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高中物理粤教版 (2019)选择性必修 第一册第五节 受迫振动 共振导学案及答案
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这是一份高中物理粤教版 (2019)选择性必修 第一册第五节 受迫振动 共振导学案及答案，共17页。
3．理解共振和共振产生的条件，知道共振的应用和防止．
知识点一 受迫振动的频率
1．等幅振动：振幅不变的振动．
2．阻尼振动：振幅逐渐减小的振动．
3．受迫振动：在外界驱动力作用下的振动．
4．固有频率：物体自由振动的频率，只与它们自身的参数有关．
知识点二 共振
1．条件：驱动力的周期(或频率)等于振动系统的固有周期(或固有频率)．
2．特征：共振时，物体受迫振动的振幅最大．
3．共振曲线：如图所示．
知识点三 共振的应用与防止
1．共振的应用
在需要利用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率，振动将更剧烈．
2．共振的防止
在防止共振时，应使驱动力频率与系统的固有频率保持一定差距．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)做阻尼振动的物体其振动频率不变．(√)
(2)阻尼振动振幅逐渐减小时，其频率也逐渐减小．(×)
(3)驱动力的频率越大振动物体振幅越大．(×)
(4)共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率．(√)
2．(多选)某一单摆由于受阻力作用，从开始摆动到逐渐停止的过程中( )
A．振幅越来越小，周期也越来越小
B．振幅越来越小，周期不变
C．通过某一位置时，机械能始终不变
D．机械能不守恒，周期不变
BD [单摆做阻尼振动时，振幅会减小，机械能减小，振动周期不变，故B、D正确，A、C错误．]
3．某振动系统的固有频率为f1，该振动系统在频率为f2的驱动力的作用下做受迫振动，系统的振动频率为( )
A．f1 B．f2 C．f1＋f2 D．f1+f22
B [做受迫振动的系统，其振动频率等于驱动力的频率f2，故B正确．]
(1)如图甲所示，生活中会见到阵风吹过树枝，使树枝左右摇摆，一会儿树枝就会停下来，树枝的运动是阻尼振动吗？
(2)如图乙所示，荡秋千的小朋友在一旁小朋友的不断推动下不停地摆动．秋千的运动是受迫振动吗？
提示：(1)是．(2)是．
阻尼振动、受迫振动与简谐运动的比较
【典例1】 (多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小．下列说法正确的是( )
A．机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
[思路点拨] (1)在阻尼振动中，振动系统的机械能减小，即动能和势能之和减小．
(2)在一段较短的时间内，动能和势能不一定都减小，关键要看动能与势能之间是如何转化的．
AD [单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为内能，故A、D正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，故B、C错误．]
阻尼振动的三个特点
(1)振幅逐渐减小，最后停止振动．
(2)系统的机械能逐渐减少，最后耗尽．
(3)周期、频率不随振幅的变化而变化．
[跟进训练]
训练角度1 阻尼振动的图线
1．(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是( )
A．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．摆球A时刻的机械能大于B时刻的机械能
BD [在单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功使振动的能量逐渐转化为内能，故C错误，D正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化．由于A、B两时刻单摆的位移相等，所以势能相等，但动能不相等，故A错误，B正确．]
训练角度2 受迫振动
2．如图所示的装置，弹簧振子的固有频率是4 Hz．现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1 Hz，则把手转动的频率为( )
A．1 Hz B．3 Hz C．4 Hz D．5 Hz
A [受迫振动的频率等于驱动力的频率，把手转动的频率为1 Hz，故A正确．]
共振的特点
1．共振条件的理解
(1)从受力角度来看：
振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，驱动力的每次作用都使物体的振幅增加，直到振幅达到最大．
(2)从功能关系来看：
当驱动力频率越接近物体的固有频率时，驱动力与物体运动一致的次数越多，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大．当驱动力频率等于物体固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量时，振幅才不再增加．振动位置最大，振幅最大．
