专题09 直线、射线、线段与角、余角、补角之十一大题型-【备考期末】2023-2024学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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两点确定一条直线
例题：（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．

【答案】两点确定一条直线
【分析】根据直线的性质解答即可．
【详解】解：这样做的依据是：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·山西太原·七年级校考期末）在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】直接利用直线的性质和线段的性质逐一分析，即可得到答案．
【详解】解：A、可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意，选项错误；
B、可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意，选项错误；
C、可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意，选项错误；
D、可以用“两点间线段最短”来解释，符合题意，选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了直线的性质和线段的性质，正确理解相关性质是解题关键．
2．（2023上·新疆和田·七年级和田市第三中学校考期末）木工师傅在锯木料时，先在木板上取出两点，然后弹出一条墨线，这是利用了 的原理
【答案】两点确定一条直线
【分析】依据两点确定一条直线来解答即可．
【详解】解：在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，此操作的利用了两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查的是直线的性质，掌握直线的性质是解题关键．
两点之间线段最短
例题：（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是： ，

【答案】两点之间线段最短
【分析】根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】解：依题意，为抄近路践踏草坪是因为两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·云南昆明·七年级统考期末）小敏从金马碧鸡坊去往云南民族村，打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，和（如图），能解释这一现象的数学知识是（ ）

A．两点之间，线段最短B．垂线段最短
C．两点之间，直线最短D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短，可得答案．
【详解】解：打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，和（如图），能解释这一现象的数学知识是 “两点之间，线段最短”，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
2．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，从A地到B地有三条路径，当人们希望路程越短越好时，往往选择线段，这里体现的数学基本事实是 ．

【答案】两点之间，线段最短
【分析】根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：在路径：，以及曲线路线中，最近，因为两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题的关键．
作图——画直线、射线、线段
例题：（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，平面上有四个点，，，．按要求完成下列问题：

(1)连结．
(2)画射线，射线与线段相交于点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据题意作图即可．
【详解】（1）解：如图：

（2）解：如图：

【点睛】本题考查了作图——射线，线段，熟练掌握射线，线段的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）如图，平面上有三点、、，请按照下列语句画出图形并作答．

(1)画直线，射线；
(2)连接，并延长至点，使，取的中点；
(3)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)11
【分析】（1）根据直线、射线的定义作图即可；
（2）按要求作图即可；
（3）先根据求出，再根据中点的定义求出，即可求解．
【详解】（1）解：图形如图所示：

（2）解：图形如图所示：

（3）解：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查直线，射线，中点的定义，线段的和差关系等，属于基础题，熟练掌握定义是解题的关键．
2．（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后再使用黑色字迹的签字笔描黑）：

(1)作射线；
(2)作直线与直线相交于点；
(3)在射线上作线段，使线段与线段相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据射线的含义作图即可；
（2）根据直线的含义按要求作图即可；
（3）根据作一条线段等于已知线段作图即可．
【详解】（1）解：作射线，如图所示；
；
（2）解：作直线与直线相交于点，如图所示；
（3）解：用圆规在射线上截取，线段即为所求．
【点睛】本题考查了作线段、直线和射线的基本作图，作一条线段等于已知线段，难度不大，属于基础题．
线段的应用
例题：（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票．
【答案】20
【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可．
【详解】解：5个点中线段的总条数是（种），
∵任何两站之间，往返两种车票，
∴应印制（种），
故答案为：20．
【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”．
【变式训练】
1．（2023上·浙江金华·七年级统考期末）从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（ ）
A．12种B．10种C．6种D．4种
【答案】A
【分析】一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，由此可求出车票总数．
【详解】解：根据题意，一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，
∴铁路部门供旅客购买的火车票要准备（种），
故选：A．
【点睛】本题考查线段，解答的关键是理解题意，熟知两站之间有两种不同的车票，不能遗漏返程票．
2．（2021上·浙江衢州·七年级统考期末）杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（ ）
A．20种B．15种C．10种D．5种
【答案】A
【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种数．
【详解】解：需要印制不同的火车票的种数是：2（1+2+3+4）=20（种）．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的运用．注意根据规律计算的同时，还要注意火车票需要考虑往返情况．
线段中点的有关计算
例题：（2023上·云南红河·七年级统考期末）如图，已知线段，，点M是的中点．

