新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题11概率统计中的数学文化（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题11概率统计中的数学文化（附解析），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1.
古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为( )
A.8B．16
C.24D．32
2．[2023·山西晋中模拟]田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( )
A.eq \f(1,3)B．eq \f(1,2)C．eq \f(2,3)D．eq \f(4,9)
3．[2023·广东汕头模拟]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40＝3＋37.在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率是( )
A.eq \f(1,12)B．eq \f(1,14)C．eq \f(1,22)D．eq \f(1,24)
4．[2023·广东东莞模拟]“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气，则这两个节气不在同一个月的概率为( )
A.eq \f(4,5)B．eq \f(1,2)C．eq \f(1,5)D．eq \f(1,10)
5.
[2023·重庆巴南模拟]数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是( )
A.eq \f(1,3)B．eq \f(5,12)C．eq \f(1,2)D．eq \f(7,12)
6.
[2023·吉林模拟]在我国古代，杨辉三角(如图1)是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(1)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) ，类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为( )
A.2C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2023)) －2B．2C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2024)) －2C．C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(2024)) －2D．C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(2023)) －2
二、多项选择题
7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是( )
A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B.课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C.课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D.课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
8.
七巧板是古代中国劳动人民的发明，顾名思义，它由七块板组成，其中包括五个等腰直角三角形，一个正方形和一个平行四边形．利用七巧板可以拼出人物、动物等图案一千余种．下列说法正确的是( )
A.七块板中等腰直角三角形的直角边边长有3个不同的数值，它们的比为1∶eq \r(2)∶2
B.从这七块板中任取两块板，可拼成正方形的概率为eq \f(1,7)
C.从这七块板中任取两块板，面积相等的概率为eq \f(5,21)
D.使用一套七巧板中的n块(1≤n≤7，n∈N＋)，可拼出不同大小的正方形3种
9．[2023·江苏苏州模拟]中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，我市四所高中各自组建了蹴鞠队(分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”)进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次(积分多者名次靠前，积分同者名次并列)，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为eq \f(1,3)，则在比赛结束时( )
A.四支球队的积分总和可能为15分
B.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为eq \f(2,35)
C.可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况
D.丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为eq \f(8,35)
[答题区]
三、填空题
10．[2023·云南保山模拟]春节(SpringFestival)，即中国农历新年(ChineseNewYear)，俗称“新春”“新岁”“岁旦”等，又称“过年”“过大年”，是集除旧布新、拜神祭祖、祈福辟邪、亲朋团圆、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某商家在春节前开展商品促销活动，凡购物顾客都可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，其中恰有2人领取的礼品种类相同，则不同的情况共有________种．
11.
[2023·广东深圳模拟]“灯笼”是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要从下往上依次取下，每次取1盏，则不同取法总数为________．
12．[2023·河北沧州模拟]算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A＝“表示的四位数大于5500”，则P(A)＝________．
微专题11 概率统计中的数学文化
1．解析：梯形的上、下底平行且不相等，如图，
若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有16个，
若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有8个，
所以梯形的个数是16＋8＝24.故选C.
答案：C
2．解析：依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，
齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C.
由题意可知，可能的比赛方案有：
aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，
其中田忌可以获胜的事件为aB，aC，bC，共3种，
则田忌的马获胜的概率为P＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).故选A.
答案：A
3．解析：不超过40的素数为：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个数，
其中40＝3＋37＝11＋29＝17＋23，共3组数，
所以其和等于40的概率P＝eq \f(3,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(12)) )＝eq \f(1,22).故选C.
答案：C
4．解析：由题意，
从五月、六月、七月的六个节气中任选两个节气，
∴基本事件有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝15个，其中任取两个在同一个月的有3个，
∴这两个节气不在同一个月的概率为：P＝1－eq \f(3,15)＝eq \f(4,5).故选A.