2．对共振曲线的理解
(1)两坐标轴的意义．
纵轴：受迫振动的振幅，如图所示．
横轴：驱动力频率．
(2)f0的意义：表示固有频率．
(3)认识曲线形状：f＝f0时，共振；f＞f0或f＜f0时，振幅较小．f与f0相差越大，振幅越小．
(4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小．
【典例2】 如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．
(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？
(3)若要振子振动的振幅最大，把手的转速应多大？
[思路点拨] 解答本题时应注意以下两个方面：
(1)理解简谐运动、阻尼振动、受迫振动的概念．
(2)知道受迫振动的频率与驱动力的频率的关系．
[解析] (1)用手往下拉振子使振子获得一定能量，放手后，振子因所受回复力与位移成正比，方向与位移方向相反(F＝－kx)，所以做简谐运动，其周期和频率是由它本身的结构特点决定的，称为固有周期(T固)和固有频率(f固)，根据题意T固＝tn＝1020 s＝0.5 s，f固＝1T固＝10.5 Hz＝2 Hz．由于摩擦和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和阻力做功消耗能量，使其振幅越来越小，故振动为阻尼振动．
(2)由于把手转动的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力的频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s，故振子做受迫振动．振动达到稳定状态后，其频率(或周期)等于驱动力的频率(或周期)，而跟固有频率(或周期)无关，故f＝f驱＝4 Hz，T＝T驱＝0.25 s．
(3)要使弹簧振子的振幅最大，处于共振状态，必须使其驱动力的频率f驱等于它的固有频率f固，即f驱＝f固＝2 Hz，故把手的转速应为n＝2 r/s．
[答案] (1)简谐运动 0.5 s 2 Hz 阻尼振动 (2)受迫振动 0.25 s (3)2 r/s
共振问题的分析方法
(1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率，此时振动的振幅最大．
(2)在分析有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解．
[跟进训练]
训练角度1 共振的现象分析
3．如图所示，在一根张紧的水平绳上挂有5个单摆，其中b摆球质量最大，其余4个摆球质量相等，摆长关系为Lc>Lb＝Ld>La>Le，现将b摆垂直于纸面向里拉开一微小角度后释放，经过一段时间后，其余各摆均振动起来并达到稳定，下列叙述正确的是( )
A．4个单摆的周期Tc>Td>Ta>Te
B．4个单摆的频率fa＝fc＝fd＝fe
C．4个单摆的振幅Aa＝Ac＝Ad＝Ae
D．4个单摆中c摆的振幅最大
B [b摆垂直于纸面向里拉开一微小角度后释放，使得其他4个单摆都做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以4个单摆频率相同，周期也一样，所以A错误，B正确；当驱动力的频率接近物体的固有频率时，振幅最大，即达到共振．根据T＝2πLg知，d摆长与b摆长相等，则驱动力的周期等于d摆的固有周期，发生共振，所以d摆振幅最大，C、D错误．]
训练角度2 共振曲线
4．研究单摆受迫振动规律时得到如图所示的图像，则下列说法错误的是( )
A．其纵坐标为位移
B．其纵坐标为振幅
C．单摆的固有周期为2 s
D．图像的峰值表示共振时的振幅
A [纵坐标是振幅，不是位移，A错误，B正确；当f驱＝f固时发生共振，振幅最大，由图知T固＝1f＝2 s，故C、D正确．]
1．如图是摆球做阻尼振动的振动图像，下列说法正确的是( )
A．振动过程中周期变小
B．振动过程中周期变大
C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
C [阻尼振动中，摆球的振幅逐渐减小，由于周期与振幅无关，故振动过程中周期不变，A、B错误；因A、B两时刻的位移相同，故摆球A时刻的势能等于B时刻的势能，C正确；由于振动的能量逐渐减小，故摆球A时刻的动能大于B时刻的动能，D错误．]
2．下列振动，属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B．打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
B [受迫振动是指在周期性驱动力作用下的振动，故A、C、D都是自由振动，B是受迫振动．]
3．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼很快就抖动起来，而且越抖越厉害．后来人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法解决了这一问题．在飞机机翼前缘处装置配重杆的目的主要是( )
