高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动6 受迫振动 共振导学案

受迫振动 共振

一、振动中的能量损失

如图所示为一种紫铜“洗”盆。“洗”是古代盥洗用的脸盆。据说倒些清水在其中，用手掌慢慢摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，到一定节奏还会溅起水花，这是为什么？

提示：用手掌摩擦盆耳，相当于给“洗”盆一个周期性的外力，使其做受迫振动从而发出嗡嗡声；“洗”做受迫振动的同时也带动其中的水做受迫振动，当手掌摩擦盆耳的频率等于水的固有频率时，二者产生共振，从而溅起水花。

1．固有振动和固有频率：如果振动系统不受外力的作用，此时的振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率。

2．阻尼振动

(1)阻力作用下的振动：当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来。

(2)阻尼振动：振幅随时间逐渐减小的振动。振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。

二、受迫振动　共振

1940年11月7日早晨，位于美国华盛顿州的塔克马峡湾悬索大桥在仅仅建成通车四个月后发生了坍塌。这戏剧性的一幕恰好被一个摄影队拍摄了下来，如图所示。据说当时并无风暴等恶劣天气，那是什么导致了这座刚建成通车仅四个月的大桥就轰然倒塌了呢？是桥的质量很差劲吗？

提示：不是桥的质量差劲，相反，桥的质量很好。问题的关键出在桥梁的设计有缺陷——当时的土木工程师没有预见到空气动力给桥梁带来的共振影响，致使该桥在18 m/s的低风速下颤振(共振的一种形式)而倒塌。此次风毁事故立即震动了世界桥梁界，也引发了科学家们对桥梁风导致振动问题的广泛研究。

1．受迫振动

(1)驱动力：作用于振动系统的周期性的外力。

(2)受迫振动：振动系统在驱动力作用下的振动。

(3)受迫振动的频率：做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率没有关系。

2．共振

(1)定义：驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大的现象。

(2)条件：驱动力频率等于系统的固有频率。

(3)特征：共振时受迫振动的振幅最大。

(4)共振曲线：如图所示。表示受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。

3．共振的应用与防止

(1)共振的应用

采用方法：在应用共振时，应使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率。

实例：转速针、共振筛。

(2)共振的防止

采用方法：在防止共振时，应使驱动力频率与系统的固有频率相差越大越好。

实例：部队过桥时用便步；火车过桥时减速。目的都是使驱动力的频率远离物体的固有频率。

(1)固有频率由系统本身决定。(√)

(2)阻尼振动的频率不断减小。(×)

(3)阻尼振动的振幅不断减小。(√)

(4)受迫振动的频率等于振动系统的固有频率。(×)

(5)生活中应尽量使驱动力的频率接近振动系统的固有频率。(×)

(6)驱动力的频率等于系统的固有频率时，发生共振现象。(√)

　对简谐运动及阻尼振动的理解

1．对阻尼振动的理解

(1)同一简谐运动能量的大小由振幅大小确定。

(2)阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅减小得越快。

(3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化。如用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变。

(4)阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当成简谐运动来处理。

(5)如果振动物体从外界取得能量，恰好能补偿能量损失，这时它的振幅将保持不变，称为无阻尼振动。

2．阻尼振动与简谐运动(无阻尼振动)的比较

提醒：

(1)判断一个振动是否为阻尼振动的方法有二：一是从振动现象上看其振幅是否逐渐减小，二是从能量上看其振动能量是否逐渐减小。

(2)简谐运动可视为阻尼振动的理想化情况，如做阻尼振动的物体所受阻力很小，以至于其振动的振幅变化很不明显，这样的阻尼振动可看成简谐运动。

如图所示，荡秋千的小丽，无论开始时她荡得多高，她都会慢慢地停下来，为什么？有什么方法能让她持续荡下去吗？

提示：之所以会慢慢停下来是因为小丽在荡秋千的过程中受各种摩擦阻力和空气阻力，导致其振幅越来越小，最后停止。可给她施加一周期性的外力(如让另一名同学在她旁边有规律地推她)，让她持续荡下去。