(1)求线段的长；
(2)在上取一点N，使得，求线段的长．
【答案】(1)4
(2)10
【分析】（1）先求出，再根据中点的定义求解即可；
（2）根据，，得出．再求出，看根据，即可求解．
【详解】（1）解：线段，，
∴．
又∵点M是的中点．
∴，
答：线段的长度是4．
（2）解：∵，，
∴．
又∵点M是的中点，，
∴，
∴，
答：的长度是10．
【点睛】本题主要考查了线段之间的和差关系，解题的关键是掌握中点的定义，结合图形得出线段之间的和差关系．
【变式训练】
1．（2023上·河南漯河·七年级校考期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且，．

(1)图中共有______条线段．
(2)求的长．
(3)若点E在直线上，且，求的长．
【答案】(1)6
(2)
(3)或
【分析】（1）根据线段的定义数出结果即可；
（2）先求，再求即可；
（3）分两种情况讨论：①点在线段上，根据；②点在线段延长线上，根据进行计算即可．
【详解】（1）解：图中共有，共6条线段，
故答案为：6；
（2）点为的中点，
，
，，
，即，
；
（3）分两种情况讨论：
①点在线段上，

；
②点在线段延长线上，

．
综上：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，掌握线段的计算方法是解题的关键．
2．（重庆市开州区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上．

(1)如图1，若，，D为线段AC的中点，求线段DB的长度；
(2)如图2.若，E为线段AB的中点，，求线段AC的长度．
【答案】(1)1cm
(2)12cm
【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段的长度为；
（2）设，由线段的中点，线段的和差倍分求出，，根据可得，解方程即可求解．
【详解】（1）解：如图1所示：

∵，，
∴，
又∵D为线段的中点，
∴，
∴；
（2）解：如图2所示，设，

∵，
∴，，
∴，
∴，
∵E为线段的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法．
线段n等分点的有关计算
例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；

（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；
②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】（1）由中点的定义可得，然后根据求解即可；
（2）由，可得，然后根据求解即可；
（3）仿照（2）的过程求解即可．
【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点
∴
∵
∴
（2）①∵
∴
∵
∴；
②
．
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
【变式训练】
1.（2023秋·陕西宝鸡·七年级校考期末）如图，已知点B在线段上，，，P、Q分别为线段、上两点，，，则线段的长为 ．
【答案】7
【分析】根据已知条件算出BP和CQ，从而算出BQ，再利用PA=BP+BQ得到结果．
【详解】解：∵AB=9，BP=AB，
∴BP=3，
∵BC=6，CQ=BC，
∴CQ=2，
∴BQ=BC-CQ=6-2=4，
∴PQ=BP+BQ=3+4=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了两点间距离，线段的和差，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活运用线段的和差倍分关系解题是关键．
2．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）根据题意，填空完善解答过程：已知，线段，C是直线上的一点，M，N分别是线段的三等分点，且．
(1)如图1，当点C在线段上时，求的长；
(2)如图2，当点C在延长线上时，求的长；
(3)当点C在延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求的长．
【答案】(1)6
(2)6
(3)见解析，6
【分析】（1）由可得、，然后根据图形可得即可解答；
（2）根据图形可得即可解答；
（3）根据图形可得当点C在延长线上时，．
【详解】（1）解：∵，
∴，，，，
如图1：当点C在线段AB上时，．
（2）解： 如图2：当点C在AB延长线上时，．
（3）解：如图：
当点C在延长线上时，．
【点睛】本题主要考查了线段的和差、线段的等分点等知识点，正确化出图形成为解答本题的关键．
求一个角的余角、补角
例题：（22·23上·省直辖县级单位·期末）若，则的余角等于 ，的补角等于 ．
【答案】
【分析】两个角的和为，则这两个角互余，两个角的和为 则这两个角互为补角，根据互余与互补的定义求解即可.
【详解】解： ，
∠α的余角=
∠α的补角=
故答案为：，.
【点睛】本题考查的是互余与互补的含义，角的四则运算中的减法运算，掌握“互余与互补的含义”是解本题的关键.
【变式训练】
1．（22·23上·内江·期末）如果，那么的余角等于 ；的补角为 ．
【答案】 /65度 /155度
【分析】利用两角互余及互补的定义，进行计算，即可求解．
【详解】解：，
的余角为：，的补角为：，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了两角互余及互补的定义，牢固掌握两角互余及互补的定义，发现隐含条件：两角之和是或，并能熟练运用．
2．（22·23上·南京·期末）若，则的余角为 °，的补角为 °．
【答案】
【分析】根据两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，列式计算即可．
【详解】的余角：，
的补角：，
故答案为：、．
【点睛】本题考查余角和补角，解题的关键是掌握余角和补角的定义，根据定义列式计算．
角平分线的有关计算
例题：（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知O为直线上一点，是直角，平分．