A．加大飞机的惯性
B．使机体更加平衡
C．使机翼更加牢固
D．改变机翼的固有频率
D [飞机抖动得厉害是因为发生了共振现象，想要解决这一问题，需要使系统的固有频率与驱动力的频率差距增大，在飞机机翼前缘处装置一个配重杆，改变的是机翼的固有频率，故D正确．]
4．下表中记录了某受迫振动系统的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则( )
A．f固＝60 Hz
B．60 HzC．50 HzD．以上三个答案都不对
C [固有频率等于驱动力的频率时，振幅最大，固有频率越接近驱动力频率，振幅越大；表格中当驱动力频率为60 Hz时振幅最大，说明固有频率在50 Hz～70 Hz之间，C正确．]
5．如图为一单摆的共振曲线，图中横轴表示周期性驱动力的频率，纵轴表示单摆的振幅，求此单摆的摆长(g取10 m/s2)．
[解析] 由图像可以看出，当驱动力的频率为0.4 Hz时，单摆的振幅最大，此时单摆共振．由共振的条件可知，单摆的固有频率为0.4 Hz．
由T＝2πLg＝1f可得L＝g4π2f2≈1.58 m．
[答案] 1.58 m
回顾本节内容，自主完成以下问题：
1．物体做阻尼振动时周期是否发生变化？
提示：不变．
2．物体做受迫振动时频率由什么决定？
提示：驱动力的频率．
3．什么是共振现象？
提示：当物体的固有频率与驱动力的频率相等时，振幅最大．
课时分层作业(七) 受迫振动 共振
考点一 阻尼振动与受迫振动
1．单摆在振动过程中，摆动幅度越来越小，这是因为( )
A．能量正在逐渐消灭
B．动能正在转化为势能
C．机械能守恒
D．总能量守恒，减少的机械能转化为内能
D [能量不能被消灭，只能发生转化或转移，故A错误；单摆在运动中由于受到空气阻力，要克服空气阻力做功，机械能逐渐减小，转化为内能，由能量守恒定律可知，总能量是守恒的，故B、C错误，D正确．]
2．(多选)弹簧振子在振动过程中振幅逐渐减小，这是由于( )
A．振子开始振动时振幅太小
B．在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量
C．动能和势能相互转化
D．振子的机械能逐渐转化为内能
BD [由于阻力作用，振子的机械能逐渐转化为内能且减小，振幅减小，故B、D正确．]
3．(多选)下列说法正确的是( )
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动是受迫振动
C．阻尼振动的振幅越来越小
D．受迫振动稳定后频率与自身物理条件无关
ACD [实际的自由振动，必须不断克服外界阻力做功而消耗能量，振幅会逐渐减小，必然是阻尼振动，故A、C正确；只有在周期性外力(驱动力)的作用下，物体所做的振动才是受迫振动，B错误；受迫振动稳定后的频率由驱动力的频率决定，与自身物理条件无关，故D正确．]
考点二 共振现象
4．(多选)如图所示，一根水平张紧的绳子上系着五个单摆，摆长从左至右依次为3l2、l、l2、l、2l，若让D摆先摆动起来，周期为T，下列关于稳定时A、B、C、E各摆的情况描述正确的是( )
A．B摆振动的振幅最大
B．E摆振动的振幅最大
C．C摆振动的周期为T
D．A摆振动的周期大于T
AC [这是一个受迫振动的问题，由D摆提供驱动力，使A、B、C、E摆做受迫振动，其振动的频率和周期等于D摆的振动频率和周期，故C正确；因为B摆的摆长与D摆的摆长相等，所以B摆的固有周期等于驱动力的周期，满足发生共振的条件，B摆发生共振，振幅最大，故A正确．]
5．如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是( )
A．甲的振幅较大，且振动频率为18 Hz
B．甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz
D．乙的振幅较大，且振动频率为72 Hz
B [根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，又因为做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，所以B正确．]
6．(2022·深圳中学高二课时练习)单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示．现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来．不计空气阻力．下列判断正确的是( )
A．若使M振动起来，P不会振动
B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2 s
C．若使P振动起来，稳定时N比M的振幅大
D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s
D [若使M振动起来，其他小球也会振动，做受迫振动，A错误；受迫振动的周期等于驱动力的周期，B错误；若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，C错误；O的周期为3 s，使O振动起来，M做受迫振动，则稳定时M的振动周期为3 s，D正确．]
考点三 共振曲线