【典例】一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是(　　)

A．单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能

B．单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能

C．单摆振幅减小，频率也随着减小

D．单摆振幅减小，其频率也变小

【解析】选A。单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功使机械能转化为其他形式的能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相互转化，单摆从最大位移处向平衡位置运动的过程中，后一时刻的动能大于前一时刻的动能，故选项A正确，选项B错误；做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无关，所以其频率不变，选项C、D错误。

理解阻尼振动需要注意的两点

(1)从振动能量上来讲，由于阻力做负功，振动物体的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小，但由于振动中动能与势能相互转化，不能说下一时刻的动能(或势能)变小；

(2)从振动周期、频率上看，周期与频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期、频率不变。

1.单摆做阻尼振动的振动图像如图所示，曲线上A、B两点的连线与横轴平行，下列说法正确的是(　　)

A．振子在A时刻的动能等于B时刻的动能

B．振子在A时刻的势能大于B时刻的势能

C．振子在A时刻的机械能等于B时刻的机械能

D．振子在A时刻的机械能大于B时刻的机械能

【解析】选D。由于弹簧振子做阻尼振动，所以A时刻的机械能大于B时刻的机械能，选项C错误，D正确；由于振子的势能与振子的位移有关，所以选项B错误；振子在A时刻的动能大于B时刻的动能，选项A错误。

2．单摆在振动过程中，摆动幅度越来越小，这是因为(　　)

A．单摆做的是阻尼振动

B．能量正在逐渐消灭

C．总能量减小，减少的机械能转化为内能

D．动能正在转化为势能

【解析】选A。由题意知，单摆做的是阻尼振动，故A正确；能量不能被消灭，只能发生转化或转移，故B错误；单摆在运动中由于受到空气阻力，要克服空气阻力做功，机械能逐渐减小，转化为内能，由能量守恒定律可知，总能量是守恒的，故C、D错误。

　对受迫振动、共振的理解与应用

角度1对共振的理解

1．共振条件的理解：

(1)从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而使振幅达到最大。

(2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。

2．共振曲线的理解：

(1)两坐标轴的意义：如图所示。

纵轴：受迫振动的振幅，横轴：驱动力频率。

(2)f0的意义：表示固有频率。

(3)认识曲线形状：f＝f0，共振；f＞f0或f＜f0，振幅较小。f与f0相差越大，振幅越小。

(4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小。

唐朝洛阳有个和尚喜欢弹拨乐器——磬，奇怪的是，静静的磬经常自鸣自响，无缘无故地发出嗡嗡的声音，磬无故而鸣使和尚大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯，以为是妖孽作怪，结果忧虑成疾，病倒在床。一天，和尚向前来探望他的朋友诉说了内心的忧虑，正在说话时，寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声，和尚的朋友明白了原因，悄悄用钢锉在磬上锉了几处，从此之后，磬再也不会无故发声了。和尚以为妖怪已被赶走，心事顿消，病也不治而愈。那么，磬为什么会不敲自鸣呢？和尚的朋友又是如何治好和尚的“心病”的呢？

提示：磬不敲自鸣是因为其固有频率和寺里的钟声频率相同引起了共振；和尚的朋友用钢锉在磬上锉了几处，就改变了磬的固有频率，从而破坏了磬和寺里钟声的共振条件，磬也就不会不敲自鸣了。

【典例1】如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，求：

(1)若图线Ⅱ是在地面上完成的，则该摆摆长约为多少？

(2)若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比为多少？

【解析】(1)由题图知，在图线Ⅱ中，单摆的振动周期T＝＝2 s，又由公式T＝2π得：l＝，代入数据解得：l2≈1 m。

(2)若两次受迫振动在地球上同一地点进行，g相同，又由T＝2π得：f＝，即l∝，故设图线Ⅰ和图线Ⅱ对应的单摆摆长分别为l1、l2，则l1∶l2＝f∶f＝25∶4。

