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物理粤教版 (2019)第四节 用单摆测量重力加速度同步达标检测题
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这是一份物理粤教版 (2019)第四节 用单摆测量重力加速度同步达标检测题，共15页。试卷主要包含了会根据单摆周期公式确定实验思路，5 C，故选C等内容，欢迎下载使用。
2．会使用刻度尺测量摆长，会使用停表测量单摆的周期．
3．能设计实验方案，会正确安装实验装置并进行实验操作．
4．能正确处理数据并能从多个角度进行实验误差分析．
一、实验器材
长约1 m的细线、球心开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、长约1 m的毫米刻度尺、秒表、游标卡尺．
二、实验原理与设计
单摆做简谐运动时，由周期公式T＝2πLg，可得g＝4π2LT2．因此，测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度．
用秒表测量30～50次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到的便是振动周期．
三、实验步骤
1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的结，制成一个单摆．
2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂，并在单摆平衡位置处做上标记，如图所示．
3．用刻度尺测摆线长度L0(精确到1 mm)，用游标卡尺测小球的直径d．测量多次，取平均值，计算摆长L＝L0＋d2．
4．将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直面内振动．待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次全振动的时间t(注意N以30～50次最佳)，则周期T＝tN．如此重复多次，取平均值．
5．改变摆长，重复实验多次，将数据填入表格．
6．将每次实验得到的L、T代入g＝4π2LT2计算重力加速度，取平均值，即为测得的当地重力加速度．
四、数据处理
1．平均值法：每改变一次摆长，将相应的L和T代入公式g＝4π2LT2中求出g值，最后求出g的平均值．设计如表所示实验表格．
2．图像法：由T＝2πLg得T2＝4π2gL，作出T2-L图像，即以T2为纵轴，以L为横轴，其斜率k＝4π2g．由图像的斜率即可求出重力加速度g．
五、注意事项
1．选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1 m，小球应选用密度较大的金属球，直径最好不超过2 cm．
2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时摆线下滑、摆长改变．
3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°．
4．摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．
5．计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低点时开始计时，以后摆球应从同一方向通过最低点时计数，要多测几次全振动的时间，用取平均值的办法求周期．
六、误差分析
1．本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，是单摆还是复摆，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动，以及测量哪段长度作为摆长等．
2．本实验的偶然误差主要来自时间(单摆周期)的测量上．因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，最好采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．
3．本实验中长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米位即可，时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．
【典例1】 (1)某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请判断是否恰当(选填“是”或“否”)．
①把单摆从平衡位置拉开约5°释放．( )
②在摆球经过最低点时启动秒表计时．( )
③把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期．( )
(2)该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见表．用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数如图，该球的直径为______mm．根据表中数据可以初步判断单摆周期随________的增大而增大．
[解析] 单摆做简谐运动要求摆角小，单摆从平衡位置拉开约5°释放满足此条件；因为最低点位置固定、容易观察，所以在摆球经过最低点时启动秒表计时；摆球一次全振动的时间太短，不易读准，误差大，应测多个周期的时间求平均值；由表中数据可以初步判断单摆周期随摆长的增大而增大．
[答案] (1)①是 ②是 ③否
(2)20.685(20.683～20.687均正确) 摆长
【典例2】 在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g＝________．若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间为75.2 s，单摆摆动周期是________．
为了提高测量精度，需多次改变L值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以L为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：
(1)单摆做简谐运动应满足的条件是________．
(2)试根据图中给出的数据点作出T2和L的关系图线，根据图线可求出g＝______m/s2．(结果取两位有效数字)
[解析] 由T＝2πLg，可知g＝4π2LT2．