7．(2022·汕头市金山中学高二期中)如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向运动，使T形支架下面的弹簧和小球组成的振动系统做受迫振动．小球的振幅A与圆盘的转速n的关系如图乙所示．下列说法正确的是( )
A．振动系统的固有周期为20 min
B．振动系统的固有周期为3 s
C．圆盘的转速越大，系统振动的振幅越大
D．圆盘的转速越大，系统振动的频率越小
B [根据图像可得当转速为n＝20 r/min＝13 r/s，振动系统受迫振动的振幅最大，所以振动系统的固有周期为T＝1n＝3 s，A错误，B正确；由题图可知，开始时圆盘转速越大，驱动力频率越大，此时系统振动的振幅变大，当达到共振时振幅最大，再随着转速增大，驱动力频率增大，振幅又减小，C错误；受迫振动的频率与驱动力频率相同，转速越大，驱动力频率越大，则系统振动的频率越大，D错误．]
8．(多选)某简谐振子，自由振动时的振动图像如图甲中的曲线Ⅰ所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图像如图甲中的曲线Ⅱ所示，那么，此受迫振动对应的状态可能是图乙中的( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．一定不是c点
AD [振子的固有周期与驱动力周期的关系是T驱＝32T固，所以受迫振动的状态一定不是图乙中的b点和c点，可能是a点，故A、D正确．]
9．(多选)如图表示一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知( )
A．驱动力频率为f2时，振子处于共振状态
B．驱动力频率为f3时，振子振动频率为f3
C．假如让振子自由振动，它的频率为f2
D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2、f3
ABC [理解共振曲线是关键，驱动力频率为f2时弹簧振子的振幅最大，f2也就等于弹簧振子的固有频率，故振子自由振动时，它的频率为固有频率f2，D错误；当驱动力频率为f1、f3时，弹簧振子只做受迫振动，其频率与振子固有频率无关．A、B、C正确．]
振动类型
简谐运动
阻尼振动
受迫振动
产生条件
不受阻力作用
受阻力作用
受阻力和驱动力作用
频率
固有频率
频率不变
驱动力频率
振幅
不变
减小
大小变化不确定
振动图像
形状不确定
实例
弹簧振子振动，单摆做小角度摆动
敲锣打鼓发出的声音越来越弱
扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动
驱动力频率/Hz
30
40
50
60
70
80
受迫振动的振幅/cm
10.2
16.8
27.12
28.1
16.5
8.3
3．理解共振和共振产生的条件，知道共振的应用和防止．
知识点一 受迫振动的频率
1．等幅振动：振幅不变的振动．
2．阻尼振动：振幅逐渐减小的振动．
3．受迫振动：在外界驱动力作用下的振动．
4．固有频率：物体自由振动的频率，只与它们自身的参数有关．
知识点二 共振
1．条件：驱动力的周期(或频率)等于振动系统的固有周期(或固有频率)．
2．特征：共振时，物体受迫振动的振幅最大．
3．共振曲线：如图所示．
知识点三 共振的应用与防止
1．共振的应用
在需要利用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率，振动将更剧烈．
2．共振的防止
在防止共振时，应使驱动力频率与系统的固有频率保持一定差距．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)做阻尼振动的物体其振动频率不变．(√)
(2)阻尼振动振幅逐渐减小时，其频率也逐渐减小．(×)
(3)驱动力的频率越大振动物体振幅越大．(×)
(4)共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率．(√)
2．(多选)某一单摆由于受阻力作用，从开始摆动到逐渐停止的过程中( )
A．振幅越来越小，周期也越来越小
B．振幅越来越小，周期不变
C．通过某一位置时，机械能始终不变
D．机械能不守恒，周期不变
BD [单摆做阻尼振动时，振幅会减小，机械能减小，振动周期不变，故B、D正确，A、C错误．]
3．某振动系统的固有频率为f1，该振动系统在频率为f2的驱动力的作用下做受迫振动，系统的振动频率为( )
A．f1 B．f2 C．f1＋f2 D．f1+f22
B [做受迫振动的系统，其振动频率等于驱动力的频率f2，故B正确．]
(1)如图甲所示，生活中会见到阵风吹过树枝，使树枝左右摇摆，一会儿树枝就会停下来，树枝的运动是阻尼振动吗？
(2)如图乙所示，荡秋千的小朋友在一旁小朋友的不断推动下不停地摆动．秋千的运动是受迫振动吗？
提示：(1)是．(2)是．
阻尼振动、受迫振动与简谐运动的比较
【典例1】 (多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小．下列说法正确的是( )
A．机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