答案：(1)1 m　(2)25∶4

角度2自由振动、受迫振动及共振的关系

1．自由振动、受迫振动及共振的比较

2.受迫振动和共振的关系：受迫振动的周期和频率总等于驱动力的周期和频率，但驱动力的频率越接近物体的固有频率，振动的振幅越大，相等时振幅最大。在处理实际问题时要分清振动的类别，注意区分固有频率、受迫振动的频率和驱动力的频率。

不少电影都有类似的桥段：某人大声吼叫或发出所谓音波功，窗户玻璃或桌子上的酒杯就被震碎(如图所示)，以渲染音波功的超强功力。那么这是真的吗？在科学上解释的通吗？如何用物理原理解释这一现象呢？

提示：有些特殊人群，如一些特殊的高音歌唱家，他们的声带频率接近玻璃频率，就有可能引发玻璃共振而破裂。例如，传说中的高音C，声音会让玻璃杯周围的空气以共振频率振动，导致玻璃杯开始振动，如果歌声足够大，玻璃杯就会被震成碎片。因此，声波震碎玻璃在理论上是有可能的。

【典例2】如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，摆球质量均相同，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则稳定后下列说法错误的是(　　)

A．其他各摆振动周期跟A摆相同

B．其他各摆振动的振幅大小相等

C．其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大

D．B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小

【解析】选B。A摆振动后迫使水平绳振动，水平绳又迫使B、C、D、E四摆做受迫振动，由于物体做受迫振动的周期总是等于驱动力的周期，因此B、C、D、E四摆的周期跟A摆相同，驱动力的频率等于A摆的固有频率fA＝＝，其余四摆的固有频率与驱动力的频率关系：fB＝≈1.41fA，fC＝≈0.82fA，fD＝≈0.71fA，fE＝＝fA。可见只有E摆的固有频率与驱动力的频率相等，它发生共振现象，其振幅最大，B、C、D三个摆均不发生共振，振幅各异，其中B摆的固有频率与驱动力的频率相差最大，所以它的振幅最小。

1．(母题追问)在【典例2】中，若A摆在10 s内完成20次全振动，且其振幅为10 cm，则

(1)待A摆振动稳定后，其余几个摆的周期是否相同？各为多少？

(2)待A摆振动稳定后，其余几个摆中哪个摆的振幅最大？为多少？

【解析】(1)由于其余几个摆均做受迫振动，故其周期均等于提供驱动力的A摆的周期，即其周期均为T＝ s＝0.5 s。

(2)由于其余几个摆中只有E摆与A摆的摆长相等，与A摆发生共振，故E摆的振幅最大，为10 cm。

答案：(1)相同　0.5 s　(2)E摆　10 cm

2.如图所示，两个质量分别为M和m的小球，悬挂在同一根水平细线上，当M在垂直于水平细线的平面内摆动时，下列说法错误的是(　　)

A．两摆的振动周期是相同的

B．当两摆的摆长相等时，m摆的振幅最大

C．悬挂M的竖直细线长度变化时，m的振幅不变

D．m摆的振幅可能超过M摆的振幅

【解析】选C。当M在垂直于水平细线的平面内摆动时，m将做受迫振动，其振动周期与M的振动周期相同，当悬挂M的竖直细线的长度变化时，m的振幅也随之变化，当两摆长相等时，m摆发生共振，振幅最大，故A、B均正确，C错误；当m摆发生共振时，其振幅可超过M摆的振幅，D正确。

【加固训练】

1.如图所示是一物体做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系，由图可知(　　)