答案：A
5．解析：1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6，3根算筹可表示3和7，4根算筹可表示4和8，5根算筹可表示5和9，
因此5根算筹表示的两位数有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12个，
其中个位数与十位数之和为5的有14，41，23，32，共4个，
所以所求概率为P＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3).故选A.
答案：A
6．解析：由杨辉三角中观察可得1＋3＋6＋10＝20.
推广，得到C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) ＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n＋2)) ，
即eq \f(1×2,2)＋eq \f(2×3,2)＋eq \f(3×4,2)＋…＋eq \f(n（n＋1）,2)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n＋2)) ，
由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为
S＝2×3＋3×4＋4×5＋…＋2022×2023
＝2(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2024)) －1).故选B.
答案：B
7．解析：对于A，从六门课程中选两门的不同选法有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝15种，A正确；
对于B，先排“礼”“御”“书”“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝480种，B错误；
对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝144种，C正确；
对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有4A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝480种，D正确．故选ACD.
答案：ACD
8．解析：如图所示：
设小正方形的边长为a，则等腰直角三角形的直角边边长由小到大为a，eq \r(2)a，2a，所以它们的比为1∶eq \r(2)∶2，故A正确；
从这七块板中任取两块板，若能拼成正方形，则选两个相同的等腰直角三角形，所以拼成正方形的概率为p＝eq \f(2,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) )＝eq \f(2,21)，故B错误；
由题意得S大三角形＝2a2，S中三角形＝a2，S小三角形＝eq \f(1,2)a2，S小正方形＝a2，S平行四边形＝a2，则从这七块板中任取两块板，面积相等的概率为p＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋2C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) )＝eq \f(5,21)，故C正确；
拼成的正方形的边长分别为a，eq \r(2)a，2a，2eq \r(2)a，拼成的正方形的面积分别为a2，2a2，4a2，8a2，所以可拼出不同大小的正方形有4种，故D错误．故选AC.
答案：AC
9．解析：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，AC均正确；
每场比赛中两队胜、平、负的概率都为eq \f(1,3)，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为(eq \f(1,3))3×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,35)，B错；
丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分，
三队中选一队与丙比赛，丙输，C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ×eq \f(1,3)，例如是丙甲，
若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那么它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意，
若丙全赢(概率是(eq \f(1,3))2)时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢否则甲的分数不小于6分，只有平或输，
一平一输，概率C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) (eq \f(1,3))2，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是eq \f(2,3)，
两场均平，概率是(eq \f(1,3))2，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，
两场甲都输，概率是(eq \f(1,3))2，乙丁这场比赛只能平，概率是eq \f(1,3)，
综上概率为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ×eq \f(1,3)×(eq \f(1,3))2×[C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×(eq \f(1,3))2×eq \f(2,3)＋(eq \f(1,3))2＋(eq \f(1,3))2×eq \f(1,3)]＝eq \f(8,35)，D正确．故选ACD.
答案：ACD
10．解析：先选取2人作为一组，领取相同礼品，共有3组安排三种不同的礼品，
由分步乘法计数原理知，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ·A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝36种．
答案：36
11．解析：对于6盏不同的花灯进行取下，可先对6盏不同的花灯进行全排列，共有A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) 种排法，
因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，
又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，
所以共有eq \f(A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) ,A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) )＝20种不同的取法．
答案：20
12．解析：方法一 将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，表示出四位数，
样本空间为Ω＝{1111，1115，1151，1155，1511，1515，1551，1555，5111，5115，5151，5155, 5511，5515，5551，5555}，
∴n(Ω)＝16，
事件A＝“表示的四位数大于5500”，则A＝{5511，5515，5551，5555}，∴n(A)＝4，
∴P(A)＝eq \f(n（A）,n（Ω）)＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4).
方法二 将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，每位有两种拨动方法，
∴拨动方法共有2×2×2×2＝16种，
若要使表示的四位数大于5500，则需要在千位和百位都拨动上珠，个位、十位各有两种拨动方法，
∴表示的四位数大于5500的拨动方法有1×1×2×2＝4种，
∴表示的四位数大于5500的概率P(A)＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案