[思路点拨] (1)在阻尼振动中，振动系统的机械能减小，即动能和势能之和减小．
(2)在一段较短的时间内，动能和势能不一定都减小，关键要看动能与势能之间是如何转化的．
AD [单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为内能，故A、D正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，故B、C错误．]
阻尼振动的三个特点
(1)振幅逐渐减小，最后停止振动．
(2)系统的机械能逐渐减少，最后耗尽．
(3)周期、频率不随振幅的变化而变化．
[跟进训练]
训练角度1 阻尼振动的图线
1．(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是( )
A．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．摆球A时刻的机械能大于B时刻的机械能
BD [在单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功使振动的能量逐渐转化为内能，故C错误，D正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化．由于A、B两时刻单摆的位移相等，所以势能相等，但动能不相等，故A错误，B正确．]
训练角度2 受迫振动
2．如图所示的装置，弹簧振子的固有频率是4 Hz．现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振动达到稳定时的频率为1 Hz，则把手转动的频率为( )
A．1 Hz B．3 Hz C．4 Hz D．5 Hz
A [受迫振动的频率等于驱动力的频率，把手转动的频率为1 Hz，故A正确．]
共振的特点
1．共振条件的理解
(1)从受力角度来看：
振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，驱动力的每次作用都使物体的振幅增加，直到振幅达到最大．
(2)从功能关系来看：
当驱动力频率越接近物体的固有频率时，驱动力与物体运动一致的次数越多，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大．当驱动力频率等于物体固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量时，振幅才不再增加．振动位置最大，振幅最大．
2．对共振曲线的理解
(1)两坐标轴的意义．
纵轴：受迫振动的振幅，如图所示．
横轴：驱动力频率．
(2)f0的意义：表示固有频率．
(3)认识曲线形状：f＝f0时，共振；f＞f0或f＜f0时，振幅较小．f与f0相差越大，振幅越小．
(4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小．
【典例2】 如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．
(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？
(3)若要振子振动的振幅最大，把手的转速应多大？
[思路点拨] 解答本题时应注意以下两个方面：
(1)理解简谐运动、阻尼振动、受迫振动的概念．
(2)知道受迫振动的频率与驱动力的频率的关系．
[解析] (1)用手往下拉振子使振子获得一定能量，放手后，振子因所受回复力与位移成正比，方向与位移方向相反(F＝－kx)，所以做简谐运动，其周期和频率是由它本身的结构特点决定的，称为固有周期(T固)和固有频率(f固)，根据题意T固＝tn＝1020 s＝0.5 s，f固＝1T固＝10.5 Hz＝2 Hz．由于摩擦和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和阻力做功消耗能量，使其振幅越来越小，故振动为阻尼振动．
(2)由于把手转动的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力的频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s，故振子做受迫振动．振动达到稳定状态后，其频率(或周期)等于驱动力的频率(或周期)，而跟固有频率(或周期)无关，故f＝f驱＝4 Hz，T＝T驱＝0.25 s．
(3)要使弹簧振子的振幅最大，处于共振状态，必须使其驱动力的频率f驱等于它的固有频率f固，即f驱＝f固＝2 Hz，故把手的转速应为n＝2 r/s．
[答案] (1)简谐运动 0.5 s 2 Hz 阻尼振动 (2)受迫振动 0.25 s (3)2 r/s
共振问题的分析方法
(1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率，此时振动的振幅最大．
(2)在分析有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解．
[跟进训练]
训练角度1 共振的现象分析
3．如图所示，在一根张紧的水平绳上挂有5个单摆，其中b摆球质量最大，其余4个摆球质量相等，摆长关系为Lc>Lb＝Ld>La>Le，现将b摆垂直于纸面向里拉开一微小角度后释放，经过一段时间后，其余各摆均振动起来并达到稳定，下列叙述正确的是( )
