高考数学专题练 专题五概率与统计 微专题34　概率与统计的创新题型（含答案）

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典例1 (2023·新高考全国Ⅰ)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
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(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1,2，…，n，则E(eq \i\su(i＝1,n,X)i)＝eq \i\su(i＝1,n,q)i.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
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典例2 (2023·济宁模拟)某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8 000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩(单位：分)，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；
(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为eq \f(1,8)，设他获得二等奖的概率为P，求P的最小值．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
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[总结提升]
随着概率与统计内容在高考考查中难度增大、分值增加，同时概率与统计又与社会、经济、科技发展密切联系，概率与统计内容在高考考查中逐步呈现出综合性、应用性和创新性等特点，成为当下高考备考的热点问题和难点问题．概率统计一般和数列、函数综合考查，要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系找到数列的递推关系，或函数模型，进一步求解．
1．(2023·张家口模拟)甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3，乙胜的概率为0.2.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和均值；
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(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
(3)若Pi(i＝0,1，…，6)表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1.证明：{Pi＋1－Pi}(i＝0,1,2，…，5)为等比数列．
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2．(2023·大连模拟)根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布N(μ，σ2)，并把钢管内径在(μ－σ，μ＋σ)内的产品称为一等品，钢管内径在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1 000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图．
(1)通过检测得样本数据的标准差s＝0.3，用样本平均数eq \x\t(x)作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率P1(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)假如企业包装时要求把2个一等品和n(n≥2，n∈N)个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B，
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求出最大值．
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微专题34 概率与统计的创新题型
[考情分析] 概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力．要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．
考点一 概率与数列的综合
典例1 (2023·新高考全国Ⅰ)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1,2，…，n，则E(eq \i\su(i＝1,n,X)i)＝eq \i\su(i＝1,n,q)i.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
解 (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，
所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)
＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.
(2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，
则P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)
＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，
即pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2，
构造等比数列{pi＋λ}，
设pi＋1＋λ＝eq \f(2,5)(pi＋λ)，解得λ＝－eq \f(1,3)，
则pi＋1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(pi－\f(1,3)))，
又p1＝eq \f(1,2)，p1－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(pi－\f(1,3)))是首项为eq \f(1,6)，公比为eq \f(2,5)的等比数列，
即pi－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))i－1，pi＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))i－1＋eq \f(1,3).
(3)因为pi＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))i－1＋eq \f(1,3)，i＝1,2，…，n，
所以当n∈N*时，E(Y)＝p1＋p2＋…＋pn＝eq \f(1,6)×eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))n,1－\f(2,5))＋eq \f(n,3)＝eq \f(5,18)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))n))＋eq \f(n,3)，
故E(Y)＝eq \f(5,18)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))n))＋eq \f(n,3).
跟踪训练1 (2023·烟台模拟)现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的2个黑球和1个红球，若每次分别从两个袋子中随机摸出1个球互相交换后放入袋子中，重复进行n(n∈N*)次此操作．记第n次操作后，甲袋子中红球的个数为Xn.
(1)求X1的分布列和数学期望；
(2)求第n次操作后，甲袋子中恰有1个红球的概率Pn.
解 (1)由题知，X1的所有可能取值为0,1,2，
P(X1＝0)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
P(X1＝1)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(5,9)，
P(X1＝2)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,9)，
所以X1的分布列为
所以X1的数学期望E(X1)＝0×eq \f(2,9)＋1×eq \f(5,9)＋2×eq \f(2,9)＝1.
(2)由题知，
P(Xn＋1＝1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×\f(2,3)))P(Xn＝0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)×\f(2,3)＋\f(1,3)×\f(1,3)))P(Xn＝1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)×1))P(Xn＝2)，
又P(Xn＝0)＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＝1，
所以P(Xn＋1＝1)＝eq \f(2,3)[1－P(Xn＝1)－P(Xn＝2)]＋eq \f(5,9)P(Xn＝1)＋eq \f(2,3)P(Xn＝2)，
整理得P(Xn＋1＝1)＝eq \f(2,3)－eq \f(1,9)P(Xn＝1)，
所以P(Xn＋1＝1)－eq \f(3,5)＝－eq \f(1,9)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(PXn＝1－\f(3,5)))，
又因为P(X1＝1)－eq \f(3,5)＝－eq \f(2,45)，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(PXn＝1－\f(3,5)))是首项为－eq \f(2,45)，公比为－eq \f(1,9)的等比数列，
所以P(Xn＝1)－eq \f(3,5)＝－eq \f(2,45)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,9)))n－1，
所以P(Xn＝1)＝eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,9)))n＋eq \f(3,5)，
即Pn＝eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,9)))n＋eq \f(3,5).
考点二 概率与函数的综合
典例2 (2023·济宁模拟)某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8 000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩(单位：分)，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；
(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为a，第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为eq \f(1,8)，设他获得二等奖的概率为P，求P的最小值．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解 (1)设样本平均数的估计值为eq \x\t(x)，
则eq \x\t(x)＝10×(40×0.01＋50×0.02＋60×0.03＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62.
所以样本平均数的估计值为62.
(2)因为学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝62，σ≈14.
所以μ＋2σ≈62＋2×14＝90.
所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)≈eq \f(1,2)×(1－0.954 5)＝0.022 75.
所以估计能参加复试的人数为0.022 75×8 000＝182.
(3)由该学生获一等奖的概率为eq \f(1,8)，可知a2b＝eq \f(1,8).
则P＝a2(1－b)＋Ceq \\al(1,2)a(1－a)b＝a2＋2ab－eq \f(3,8)＝a2＋eq \f(1,4a)－eq \f(3,8).
令P＝f(a)＝a2＋eq \f(1,4a)－eq \f(3,8)，0