由图可知
摆长L＝(88.50－1.00)cm＝87.50 cm＝0.875 0 m．
T＝t40＝1.88 s．
(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°．
(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，如答案图所示，则直线斜率k＝ΔT2ΔL．由g＝4π2ΔLΔT2＝4π2k，可得g＝9.8 m/s2(9.9 m/s2也正确)．
[答案] 4π2LT2 0.8750 1.88 s
(1)摆角小于5°
(2)如图所示 9.8 m/s2(9.9 m/s2也正确)
【典例3】 甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度．
(1)甲组同学采用如图甲所示的实验装置．
①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用________．(用器材前的字母表示)
a．长度接近1 m的细绳
b．长度为30 cm左右的细绳
c．直径为1.8 cm的塑料球
d．直径为1.8 cm的铁球
e．最小刻度为1 cm的米尺
f．最小刻度为1 mm的米尺
②该组同学先测出悬点到小球球心的距离L，然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t．请写出重力加速度的表达式g＝________．(用所测物理量表示)
③在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值________．(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示．将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v-t图线．
①由图丙可知，该单摆的周期T＝________s；
②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2-L图线，并根据图线拟合得到方程T2＝4.04L．由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2 ．(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)
[解析] (1)①根据T＝2πLg得g＝4π2LT2，知需要测量摆长，即摆线长和小球的直径，摆线应选1 m左右的不可伸长的线，小球应选用质量大、体积小的金属球，测量摆线长的米尺的最小刻度应为1 mm，故选a、d、f．
②因为T＝tn，则g＝4π2LT2＝4π2n2Lt2．
③摆长略微变长，则摆长的测量值偏小，则导致测得的重力加速度偏小．
(2)①由v-t图线可知，单摆的周期T＝2.0 s．
②由T＝2πLg，得T2＝4π2gL
即图线的斜率k＝4π2g＝4.04
解得g≈9.76 m/s2．
[答案] (1)①a d f ②4π2n2Lt2 ③偏小 (2)①2.0 ②9.76
1．某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验．某次用刻度尺测得摆线长为67.80 cm．用游标卡尺测得小球直径的读数如图甲所示，则小球直径为________cm；重复实验几次，改变摆线的长度L，用秒表测出相应的周期T，再以L为横坐标，T2为纵坐标作图，对应的图像应为图乙中的直线________(选填“1”“2”或“3”)．若已知直线的斜率为k，请写出重力加速度g的表达式________．
[解析] 根据游标卡尺的读数规律，直径为1.6 cm＋0.05×8 mm＝1.640 cm
根据公式g＝4π2LT2
可知，对应的图像应为图乙中的直线“2”
因为g＝4π2LT2斜率k＝T2L
所以重力加速度可表示为g＝4π2k．
[答案] 1.640 2 4π2k
2．(2022·四川省绵阳南山中学高二期中)南山中学某物理课外活动小组准备测量南山公园处的重力加速度，其中一小组同学将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下半部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁．本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g．
(1)实验时用10分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图所示，该摆球的直径d＝________ mm．
(2)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时，同时数0，当摆球第二次通过最低点时数1，依此法往下数，当他数到60时，按下停表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为________．
A．t29 B．t29．5 C．t30 D．t59
(3)如果实验中所得到的T2-L关系图线如图乙中的________所示(选填“a”“b”或“c”)，当地的重力加速度g＝________ m/s2(π取3.14，结果取小数点后两位)．
[解析] (1)游标卡尺读数为12 mm＋0×0.1 mm＝12.0 mm．
(2)摆球运动一个周期内两次经过最低点，从“0”数到“60”时经历了30个周期，则该单摆的周期为t30．故选C．
(3)摆线在筒内部分的长度为h，由T＝2πL+hg
可得T2＝4π2gL＋4π2gh
可知T2-L关系图线应为a，再将
T2＝0
L＝－30 cm
代入T2＝4π2gL＋4π2gh
可得h＝30 cm＝0.3 m
将
T2＝1.20 s2
L＝0
代入T2＝4π2gL＋4π2gh
可求得g＝π2≈9.86 m/s2．
[答案] (1)12.0 (2)C (3)a 9.86
3．(2022·上海市向明中学高二期中)做“用单摆测定重力加速度”的实验，供选择的器材有：
A．1.2 m长的细线
B．约2 m长的弹性绳
C．带孔的小铁球
D．带孔的软木球
E．光电门
(1)应选用的摆线是________，摆球是________(均选填器材前面的字母)．光电门应放在摆球摆动过程中的________(选填“最低点”或“最高点”)．
(2)改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图像如图甲所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是( )