A．4个单摆的周期Tc>Td>Ta>Te
B．4个单摆的频率fa＝fc＝fd＝fe
C．4个单摆的振幅Aa＝Ac＝Ad＝Ae
D．4个单摆中c摆的振幅最大
B [b摆垂直于纸面向里拉开一微小角度后释放，使得其他4个单摆都做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以4个单摆频率相同，周期也一样，所以A错误，B正确；当驱动力的频率接近物体的固有频率时，振幅最大，即达到共振．根据T＝2πLg知，d摆长与b摆长相等，则驱动力的周期等于d摆的固有周期，发生共振，所以d摆振幅最大，C、D错误．]
训练角度2 共振曲线
4．研究单摆受迫振动规律时得到如图所示的图像，则下列说法错误的是( )
A．其纵坐标为位移
B．其纵坐标为振幅
C．单摆的固有周期为2 s
D．图像的峰值表示共振时的振幅
A [纵坐标是振幅，不是位移，A错误，B正确；当f驱＝f固时发生共振，振幅最大，由图知T固＝1f＝2 s，故C、D正确．]
1．如图是摆球做阻尼振动的振动图像，下列说法正确的是( )
A．振动过程中周期变小
B．振动过程中周期变大
C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
C [阻尼振动中，摆球的振幅逐渐减小，由于周期与振幅无关，故振动过程中周期不变，A、B错误；因A、B两时刻的位移相同，故摆球A时刻的势能等于B时刻的势能，C正确；由于振动的能量逐渐减小，故摆球A时刻的动能大于B时刻的动能，D错误．]
2．下列振动，属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B．打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
B [受迫振动是指在周期性驱动力作用下的振动，故A、C、D都是自由振动，B是受迫振动．]
3．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼很快就抖动起来，而且越抖越厉害．后来人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法解决了这一问题．在飞机机翼前缘处装置配重杆的目的主要是( )
A．加大飞机的惯性
B．使机体更加平衡
C．使机翼更加牢固
D．改变机翼的固有频率
D [飞机抖动得厉害是因为发生了共振现象，想要解决这一问题，需要使系统的固有频率与驱动力的频率差距增大，在飞机机翼前缘处装置一个配重杆，改变的是机翼的固有频率，故D正确．]
4．下表中记录了某受迫振动系统的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则( )
A．f固＝60 Hz
B．60 Hz
C [固有频率等于驱动力的频率时，振幅最大，固有频率越接近驱动力频率，振幅越大；表格中当驱动力频率为60 Hz时振幅最大，说明固有频率在50 Hz～70 Hz之间，C正确．]
5．如图为一单摆的共振曲线，图中横轴表示周期性驱动力的频率，纵轴表示单摆的振幅，求此单摆的摆长(g取10 m/s2)．
[解析] 由图像可以看出，当驱动力的频率为0.4 Hz时，单摆的振幅最大，此时单摆共振．由共振的条件可知，单摆的固有频率为0.4 Hz．
由T＝2πLg＝1f可得L＝g4π2f2≈1.58 m．
[答案] 1.58 m
回顾本节内容，自主完成以下问题：
1．物体做阻尼振动时周期是否发生变化？
提示：不变．
2．物体做受迫振动时频率由什么决定？
提示：驱动力的频率．
3．什么是共振现象？
提示：当物体的固有频率与驱动力的频率相等时，振幅最大．
课时分层作业(七) 受迫振动 共振
考点一 阻尼振动与受迫振动
1．单摆在振动过程中，摆动幅度越来越小，这是因为( )
A．能量正在逐渐消灭
B．动能正在转化为势能
C．机械能守恒
D．总能量守恒，减少的机械能转化为内能
D [能量不能被消灭，只能发生转化或转移，故A错误；单摆在运动中由于受到空气阻力，要克服空气阻力做功，机械能逐渐减小，转化为内能，由能量守恒定律可知，总能量是守恒的，故B、C错误，D正确．]
2．(多选)弹簧振子在振动过程中振幅逐渐减小，这是由于( )
A．振子开始振动时振幅太小
B．在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量
C．动能和势能相互转化
D．振子的机械能逐渐转化为内能
BD [由于阻力作用，振子的机械能逐渐转化为内能且减小，振幅减小，故B、D正确．]
3．(多选)下列说法正确的是( )
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动是受迫振动
C．阻尼振动的振幅越来越小
D．受迫振动稳定后频率与自身物理条件无关
ACD [实际的自由振动，必须不断克服外界阻力做功而消耗能量，振幅会逐渐减小，必然是阻尼振动，故A、C正确；只有在周期性外力(驱动力)的作用下，物体所做的振动才是受迫振动，B错误；受迫振动稳定后的频率由驱动力的频率决定，与自身物理条件无关，故D正确．]
考点二 共振现象
