初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理课后练习题

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蚂蚁爬行模型常考的类型有蚂蚁沿着圆柱的侧面爬行、沿着长方体或正方体的面爬行，求最短的距离；在解此类题目时一般需要沿着一定的面，将立体图形展开，连接蚂蚁爬行的起点和中点，构成的线段即为最短距离。如下图图2中线段AB的长度就是图1中蚂蚁由A点爬行到B点的最短距离。
【典例1】．如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____ m．
【答案】1
【分析】画出容器侧面展开图（见详解），作点A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，
则A′B为最短距离．
由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，
∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m，
∴A′B＝
＝
＝1（m）．
故答案为：1．
模型二 378和578模型
当三角形的三边长度分别是3、7、8和5、7、8时，可以通过做垂线，构造一组含有公共边的直角三角形，利用勾股定理和公共边相等，建立方程，从而使题目得到解决，如下图：
在中，AB=5，AC=7，BC=8；过A点做AD垂直于BC，垂足为点D；根据勾股定理可得：
从而解得的值。
【典例2】边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）．
A．90°B．150°C．135°D．120°
【答案】D
【分析】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．
【详解】设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图
设BD=x，则CD=8-x
在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得：
则得方程：
解得：
即
∵，AD⊥BC
∴∠BAD=30゜
∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜
∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜
∵BC>AC>AB
∴∠BAC>∠ABD>∠C
故最大角与最小角的和为120゜
故选：D．
模型提分训练
一、单选题
1．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（ ）
A．10B．14C．D．
【答案】A
【分析】把长方体展开，根据两点之间线段最短得出最短路线AG，根据勾股定理，即可求出AG长度；
【详解】把长方体展开有三种情况：
当蜘蛛从A 出发到EF上再到G时，如下图所示
，
，
，
在中，；
当蜘蛛从A 出发到BF上再到G时，如下图所示
，，
，
，
，
在中，，
当蜘蛛从A 出发到EH上再到G时，如下图所示
， ，
∴AF=9cm，
在中，，
．
故选：A．
2．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为
A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm
【答案】B
【分析】把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离．
【详解】解：如图：展开后线段的长度是圆柱中半圆的周长，
圆柱底面直径、高，为的中点，
，
在中，，
蚂蚁从点爬到点的最短距离为，
故选：．
3．如图，圆柱的高为4cm，底面半径为cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（ ）cm．
A．5B．5πC．3+D．3+
【答案】A
【分析】如图，先把圆柱体沿着直线剪开，得到矩形如图示：可得线段的长度为所求的最短距离，再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：把圆柱体沿着直线剪开，得到矩形如下：
则线段的长度为所求的最短距离.
由题意得圆柱的高为： 底面半径为，


所以蚂蚁至少要爬行路程才能吃到食物.
故选：A
4．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故选：A．
5．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】沿着上面的棱将A点翻折至处，分三种情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可．
【详解】解：沿着上面的棱将A点翻折至处，则新长方体的长、宽、高依次为，，，
若蚂蚁的行走路线为后壁和下壁，则最短路径为：，
若蚂蚁的行走路线为左壁和下壁，则最短路径为：，
若蚂蚁的行走路线为左壁和前壁，则最短路径为：，
∵，
∴最短路径为：．
故选：B．
6．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（ ）
A．10B．12C．14D．20
【答案】A
【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．
【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图，
连接AS，则AB＝×16＝8，BS＝BC＝6，
在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2，
解得AS＝10．
∵A，S两点之间线段AS最短，
∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm．
故选：A．
7．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°，即可求解．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，
则BD＝BC−CD＝5−x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，
∴AB2−BD2＝AC2−CD2，
即：72−（5−x）2＝82−x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°−30°＝60°，
故选：C．
8．已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
【答案】C
【分析】过点A作 交BC延长线于点D，设CD=x，则BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出 ，可求出CD的长，从而得到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点A作 交BC延长线于点D，
∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，
可设CD=x，则BC=3+x，
在 中，
，
在中，
，
∴，
解得： ，
∴BC=3+x=4，
∴在中， ，
∴ ，
∴ ．
故选 C．
二、填空题
9．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程为__________．
【答案】10
【分析】将正方体上表面如图展开（见详解），根据两点之间，线段最短，即可得到：连接PQ的线段是P到Q的最短路程，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：将正方体上表面展开，如图所示，
∵PB＝AB＝6，AQ＝2，
∴BQ＝6+2＝8，
∴PQ＝＝＝10．
∴蚂蚁爬行的最短路程10．
故答案为：10．
10．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_____m．（边缘部分的厚度忽略不计）
【答案】20
【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：如图是其侧面展开图：AD==16（m），
AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m），
在Rt△ADE中，AE=（m）．
故他滑行的最短距离约为20m．
故答案为：20．
11．如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为________．
【答案】
【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90º，利用勾股定理可求AC的长即可．
【详解】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4，
侧面展开的圆心角，n=90º即∠ASC=90º，
C为AD的中点SD=2，
线段AC是小虫爬行的最短距离，
在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=，
故答案为：．
三、解答题
12．如图，是用棱长为的两个正方体拼成的新几何体，求一只蚂蚁从顶点出发沿着新几何体的表面爬行到顶点的最短路程是多少？
【答案】
【分析】根据两点之间线段最短，将组合体图形转化为平面图形，进而勾股定理求解即可
【详解】解：如图，将组合体的上底面展开，点到了点的位置，蚂蚁沿所在的直线运动到路程最短，

．
若按以下方式展开，
则
即蚂蚁从顶点出发到顶点的最短路程是．
13．如图，一只螳螂在树干的点处，发现它的正上方点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为，，两点的距离为，求螳螂爬行的最短距离（π取3）．
【答案】75cm
【分析】将圆柱形树干的侧面如图所示展开，根据两点之间线段最短，可得AB即为螳螂爬行的最短距离，利用勾股定理即可求出AB．
【详解】解：将圆柱形树干的侧面如图所示展开，根据两点之间线段最短，可得AB即为螳螂爬行的最短距离
AF=2π×10≈60cm，BF=45cm
∴cm
答：螳螂爬行的最短距离为75cm．