(1)如图①，若，则__________；若，则__________；与的数量关系为__________；
(2)当射线绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
【答案】(1)（1）；；
(2)仍然成立，理由见解析
【分析】（1）先求得，再根据角平分线的定义求得，再根据平角定义求解即可；
（2）设，仿照（1）中方法，先求得，再根据角平分线的定义求得，再根据平角定义求解即可．
【详解】（1）解：∵是直角，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
则，
若，则，
故答案为：；；．
（2）解：仍然成立，理由为：
如图2，设，
∵是直角，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
则．
【点睛】本题考查直角、平角定义、角平分线的定义，根据相关定义求解是解答的关键．
【变式训练】
1．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，，，平分，平分．

(1)求的度数．
(2)若，，用含、的代数式表示的度数为______．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先求得的度数，然后由角平分线的定义可知，，最后根据求解即可；
（2）先求得α，由角平分线的定义可知α，，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
由角平分线的性质可知：，．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
由角平分线的性质可知：，．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，求得和的大小，然后再依据求解是解题的关键．
2．（2023下·山东聊城·七年级统考期末）如图，已知点是直线上一点，射线分别是、的平分线．

(1)若，求的度数．
(2)如果把“”条件去掉，那么的度数有变化吗？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不会有变化，理由见解析．
【分析】（1）利用角平分线的定义得，根据邻补角的定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后根据即可求解；
（2）由角平分线的定义得，再根据角的和差得，代入整理可得结论．
【详解】（1）射线分别是的平分线，
，
，
射线分别是的平分线，
，
；
（2）不会有变化，理由如下：
∵射线分别是的平分线，
∴，
∵，
，
，
，
的度数没有变化．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，此题关键是充分利用角平分线的定义．
三角板中角度计算问题
例题：（2023上·江西上饶·七年级校联考期末）如图，这是一副顶点重合的直角三角板，已知∠BAC＝60°，，则的大小是 ．

【答案】
【分析】先求出的度数，然后利用余角解题即可．
【详解】解：如图，

∵，，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查三角板中角的和差，结合图形运用角的和差计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·浙江金华·七年级统考期末）如图，将一副三角板的顶点重合放置，三角板绕点旋转．当时， °
【答案】130或170/170或130
【分析】分两种情况讨论：当三角板绕点顺时针旋转时，当三角板绕点逆时针旋转时，先求出的度数，再根据和求解即可．
【详解】当OB在∠COD内部时，，
∴；
当OB在∠COD外部时，，
∴；
故答案为：130或170．
【点睛】本题考查了角的和差，熟知三角板中各角度和运用分类讨论的思想是解题的关键．
2．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期末）在数学实践活动课上，“奋进”小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，是直角，OE平分．

问题发现：
(1)如图1，若，则的度数为______；
(2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）先求解再利用角平分线的含义求解再利用角的和差关系可得答案；
（2）先求解，再利用角平分线的定义可得，再利用角的和差关系可得结论；
【详解】（1）解：

平分


故答案为：；
（2）．
理由：因为是直角
所以
所以
因为平分
所以
所以
所以．
【点睛】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，掌握“几何图形中角的和差关系”是解本题的关键．
角n等分线的有关计算
例题：（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案．
【详解】解：∵，射线为的三等分线．
∴或，
∴，
∴的度数为或．
故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
【变式训练】
1.（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
【答案】C
【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．
【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
综上，为或或，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
2.（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
【答案】(1)；
(2)；理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解；
（2）根据图形得出，计算，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解．
【详解】（1）如图1，，
在内部，
，，
，
，
；
（2）；理由如下：如图2，
，
射线、分别在内、外部，
，
，
，
；
（3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，
则，，如图3，
，，
，
，
；
②当时，如图4，射线、在的外部，如图4，
则，
，
，，
，
，
，
.
综合①②得．
【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
与余角、补角、角平分线有关角的综合问题
例题：（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图，点O是直线上一点，平分，在直线另一侧以O为顶点作．

(1)若，那么__________﹔与的关系是__________；
(2)与有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由．
【答案】(1)， 互余
(2)∠AOE+∠COD=180°，见解析
【分析】（1）先根据平角的意义，得，再由条件可知，可求得答案；
（2）先证得，，再利用平角的定义证得，即可证．
【详解】（1）解：点O在直线上，
，
又，
，
若，则；
故填：，互余．
（2）解：
理由：点O是直线上一点，平分
，
，
∴，
即：∠AOE+∠COD=180°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平角的定义，掌握角平分线和平角定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·江西南昌·七年级南昌市第二十八中学校联考期末）如图，已知点为直线上一点，，，平分．