4．(多选)如图所示，一根水平张紧的绳子上系着五个单摆，摆长从左至右依次为3l2、l、l2、l、2l，若让D摆先摆动起来，周期为T，下列关于稳定时A、B、C、E各摆的情况描述正确的是( )
A．B摆振动的振幅最大
B．E摆振动的振幅最大
C．C摆振动的周期为T
D．A摆振动的周期大于T
AC [这是一个受迫振动的问题，由D摆提供驱动力，使A、B、C、E摆做受迫振动，其振动的频率和周期等于D摆的振动频率和周期，故C正确；因为B摆的摆长与D摆的摆长相等，所以B摆的固有周期等于驱动力的周期，满足发生共振的条件，B摆发生共振，振幅最大，故A正确．]
5．如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是( )
A．甲的振幅较大，且振动频率为18 Hz
B．甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz
D．乙的振幅较大，且振动频率为72 Hz
B [根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，又因为做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，所以B正确．]
6．(2022·深圳中学高二课时练习)单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示．现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来．不计空气阻力．下列判断正确的是( )
A．若使M振动起来，P不会振动
B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2 s
C．若使P振动起来，稳定时N比M的振幅大
D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s
D [若使M振动起来，其他小球也会振动，做受迫振动，A错误；受迫振动的周期等于驱动力的周期，B错误；若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，C错误；O的周期为3 s，使O振动起来，M做受迫振动，则稳定时M的振动周期为3 s，D正确．]
考点三 共振曲线
7．(2022·汕头市金山中学高二期中)如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向运动，使T形支架下面的弹簧和小球组成的振动系统做受迫振动．小球的振幅A与圆盘的转速n的关系如图乙所示．下列说法正确的是( )
A．振动系统的固有周期为20 min
B．振动系统的固有周期为3 s
C．圆盘的转速越大，系统振动的振幅越大
D．圆盘的转速越大，系统振动的频率越小
B [根据图像可得当转速为n＝20 r/min＝13 r/s，振动系统受迫振动的振幅最大，所以振动系统的固有周期为T＝1n＝3 s，A错误，B正确；由题图可知，开始时圆盘转速越大，驱动力频率越大，此时系统振动的振幅变大，当达到共振时振幅最大，再随着转速增大，驱动力频率增大，振幅又减小，C错误；受迫振动的频率与驱动力频率相同，转速越大，驱动力频率越大，则系统振动的频率越大，D错误．]
8．(多选)某简谐振子，自由振动时的振动图像如图甲中的曲线Ⅰ所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图像如图甲中的曲线Ⅱ所示，那么，此受迫振动对应的状态可能是图乙中的( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．一定不是c点
AD [振子的固有周期与驱动力周期的关系是T驱＝32T固，所以受迫振动的状态一定不是图乙中的b点和c点，可能是a点，故A、D正确．]
9．(多选)如图表示一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知( )
A．驱动力频率为f2时，振子处于共振状态
B．驱动力频率为f3时，振子振动频率为f3
C．假如让振子自由振动，它的频率为f2
D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2、f3
ABC [理解共振曲线是关键，驱动力频率为f2时弹簧振子的振幅最大，f2也就等于弹簧振子的固有频率，故振子自由振动时，它的频率为固有频率f2，D错误；当驱动力频率为f1、f3时，弹簧振子只做受迫振动，其频率与振子固有频率无关．A、B、C正确．]
振动类型
简谐运动
阻尼振动
受迫振动
产生条件
不受阻力作用
受阻力作用
受阻力和驱动力作用
频率
固有频率
频率不变
驱动力频率
振幅
不变
减小
大小变化不确定
振动图像
形状不确定
实例
弹簧振子振动，单摆做小角度摆动
敲锣打鼓发出的声音越来越弱
扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动
驱动力频率/Hz
30
40
50
60
70
80
受迫振动的振幅/cm
10.2
16.8
27.12
28.1
16.5
8.3
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