选项错误，不符合题意；
C、当时，
∴，故选项正确，符合题意；
D、A为整数值时，为整数值，
∴为整数值，
∴或或3或
∴解得或0或4或，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】题目主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题关键．
二、填空题
7．（2023下·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期末）约分： ．
【答案】
【分析】将分子分母的公因式约去即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的约分，解题的关键是掌握分式的约分步骤∶（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去．（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去．注∶公因式的提取方法∶系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式．
8．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）分式和的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】根据最简公分母的定义即各分母所有因式的最高次幂的积计算．
【详解】∵，
∴最简公分母是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简公分母，熟练掌握定义并灵活计算是解题的关键．
9．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）若分式的值为0，则y的值为 ．
【答案】/
【分析】根据分式的值为零的条件是且求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，即且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式值为零的条件，熟知分式值为零的等价条件是解答的关键．
10．（2023下·江苏南京·八年级校联考期末）若分式的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是 ．
【答案】12
【分析】将原分式中的x、y用、代替，化简，再与原分式进行比较即可．
【详解】将分式中x、y都扩大2倍后所得式子为
，
若分式的值为6，
则所得分式的值是．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子，分母变化的倍数．解此类题目首先把字母变化后的值带入式子中，然后约分，再与原式比较最终得出结论．
11．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）下列四个代数式1，，，，请从中任选两个整式，组成一个分式为 ．（只需写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据分式的定义求解即可．
【详解】解：根据分式定义，可以组成分式的有，，等，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查分式的定义，解答的关键是熟知分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
12．（2023上·四川凉山·八年级统考期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】由分式的值为正数，得到，，即可得到x的取值范围．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴，，
解得且，
即x的取值范围是且．
故答案为：且
【点睛】此题考查了分式的性质，熟练掌握两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键．
三、解答题
13．（2021上·山东泰安·八年级山东省泰安第十五中学校考阶段练习）请回答：
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1）；（2） ．
【分析】（1）由 ，得 ，代入代数式计算即可得到结论；
（2）设 ，则 ，，，代入代数式计算即可得到结论．
【详解】解：（1） 由 ，得 ，
∴ ；
（2）设 ，则 ，，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握求解的方法是解题的关键．
14．（2019下·河南平顶山·八年级统考期中）已知分式，回答下列问题．
（1）若分式无意义，求x的取值范围；
（2）若分式的值是零，求x的值；
（3）若分式的值是正数，求x的取值范围．
【答案】（1）x＝；（2）x＝1；（3）＜x＜1．
【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得2﹣3x＝0，再解即可；
（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，再解即可；
（3）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可．
【详解】解：（1）由题意得：2﹣3x＝0，
解得：x＝；
（2）由题意得：x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，
解得：x＝1；
（3）由题意得：①，
此不等式组无解；
②，
解得：＜x＜1．
∴分式的值是正数时，＜x＜1．
【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件．
15．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）已知三个整式，，．
(1)从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
(2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先找出两个整式的和，再看看能否分解因式即可；（2）先找出两个整式分别作为分式的分子与分母，再看看能否约分即可
【详解】（1）解：
或；
（2）解：或．
【点睛】本题考查了最简分式，因式分解，约分等知识点，能熟记完全平方公式和能正确约分是解此题的关键．
16．（2019上·河南许昌·八年级统考期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．
（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和是 ；
（2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
（3）若分式的值为整数，求整数x的值．
【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）x＝﹣2或0．
【分析】逆用同分母分式加减法法则，仿照题例做（1）（2）；（3）先把分式化为真分式，根据值为整数，x的值为整数确定x的值．
【详解】解：（1）＝
＝
故答案为：
（2）＝
＝﹣
＝2﹣；
（3）
＝
＝
＝x﹣1+，
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x+1＝±1，
∴x＝﹣2或0．
【点睛】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题例和题目给出的定义是解决问题的关键．