新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题25双变量问题（附解析）

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(2)若y＝f(x)－g(x)有两个极值点x1，x2，且x2≥3x1，求实数a的取值范围．
解：
【题后师说】 当一个不等式中出现多个未知数，如何减少变元的个数就成为解决问题的关键．“减元”是在“消元”的思想下进行的，通过“消元”减少变量的个数，可使问题变得简单、易于解决．减元的常用手段有：换元、整体代入、消去常数等．
2．已知函数f(x)＝xlnx－eq \f(a,2)x2－x＋a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点．
(1)求a的取值范围；
(2)记两个极值点为x1，x2，且x1g(x)max；②∀x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)>g(x2)，则f(x)min>g(x)min；③∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)>g(x2)，则f(x)max>g(x)min.
微专题25 双变量问题
1．解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝－2ex，设曲线f(x)上的切点为(x1，－2ex1)，则切线方程为y＋2ex1＝－2ex1(x－x1)，设曲线g(x)上的切点为(x2，eq \f(1,2)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )，
则切线方程为y－eq \f(1,2)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝x2(x－x2)，由两条切线重合得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2ex1＝x2，,2ex1(x1－1)＝－\f(1,2)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ，))
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝0，,x2＝－2，))所以公切线方程为y＝－2x－2.
(2)y＝f(x)－g(x)＝aex－eq \f(1,2)x2，y′＝aex－x，
因为x1，x2是y＝f(x)－g(x)的极值点，
所以aex1－x1＝aex2－x2＝0，所以a＝eq \f(x1,ex1)＝eq \f(x2,ex2).
令x2＝kx1(k≥3)，可得eq \f(x1,ex1)＝eq \f(kx1,ekx1)，则x1＝eq \f(lnk,k－1).
设h(x)＝eq \f(lnx,x－1)(x≥3)，则h′(x)＝eq \f(1－\f(1,x)－lnx,（x－1）2)，
令t(x)＝1－eq \f(1,x)－lnx(x≥3)，则t′(x)＝eq \f(1－x,x2)