新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题8数列中的奇偶项问题（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题8数列中的奇偶项问题（附解析），共6页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an＋（－2）n，n为奇数，,an＋2n＋1，n为偶数，)))则下列选项正确的是( )
A．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的奇数项构成的数列是等差数列
B．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的偶数项构成的数列是等比数列
C．a13＝8191
D．S10＝671
2．[2023·重庆九龙坡模拟]已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an＋（\r(2)）n＋1，n为奇数,2an，n为偶数)))，设bn＝a2n，记数列{an}的前2n项和为S2n，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )
A．a5＝24B．bn＝n·2n
C．Tn＝n·2n＋1D．S2n＝(2n－1)2n＋1＋2
二、填空题
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an＋1，n为奇数，,an＋2，n为偶数．)))则数列{an}的前2n项和S2n＝________．
4．[2023·辽宁实验中学模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(3an＋1，an为奇数,\f(an,2)，an为偶数)))，若Sm＝90，则m＝________．
5．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an－1＋an－2，n为奇数，,an－1－an－2，n为偶数，)))则a20＝________．
6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2an，n＝2k－1，,an＋1，n＝2k，)))其中k∈N*，则数列{an}的前2n项和S2n为________．
三、解答题
7．[2023·广东深圳模拟]已知等差数列{an}满足a3＝10，a5－2a2＝6.
(1)求an；
(2)数列{bn}满足bn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2n－1，n为奇数,\f(1,2)an－1，n为偶数)))，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.
解：
8．[2023·辽宁锦州模拟]已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)已知cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(\f(1,19an)，n＝2k－1,an·an＋2，n＝2k)))，k∈N*，求数列{cn}的前20项和．
解：
9．[2023·安徽马鞍山模拟]已知数列{an}，a1＝3，a2＝5，数列{bn}为等比数列，满足bn＋1＝an＋1bn－anbn，且b2，2a4，b5成等差数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记数列{cn}满足：cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an，（n为奇数）,bn，（n为偶数）)))，求数列{cn}的前2n项和T2n.
解：
10．[2023·新课标Ⅱ卷]已知{an}为等差数列，bn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an－6，n为奇数,2an，n为偶数)).记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
解：
微专题8 数列中的奇、偶项问题
1．解析：因为a1＝1，
an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an＋（－2）n，n为奇数，,an＋2n＋1，n为偶数，)))
所以a2＝1＋(－2)1＝－1，a3＝－1＋23，
a4＝－1＋23＋(－2)3＝－1，a5＝－1＋25，
a6＝a5＋(－2)5＝－1，a7＝－1＋27，
a8＝－1，a9＝－1＋29，
a10＝－1，a11＝－1＋211，
a12＝－1，a13＝－1＋213＝8191，
可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列，
奇数项不是等差数列，
S10＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10
＝1＋(－1)＋(－1＋23)＋(－1)＋(－1＋25)＋(－1)＋(－1＋27)＋(－1)＋(－1＋29)＋(－1)
＝1＋9×(－1)＋(23＋25＋27＋29)
＝－8＋eq \f(23（1－44）,1－4)＝672，故选BC.
答案：BC
2．解析：对A，a2＝a1＋2＝4，a3＝2a2＝8，a4＝a3＋4＝12，则a5＝2a4＝24，故A正确；
对B，由题意，b1＝a2＝4，
当n≥2时，bn＝a2n＝a2n－1＋(eq \r(2))2n＝2a2n－2＋2n＝2bn－1＋2n，
所以eq \f(bn,2n)－eq \f(bn－1,2n－1)＝1，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(bn,2n)))是以1为公差，eq \f(b1,2)＝2为首项的等差数列．
则eq \f(bn,2n)＝2＋(n－1)＝n＋1，则bn＝(n＋1)·2n，故B错误；
对C，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，即Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，
所以2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n＋1，
两式相减得－Tn＝4＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1
＝4＋eq \f(4（1－2n－1）,1－2)－(n＋1)×2n＋1＝－n×2n＋1，
所以Tn＝n·2n＋1，故C正确；
对D，S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝[a2－(eq \r(2))2]＋[a4－(eq \r(2))4]＋…＋[a2n－(eq \r(2))2n]＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝2(a2＋a4＋…＋a2n)－(2＋22＋…＋2n)＝2(b1＋b2＋…＋bn)－eq \f(2（1－2n）,1－2)
＝2Tn＋2－2n＋1＝2n×2n＋1＋2－2n＋1＝(2n－1)2n＋1＋2，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
3．解析：由题可知，当n为奇数时，an＋1－an＝1，
当n为偶数时，an＋1－an＝2，
所以an＋2－an＝3，
即{an}隔项成等差数列，其中奇数项以a1＝1为首项，以3为公差；偶数项以a2＝2为首项，以3为公差，
所以S2n＝S奇＋S偶＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＋na2＋eq \f(n（n－1）,2)d
＝n＋eq \f(n（n－1）,2)×3＋2n＋eq \f(n（n－1）,2)×3＝3n2.
答案：3n2
4．解析：当a1＝3时，a2＝10，a3＝5，a4＝16，a5＝8，a6＝4，a7＝2，a8＝1，a9＝4，…，
则数列{an}从第6项开始，数列为周期为3的周期数列，一个周期三项的和为7.
因为S5＝42，所以m>5，由7k≤90－425时，Tn－Sn＝eq \f(3n2＋5n－10,2)－(n2＋4n)＝eq \f(n2－3n－10,2)＝eq \f(（n－5）（n＋2）,2)>0，
所以Tn>Sn.
当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝eq \f(\f(n,2)（－1＋2n－5）,2)＋eq \f(\f(n,2)（14＋4n＋6）,2)＝eq \f(3n2＋7n,2).
当n>5时，Tn－Sn＝eq \f(3n2＋7n,2)－(n2＋4n)＝eq \f(n2－n,2)＝eq \f(n（n－1）,2)>0，
所以Tn>Sn.
综上可知，当n>5时，Tn>Sn.