A．测周期时多数了一个周期
B．测周期时少数了一个周期
C．测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D．测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长
(3)某同学在家里测重力加速度．他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图乙所示．由于家里只有一根量程为30 cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程．保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长．实验中，当O、A间细线的长度分别为l1、l2时，测得相应单摆的周期为T1、T2．由此可得重力加速度g＝________(用l1、l2、T1、T2表示)．
[解析] (1)单摆实验应选细线，弹性绳在运动过程中长度发生改变，导致摆长变化，所以应选1.2 m的细线；为了减小实验误差，摆球选择质量大、体积小的铁球；在测量时间时，因为最高点附近速度小，最低点附近速度大，所以光电门应摆在最低点附近，测量误差小．
(2)摆线长度L与摆球半径r之和是单摆摆长，即l＝L＋r
由单摆周期公式T＝2πlg
可知T2＝4π2gl＝4π2gL＋4π2gr
T2-l图像是过原点的直线，如果漏了摆球半径r而把摆线长度L作为摆长，T2-l图像在纵轴上有截距，图像不过原点，由图示图像可知，图像不过原点的原因是测摆长时直接将摆线的长度作为摆长造成的．故C正确；A、B、D错误．
(3)根据单摆的周期公式T＝2πlg
设A点到铁锁的重心之间的距离为l0，细线长度为l1时，
T1＝2πl1+l0g
细线长度为l2时，T2＝2πl2+l0g
联立解得g＝4π2l1-l2T12-T22．
[答案] (1)A C 最低点 (2)C 34π2l1-l2T12-T22
4．某实验小组利用单摆测当地的重力加速度，实验装置如图甲所示：
(1)实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是________(填选项前的字母)．
A．以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算
B．单摆所用摆球质量太大
C．把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间
D．开始计时时，秒表过早按下
(2)从悬点到小球重心的距离记为摆长l，通过不断改变摆长l的长度，该小组测得多组摆长l和对应的周期的平方T2，然后在图乙所给的坐标系中作出了l-T2图像，则根据图像可求得当地的重力加速度g＝________(用图乙中所给字母表示)．
[解析] (1)根据T＝2πLg得：g＝4π2LT2．以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算，则L偏大，测得的g偏大，故A正确；重力加速度与单摆所用摆球质量大小无关，故B错误；把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间，则周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故C正确；开始计时时，秒表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误．
(2)根据T＝2πlg得l＝g4π2T2，则 k＝g4π2＝l2-l1b2-b1，解得g＝4π2l2-l1b2-b1．
[答案] (1)AC (2)4π2l2-l1b2-b1
5．(2022·江苏徐州市第七中学高二阶段练习)在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
(1)若完成n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测得的摆线长(悬点到摆球上端的距离)为L0，用刻度尺测得摆球的直径为d，用上述物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式g＝________．
(2)实验中某同学发现测得的重力加速度的值总是偏大，下列原因中可能的是________．
A．实验室处在高山上，距离海面太高
B．单摆所用的摆球质量太大了
C．实际测出n次全振动的时间t，误作为(n＋1)次全振动的时间
D．以线长作为摆长来计算
(3)甲同学测量出几组不同摆长L和周期T的数值，画出如图T2-L图像中的实线OM；乙同学也进行了与甲同学同样的实验，但实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学做出的T2-L图像为________(选填①②③或④)．
(4)丙同学将单摆固定在力传感器上，得到了拉力随时间的变化曲线，已知摆长L1＝0.99 m，根据图中的信息可得，重力加速度g＝________ m/s2(取π2＝9.87，结果保留三位有效数字)．
[解析] (1)根据T＝2πLg
可得g＝4π2LT2＝4π2L0+d2tn2＝4π2n2L0+d2t2．
(2)测得的重力加速度偏大，根据g＝4π2LT2，实验室处在高山上，距离海面太高，则重力加速度会偏小，A错误；单摆所用的摆球质量大小与周期无关，B错误；实际测出n次全振动的时间t，误作为(n＋1)次全振动的时间，则周期测量值偏小，计算出的重力加速度偏大，C正确；以摆线长作为摆长来计算，则摆长计算偏小，测得的重力加速度偏小，D错误；故选C．
(3)根据单摆的周期公式T＝2πLg
可得T2＝4π2gL
图线斜率k＝4π2g
解得g＝4π2k
实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，摆长L＝0时，纵轴截距不为零，加上摆球半径后图像应该到正确位置，即M位置，由于重力加速度不变，则图线的斜率不变，故图像应该为②．
(4)由图像可知，单摆的周期为T＝2 s，则根据T＝2πLg
可得g＝4π2LT2＝4×9.87×0.9922 m/s2≈9.77 m/s2．
[答案] (1)4π2n2L0+d2t2 (2)C (3)② (4)9.77
实验次数
摆长L/m
周期T/s
加速度g/(m·s-2)
g的平均值
1
g＝g1+g2+g33
2
3
数据组编号
摆长/mm