A．驱动力频率为f2，振子处于共振状态

B．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2或f3

C．要减小共振的危害，必须使物体的振动频率远小于f1

D．要利用共振的效果，必须使物体的振动频率远大于f3

【解析】选A。由共振曲线可知，出现振幅最大，则固有频率等于受迫振动的频率为f2，所以驱动力频率为f2，振子处于共振状态，故A正确；振子做自由振动时，频率由系统本身决定，频率等于振子振动的固有频率f2，故B错误；要减小共振的危害，必须使物体的振动频率远小于或远大于其固有频率f2，故C错误；要利用共振的效果，必须使物体的振动频率等于其固有频率f2。故D错误。

2.如图所示，在一条张紧的绳上挂7个摆，摆球质量均相同，先让A摆振动起来，则其余各摆也随之振动。已知A、B、F三摆的摆长相同，则下列判断正确的是(　　)

A．7个摆的固有频率都相同

B．振动稳定后7个摆的振动频率不一定相同

C．B、F摆的摆长与A摆相同，它们的振幅最大

D．除A摆外，D、E摆离A摆最近，它们的振幅最大

【解析】选C。7个摆的摆长不完全相同，固有频率不完全相同，选项A错误；A摆振动起来后，带动其余6个摆做受迫振动，振动稳定后7个摆的振动频率都相同，选项B错误；B、F摆的摆长与A摆相同，发生共振，振幅最大，选项C正确，D错误。

【拓展例题】考查内容：共振的应用

【典例】

如图所示为受迫振动的演示装置，当单摆A振动起来后，通过水平悬绳迫使单摆B、C振动，则下列说法错误的是(　　)

A．只有A、C摆振动周期相等

B．B摆的振幅比C摆的小

C．A、B、C三摆的振动周期相等

D．B、C两摆振动时的振幅与其摆长有关，而周期与摆长无关

【解析】选A。当单摆A振动起来后，单摆B、C做受迫振动，做受迫振动的物体的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，选项A错误、C正确；由单摆的周期公式T＝2π知，单摆的周期与摆球质量无关，与摆长及重力加速度有关，故C的固有频率与驱动力的频率相等，产生共振，而B的固有频率不等于驱动力的频率，不产生共振，振幅小于A和C，故B、D正确。故选A。Ｋ

如图1所示，洗衣机在脱水结束时，往往会在甩缸停止转动前的某一个时刻，洗衣机突然剧烈振动几下然后再停止。图2则是某种洗衣机的水纹侧板。

探究：

(1)洗衣机为什么会突然剧烈振动几下？

(2)如何解决上述问题？图2中的侧板有何作用？

【解析】(1)洗衣机脱水结束后自动断电，电机转速逐渐减小，当其转动频率达到洗衣机的固有频率时，电机与洗衣机发生共振而使洗衣机剧烈振动。

(2)要解决洗衣机共振问题可从两个方面入手：一是改变电机的转动频率，如无刷变频电机等，二是降低洗衣机本身的固有频率，如图2所示的水纹侧板等，以上措施都能有效减少洗衣机共振现象的发生。

答案：见解析

如图所示装备叫共振筛——一种较为先进的筛分装备，广泛应用于矿山、煤炭、建材、冶金等行业，特别是大型选煤厂各种物料的筛分。

探究：

(1)共振筛的工作原理是什么？

(2)共振筛相对于其他振动筛有什么优点？

【解析】(1)共振筛是一种筛面的振动频率与筛面(包含装载的物料)的固有振动频率一致的振动筛。其具体原理为把筛子用多个弹簧支撑起来，并在筛子上装上偏心轮，偏心轮在皮带的带动下转动，使筛子受到周期驱动力的作用，做受迫振动。调整偏心轮的转速，可使驱动力的频率接近或等于筛子的固有频率，筛子发生共振，从而获得较大振幅，提高筛子的效率。

(2)与振动筛的不同点是：振动筛是在远离共振区的超共振状态下工作；而共振筛是在接近共振区的条件下工作，即筛分机的工作频率接近其筛子本身的固有频率。利用这个特点，就可以用较小的激振力来驱动较大面积的筛箱，所以与其他振动筛相比，共振筛有动力消耗小，而生产能力大的优点。

答案：见解析