(1)求的度数；
(2)若与互余，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知角度结合平角的定义可求解，的度数，再利用角平分线的定义可求解；
（2）根据余角的定义，平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解．
【详解】（1）解：，，
，
，
，，
平分，
，
；
（2）与互余，
，
，
，
平分，
，
．
【点睛】本题主要考查余角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键．
2．（2023下·上海普陀·六年级统考期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角．
(1)如果，是的半余角，那么的度数是_______；
(2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线．
①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________；
②是的半余角，当是的时，求的度数．
【答案】(1)
(2)①画图见解析；，.
②度数为或
【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得；
（2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得．
【详解】（1）解：∵，是的半余角，
∴，
故答案为：；
（2）解：①在的内部画射线，使，如图所示：
则，
，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴的半余角有：，；
②设，则，
∴，
∵是的半余角，
∴，
当是的时，，
如图所示，若射线在内，
则，
∴，
，
；
如图所示，若射线在外，
则，
∴，
，
；
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论．
一、单选题
1．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这是因为（ ）

A．两点之间，直线最短B．两点之间，线段最短C．两点之间，射线最短D．两点确定一条直线
【答案】D
【分析】根据两点确定一条直线判断即可．
【详解】根据两点确定一条直线判断，
故选D．
【点睛】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键．
2．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）若与互余，与互补，则与的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由与互余，与互补可得，，由得：，由此即可得到答案．
【详解】解：与互余，与互补，
，，
由得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是要记住互为余角的两个角的和为，互为补角的两个角的和为．
3．（2023上·黑龙江绥化·七年级统考期末）往返于甲、乙两市的列车，中途需停靠4个站，如果每两站的路程都不相同，这两地之间有多少种不同的票价（ ）
A．15B．30C．20D．10
【答案】A
【分析】可以借助线段图来分析，有多少条线段，就有多少中不同的票价．
【详解】解：如图所示：

A，F代表甲，乙两市，B，C，D，E代表四个停靠站，
图中共有线段：，，，，．，，，，，，，，，，总共15条，
所以共有15种不同的票价，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线，射线，线段，借助线段图来解决是解题的关键．
4．（2023下·甘肃武威·七年级统考期末）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（ ）
A．7cmB．3cmC．7cm或5cmD．5cm
【答案】C
【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．
【详解】解：根据题意画图如下：

，，若M是的中点，N是的中点，
．

，，若M是的中点，N是的中点，
．
【点睛】本题考查了点与线段中点有关的计算，根据题意画出正确的图形是解题的关键．
5．（2023上·山东临沂·七年级统考期末）如图，是直线上的一点，是一条射线，平分，在内，且，．下列四个结论：①；②射线平分；③图中与互余的角有2个．其中结论正确的序号有（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．①②
【答案】B
【分析】①根据平分， ，，以及平角是，求出，即可得出结论；②求出，即可得出结论；③根据，即可得出结论．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵ ，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，故①错误；
∵，，
∴，则，
∴射线平分，故②正确；
∵，
∴，
∴图中与互余的角有2个，故③正确；
综上，正确的是②③；
故选B．
【点睛】本题考查几何图形中角的计算．余角的定义，理清角之间的和差关系，是解题的关键．
二、填空题
6．（2023下·甘肃张掖·七年级校考期末）已知，则的余角的度数是 ．
【答案】/63度
【分析】根据余角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的余角的度数是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了余角的性质，熟练掌握互余的两个角的和等于是解题的关键．
7．（2023上·新疆乌鲁木齐·七年级统考期末）乌鲁木齐市的数学期末考试通常在上午时开始，此时时钟的时针与分针的夹角是 度．
【答案】
【分析】根据钟表确定时针和分针的位置，利用钟表表盘的特征解答．
【详解】解：点整，时针指向，分针指向，中间有三大格，
钟表个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，
点整分针与时针的夹角正好是．
【点睛】本题是一个钟表问题，解题的关键是理解每两个数字之间的度数是度．
8．（2023上·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，已知点在线段的延长线上，且，为的中点，若，则 ．