摆球质量/g
周期/s
1
999.3
32.2
2.0
2
999.3
16.5
2.0
3
799.2
32.2
1.8
4
799.2
16.5
1.8
5
501.1
32.2
1.4
6
501.1
16.5
1.4
2．会使用刻度尺测量摆长，会使用停表测量单摆的周期．
3．能设计实验方案，会正确安装实验装置并进行实验操作．
4．能正确处理数据并能从多个角度进行实验误差分析．
一、实验器材
长约1 m的细线、球心开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、长约1 m的毫米刻度尺、秒表、游标卡尺．
二、实验原理与设计
单摆做简谐运动时，由周期公式T＝2πLg，可得g＝4π2LT2．因此，测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度．
用秒表测量30～50次全振动的时间，计算平均做一次全振动的时间，得到的便是振动周期．
三、实验步骤
1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的结，制成一个单摆．
2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂，并在单摆平衡位置处做上标记，如图所示．
3．用刻度尺测摆线长度L0(精确到1 mm)，用游标卡尺测小球的直径d．测量多次，取平均值，计算摆长L＝L0＋d2．
4．将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直面内振动．待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次全振动的时间t(注意N以30～50次最佳)，则周期T＝tN．如此重复多次，取平均值．
5．改变摆长，重复实验多次，将数据填入表格．
6．将每次实验得到的L、T代入g＝4π2LT2计算重力加速度，取平均值，即为测得的当地重力加速度．
四、数据处理
1．平均值法：每改变一次摆长，将相应的L和T代入公式g＝4π2LT2中求出g值，最后求出g的平均值．设计如表所示实验表格．
2．图像法：由T＝2πLg得T2＝4π2gL，作出T2-L图像，即以T2为纵轴，以L为横轴，其斜率k＝4π2g．由图像的斜率即可求出重力加速度g．
五、注意事项
1．选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于1 m，小球应选用密度较大的金属球，直径最好不超过2 cm．
2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时摆线下滑、摆长改变．
3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°．
4．摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆．
5．计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低点时开始计时，以后摆球应从同一方向通过最低点时计数，要多测几次全振动的时间，用取平均值的办法求周期．
六、误差分析
1．本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，是单摆还是复摆，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动，以及测量哪段长度作为摆长等．
2．本实验的偶然误差主要来自时间(单摆周期)的测量上．因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，最好采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．
3．本实验中长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米位即可，时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．
【典例1】 (1)某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请判断是否恰当(选填“是”或“否”)．
①把单摆从平衡位置拉开约5°释放．( )
②在摆球经过最低点时启动秒表计时．( )
③把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期．( )
(2)该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见表．用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数如图，该球的直径为______mm．根据表中数据可以初步判断单摆周期随________的增大而增大．
[解析] 单摆做简谐运动要求摆角小，单摆从平衡位置拉开约5°释放满足此条件；因为最低点位置固定、容易观察，所以在摆球经过最低点时启动秒表计时；摆球一次全振动的时间太短，不易读准，误差大，应测多个周期的时间求平均值；由表中数据可以初步判断单摆周期随摆长的增大而增大．
[答案] (1)①是 ②是 ③否
(2)20.685(20.683～20.687均正确) 摆长
【典例2】 在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g＝________．若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间为75.2 s，单摆摆动周期是________．
为了提高测量精度，需多次改变L值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以L为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：
(1)单摆做简谐运动应满足的条件是________．
(2)试根据图中给出的数据点作出T2和L的关系图线，根据图线可求出g＝______m/s2．(结果取两位有效数字)
[解析] 由T＝2πLg，可知g＝4π2LT2．
由图可知
摆长L＝(88.50－1.00)cm＝87.50 cm＝0.875 0 m．
T＝t40＝1.88 s．
(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°．