【答案】
【分析】首先根据线段之间的数量关系，得出，再根据题意，得出，进而得出，然后打入数据，计算即可得出答案．
【详解】解：∵点为的中点，，
∴，
又∵，
由图可得：，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段之间数量关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答．
9．（2023上·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有不重合的四个点，，则的长为 ．
【答案】6或10或16
【分析】由于没有图形，故四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．
【详解】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：

，，，
，
II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图：

，
III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图：

，点A、D重合，不合题意，
IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图：

，点A、D重合，不合题意，
综上所述：的长为6或10或16
故答案为：6或10或16．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和差关系得到的长度．
10．（2023下·江西南昌·七年级校考期末）如图，直线与相交于点O，，平分，，平分．若射线从射线的位置出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时，三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为 秒．（旋转过程中，，都只考虑小于的角）

【答案】1或13或25
【分析】利用角平分线求出，，求出，，求出，由角平分线，求出，，再分平分，平分，平分三种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
分情况讨论：
①当平分时，

∵，
∴，即：，
∴，
∴；
②平分时，

则：，
∴，
∴；
③当平分时：

则：，
∴，
∴点旋转的角度为：，
∴；
综上：的值为：1或13或25．
故答案为：1或13或25．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．
三、解答题
11．（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，已知四点A，B，C，D，利用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图作图（不写作法，保留作图痕迹）：

(1)连接，作直线；
(2)作射线，并在射线上取一点E，使 ．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）连接，，并将向两边延伸，可得直线；
（2）以A为端点，连接并延伸可得射线，在射线上，以B为起点，依次截取两个长，可得．
【详解】（1）解：如图，线段、直线即为所求作；
（2）解：如图，射线、点E即为所求作．

【点睛】本题考查基本作图，熟知直线、射线、线段的定义，掌握基本作图是解答的关键．
12．（2023上·河南南阳·七年级统考期末）如图，点是线段上的一点，其中，是线段的中点，是线段上一点．
(1)若为线段的中点，求的长度；
(2)若为线段的一个三等分点，求的长度．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据线段中点的性质得出，结合图形，即可求解；
（2）根据线段中点的性质以及三等分点的性质，分类讨论，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵是线段的中点，为线段的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵是线段的中点，
∴，
∵为线段的一个三等分点，
∴或，
∴或；
∴的长为或．
【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算，数形结合，分类讨论是解题的关键．
13．（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图（甲），和都是直角．

(1)如果，的度数为 ．
(2)图（甲）中相等的角有 ； ．如果，它们 （填“相等”或“不等”）
(3)在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与相等的角．
【答案】(1)
(2)和；和；相等
(3)见解析
【分析】（1）根据，，求出的度数，然后即可求出的度数；
（2）根据直角和等式的性质可得，；
（3）作，等量代换即可得到．
【详解】（1），，
，
，
故答案为：
（2），，
，，
；
如果，它们还会相等
，
，，
，
故答案为：和；和；相等
（3）如图，作，即为所要求画的角，

，
，即
【点睛】本题考查了余角，以及角的计算，是基础题，准确识图是解题的关键．
14．（2023上·吉林·七年级校考期末）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为16，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒．
(1)，两点间的距离等于________，线段的中点表示的数为________；
(2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________；
(3)求当为何值时，？
(4)若点为的中点，当点到原点距离为时， ________．
【答案】(1)20，6
(2)，
(3)或6
(4)2
【分析】（1）由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；
（2）根据点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案；
（3）由，得到方程，求解即可得到答案；
（4）由线段中点的性质得出，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：点表示的数为，点表示的数为16，
，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为，
故答案为：20，6；
（2）解：点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
秒后，点表示的数为：，
点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，
秒后，点表示的数为：，
故答案为：，；
（3）解：，
，
或6，
或6时，；
（4）解：点为的中点，点到原点距离为8，
，
解得：或（负值舍去），
，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
15．（2023上·河北邢台·七年级统考期末）如图，点在同一条直线上，从点引一条射线，且．

(1)求的度数．
(2)将绕点顺时针旋转（，且不是的整数倍）得到，在内引射线，在内引射线，且．．
①若，求的度数；
②若，请直接写出的大小．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据邻补角的定义和性质即可得出结论；
（2）①根据的角度可得出和的度数，由此可得出和的度数，根据和差关系即可得出结论；②分当时和当时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：①如图1，
，
当时，则，
，，
，，
，，
，
；
②或．
如图2，当时，

，
，
，
，
，
解得；
如图3，当时，

，
，
，，
，
解得，
综上所述，的大小为或．
【点睛】本题主要考查了角的计算，涉及分类讨论的思想，由图得出角的和差关系是解题的关键．