(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，如答案图所示，则直线斜率k＝ΔT2ΔL．由g＝4π2ΔLΔT2＝4π2k，可得g＝9.8 m/s2(9.9 m/s2也正确)．
[答案] 4π2LT2 0.8750 1.88 s
(1)摆角小于5°
(2)如图所示 9.8 m/s2(9.9 m/s2也正确)
【典例3】 甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度．
(1)甲组同学采用如图甲所示的实验装置．
①为比较准确地测量出当地重力加速度的数值，除秒表外，在下列器材中，还应该选用________．(用器材前的字母表示)
a．长度接近1 m的细绳
b．长度为30 cm左右的细绳
c．直径为1.8 cm的塑料球
d．直径为1.8 cm的铁球
e．最小刻度为1 cm的米尺
f．最小刻度为1 mm的米尺
②该组同学先测出悬点到小球球心的距离L，然后用秒表测出单摆完成n次全振动所用的时间t．请写出重力加速度的表达式g＝________．(用所测物理量表示)
③在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值________．(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
(2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示．将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v-t图线．
①由图丙可知，该单摆的周期T＝________s；
②更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2-L图线，并根据图线拟合得到方程T2＝4.04L．由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2 ．(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)
[解析] (1)①根据T＝2πLg得g＝4π2LT2，知需要测量摆长，即摆线长和小球的直径，摆线应选1 m左右的不可伸长的线，小球应选用质量大、体积小的金属球，测量摆线长的米尺的最小刻度应为1 mm，故选a、d、f．
②因为T＝tn，则g＝4π2LT2＝4π2n2Lt2．
③摆长略微变长，则摆长的测量值偏小，则导致测得的重力加速度偏小．
(2)①由v-t图线可知，单摆的周期T＝2.0 s．
②由T＝2πLg，得T2＝4π2gL
即图线的斜率k＝4π2g＝4.04
解得g≈9.76 m/s2．
[答案] (1)①a d f ②4π2n2Lt2 ③偏小 (2)①2.0 ②9.76
1．某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验．某次用刻度尺测得摆线长为67.80 cm．用游标卡尺测得小球直径的读数如图甲所示，则小球直径为________cm；重复实验几次，改变摆线的长度L，用秒表测出相应的周期T，再以L为横坐标，T2为纵坐标作图，对应的图像应为图乙中的直线________(选填“1”“2”或“3”)．若已知直线的斜率为k，请写出重力加速度g的表达式________．
[解析] 根据游标卡尺的读数规律，直径为1.6 cm＋0.05×8 mm＝1.640 cm
根据公式g＝4π2LT2
可知，对应的图像应为图乙中的直线“2”
因为g＝4π2LT2斜率k＝T2L
所以重力加速度可表示为g＝4π2k．
[答案] 1.640 2 4π2k
2．(2022·四川省绵阳南山中学高二期中)南山中学某物理课外活动小组准备测量南山公园处的重力加速度，其中一小组同学将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下半部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁．本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g．
(1)实验时用10分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图所示，该摆球的直径d＝________ mm．
(2)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时，同时数0，当摆球第二次通过最低点时数1，依此法往下数，当他数到60时，按下停表停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为________．
A．t29 B．t29．5 C．t30 D．t59
(3)如果实验中所得到的T2-L关系图线如图乙中的________所示(选填“a”“b”或“c”)，当地的重力加速度g＝________ m/s2(π取3.14，结果取小数点后两位)．
[解析] (1)游标卡尺读数为12 mm＋0×0.1 mm＝12.0 mm．
(2)摆球运动一个周期内两次经过最低点，从“0”数到“60”时经历了30个周期，则该单摆的周期为t30．故选C．
(3)摆线在筒内部分的长度为h，由T＝2πL+hg
可得T2＝4π2gL＋4π2gh
可知T2-L关系图线应为a，再将
T2＝0
L＝－30 cm
代入T2＝4π2gL＋4π2gh
可得h＝30 cm＝0.3 m
将
T2＝1.20 s2
L＝0
代入T2＝4π2gL＋4π2gh
可求得g＝π2≈9.86 m/s2．
[答案] (1)12.0 (2)C (3)a 9.86
3．(2022·上海市向明中学高二期中)做“用单摆测定重力加速度”的实验，供选择的器材有：
A．1.2 m长的细线
B．约2 m长的弹性绳
C．带孔的小铁球
D．带孔的软木球
E．光电门
(1)应选用的摆线是________，摆球是________(均选填器材前面的字母)．光电门应放在摆球摆动过程中的________(选填“最低点”或“最高点”)．
(2)改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图像如图甲所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是( )
A．测周期时多数了一个周期
B．测周期时少数了一个周期
C．测摆长时直接将摆线的长度作为摆长
D．测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长
(3)某同学在家里测重力加速度．他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图乙所示．由于家里只有一根量程为30 cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程．保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长．实验中，当O、A间细线的长度分别为l1、l2时，测得相应单摆的周期为T1、T2．由此可得重力加速度g＝________(用l1、l2、T1、T2表示)．
[解析] (1)单摆实验应选细线，弹性绳在运动过程中长度发生改变，导致摆长变化，所以应选1.2 m的细线；为了减小实验误差，摆球选择质量大、体积小的铁球；在测量时间时，因为最高点附近速度小，最低点附近速度大，所以光电门应摆在最低点附近，测量误差小．
(2)摆线长度L与摆球半径r之和是单摆摆长，即l＝L＋r
由单摆周期公式T＝2πlg
可知T2＝4π2gl＝4π2gL＋4π2gr
T2-l图像是过原点的直线，如果漏了摆球半径r而把摆线长度L作为摆长，T2-l图像在纵轴上有截距，图像不过原点，由图示图像可知，图像不过原点的原因是测摆长时直接将摆线的长度作为摆长造成的．故C正确；A、B、D错误．
(3)根据单摆的周期公式T＝2πlg
设A点到铁锁的重心之间的距离为l0，细线长度为l1时，
T1＝2πl1+l0g
细线长度为l2时，T2＝2πl2+l0g
联立解得g＝4π2l1-l2T12-T22．
[答案] (1)A C 最低点 (2)C 34π2l1-l2T12-T22
4．某实验小组利用单摆测当地的重力加速度，实验装置如图甲所示：
(1)实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是________(填选项前的字母)．
A．以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算
B．单摆所用摆球质量太大
C．把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间
D．开始计时时，秒表过早按下
(2)从悬点到小球重心的距离记为摆长l，通过不断改变摆长l的长度，该小组测得多组摆长l和对应的周期的平方T2，然后在图乙所给的坐标系中作出了l-T2图像，则根据图像可求得当地的重力加速度g＝________(用图乙中所给字母表示)．
[解析] (1)根据T＝2πLg得：g＝4π2LT2．以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算，则L偏大，测得的g偏大，故A正确；重力加速度与单摆所用摆球质量大小无关，故B错误；把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间，则周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故C正确；开始计时时，秒表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误．
(2)根据T＝2πlg得l＝g4π2T2，则 k＝g4π2＝l2-l1b2-b1，解得g＝4π2l2-l1b2-b1．
[答案] (1)AC (2)4π2l2-l1b2-b1
5．(2022·江苏徐州市第七中学高二阶段练习)在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
(1)若完成n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测得的摆线长(悬点到摆球上端的距离)为L0，用刻度尺测得摆球的直径为d，用上述物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式g＝________．
(2)实验中某同学发现测得的重力加速度的值总是偏大，下列原因中可能的是________．
A．实验室处在高山上，距离海面太高
B．单摆所用的摆球质量太大了
C．实际测出n次全振动的时间t，误作为(n＋1)次全振动的时间
D．以线长作为摆长来计算
(3)甲同学测量出几组不同摆长L和周期T的数值，画出如图T2-L图像中的实线OM；乙同学也进行了与甲同学同样的实验，但实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学做出的T2-L图像为________(选填①②③或④)．
(4)丙同学将单摆固定在力传感器上，得到了拉力随时间的变化曲线，已知摆长L1＝0.99 m，根据图中的信息可得，重力加速度g＝________ m/s2(取π2＝9.87，结果保留三位有效数字)．
[解析] (1)根据T＝2πLg
可得g＝4π2LT2＝4π2L0+d2tn2＝4π2n2L0+d2t2．
(2)测得的重力加速度偏大，根据g＝4π2LT2，实验室处在高山上，距离海面太高，则重力加速度会偏小，A错误；单摆所用的摆球质量大小与周期无关，B错误；实际测出n次全振动的时间t，误作为(n＋1)次全振动的时间，则周期测量值偏小，计算出的重力加速度偏大，C正确；以摆线长作为摆长来计算，则摆长计算偏小，测得的重力加速度偏小，D错误；故选C．
(3)根据单摆的周期公式T＝2πLg
可得T2＝4π2gL
图线斜率k＝4π2g
解得g＝4π2k
实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，摆长L＝0时，纵轴截距不为零，加上摆球半径后图像应该到正确位置，即M位置，由于重力加速度不变，则图线的斜率不变，故图像应该为②．
(4)由图像可知，单摆的周期为T＝2 s，则根据T＝2πLg
可得g＝4π2LT2＝4×9.87×0.9922 m/s2≈9.77 m/s2．
[答案] (1)4π2n2L0+d2t2 (2)C (3)② (4)9.77
实验次数
摆长L/m
周期T/s
加速度g/(m·s-2)
g的平均值
1
g＝g1+g2+g33
2
3
数据组编号
摆长/mm
摆球质量/g
周期/s
1
999.3
32.2
2.0
2
999.3
16.5
2.0
3
799.2
32.2
1.8
4
799.2
16.5
1.8
5
501.1
32.2
1.4
6
501.1
16.5
1.4
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