北师大版七年级数学上册同步精品讲义 第41讲+第五章+一元一次方程全章复习与巩固

第41讲 一元一次方程全章复习目标导航知识清单知识点01 一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 知识点02 一元一次方程的解法◆合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用.◆移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.◆去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号.◆去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数.【注意】：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号.知识点03 必备公式或关系式考点精析考点一 一元一次方程的概念1.已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）2.若方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）3.已知方程是关于的一元一次方程，则　 　．考点二 一元一次方程的解1.若关于的方程的解是，则的值是（ ）2.已知是关于x的方程的解，则a的值为（ ）3.若x=3是关于x的一元一次方程mx-n=3的解，则代数式10-3m＋n的值是_______．4.若是一元一次方程的解，则的值是（ ）考点三 等式的性质1.下列等式一定成立的是（ ）2.下列判断错误的是（ ）3.下列变形中，正确的是（ ）4.下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ）5.下列说法错误的是（ ）6.下列等式变形错误的是（ ）考点四 解一元一次方程1.解方程：（1） （2）2.解下列一元一次方程：（1） （2）3x-4（x+1）=3-2（2x-5）3.解下列一元一次方程： （1） （2） 4.解方程：4x+3（2x-3）=12-（x+4）．5.解方程：．6.解方程：．7.解方程：.8.解方程：．解方程：．9.解下列一元一次方程： （1） （2） 10.解方程：.11.解方程：．考点五 解一元一次方程的应用1.若关于的方程的解为整数，求整数的值．2.若关于的方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（ ）3.已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（ ）4.已知关于的两个方程和．（1）用含的式子表示方程的解．（2）若方程与的解相同，求的值．5.如果方程的解与方程3x-（3a+1）=x+（2a-1）的解相同，求式子的值．6.已知关于的方程与的解互为倒数，求的值．7.已知关于的方程的解与方程的解互为倒数，求的值．考点六 定义新运算1.用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，，规定．例如：．（1）求的值；（2）若，求的值．2.定义一种新运算“⊕”：⊕，比如：1⊕．（1）求⊕3的值；（2）若⊕，求的值．3.定义一种新运算．（1）试求的值；（2）若，求的值．4.用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定如下：※．例如：※．（1）求2※的值；（2）化简：※※；（3）若※※，求的值．考点七 一元一次方程的实际应用类型一 和差倍分问题1.今有若干人乘车，每3人共乘一车且坐满，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）2.某寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排 4 人，将会空出 5 间宿舍；如果每间宿舍安排 3 人，就会有 100 人没床位．问该校有多少学生住宿？如果设该校有 x 人住宿，那么依题意可以列出的方程是（ ）3.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（ ）4.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设有x个人共同买鸡，依题意可列方程为（ ）5.《九章算术》是中国古代的数学专著，其中载有“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文“假设有若干人共同出钱买羊，如果每人出5钱，那么还差45钱；如果每人出7钱，那么还差3钱，求买羊的人数和羊的价钱．”设羊价是x钱，则可列方程为（ ）类型二 日历问题1.如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，则这7个数的和不可能是（ ） 2.如图是2020年1月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中个数（如、、、、）．若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的个数，则这个数的和可能为（ ） 3.将连续的奇数1、3、5、7、9、11等，按一定规律排成如图：图中的T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（ ） 4.如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的5个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，在本月历中这5个数的和可能的是（ ） 类型三 配套问题1.新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产400个口罩面或500个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下列所列方程正确的是（ ）2.用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底个，一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒，现有张铁皮，用_____张铁皮制作盒身，正好使得这张铁皮制作出来的盒身和盒底全部配套．3.某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个．（1）该工厂有男工、女工各多少人？（2）该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？4.某工厂有28名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件18个或零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个零件配两个零件.工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利10元，每个零件可获利5元.（1）若每天生产的零件和零件恰好配套，求该工厂每天有多少工人生产零件？（2）因市场需求，该工厂每天在生产配套的零件外，还要多生产出一部分零件供商场零售.在（1）的人员分配情况下，现从生产零件的工人中调出多少名工人生产零件，才能使每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元？类型四 工程问题1.整理一批数据，由一人做需要40 h，现在先安排一些人做2 h，然后再增加3人做4小时，刚好完成这项工作的．问先安排做2h的人数是多少？若设先安排x人做2h，则可列方程为（ ）2.整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现计划由一部分人先做3小时，然后增加2人与他们一起做6小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做3小时，下列四个方程中正确的是（ ）3.哈市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标、经测算：甲队单独完成这项工程需要30天，乙队单独完成这项工程需要45天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作，共完成总工作量的．（1）求甲、乙两队合作了多少天？（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，该工程由甲队先做若干天后，再由乙队完成剩余的工作，若要求完成此工程的工程款恰好是100万元，求甲队工作了几天？4.甲、乙两工程队共同承包了一段长9200米的某“村村通”道路硬化工程，计划由两工程队分别从两端相向施工．已知甲队平均每天可完成460米，乙队平均每天比甲队多完成230米．（1）若甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要几天？（2）若甲乙两队共同施工5天后，甲队被调离去支援其他工程，剩余的部分由乙队单独完成，则乙队需再施工多少天才能完成任务？5.甲、乙两个工程队第一次合作完成6000米的公路修建工程，两队的修建速度及每天所需工程费的情况如表所示，最终甲队的工作天数比乙队的工作天数的2倍少20天．（1）甲、乙两队分别工作了多少天？完成该项工程甲、乙两队所需工程费各多少元？（2）甲、乙两个工程队第二次又合作完成某项公路修建工程，其中乙队分到的工作量是它的第一次的2倍，同时由于乙队减少了人员和设备，修建速度比它的第一次减少了25%，每天所需工程费也因此而打折．完成该项任务后，乙队所需工程费比它的第一次多了38000元，求乙队第二次每天所需工程费是它的第一次的几折？类型五 销售问题1.已知某种商品的售价每件为150元，即使促销降价20%后，扣除成本仍有20%的利润，那么该商品每件的成本价是______元．2.某商品按原价的8折出售，仍可获利20%，若商品的原价为2400元，则该商品的进价为（ ）3.某商场把一台电脑按标价的9折出售，仍可获利20%，若该电脑的标价是3200元，则电脑的进价为_____元．4.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）5.某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是60元，若按成本计，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中他（ ）6.某服装店分别用100元的价格卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件这两件服装的盈利情况是（ ）7.某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以80元出售，若按成本计算，其中一件赢利60%，另一件亏本20%，在这次买卖中，该商贩（ ）8.两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（ ）9.丹尼斯经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润20元；乙种商品每件进价50元，售价80元．（1）甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ；（2）丹尼斯同时购进甲、乙两种商品共50件，总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？（3）在“春节”期间，该商场对所有商品进行如下的优患促销话动：按上述优惠条件，若小丽一次性购买乙种商品实际付款504元，求小丽购买商品的原价是多少？10.平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元．（1）甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ；（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？类型六 分段计费问题1.为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过200度，那么每度按0.5元收费；如果超过200度，那么超过部分按0.8元收费．（1）某户居民在一个月内用电150度，那么他这个月应缴纳电费多少元？（2）如果该居民在一个月内用电度，那么这个月他应缴纳电费多少元？（3）如果他这个月缴纳电费148元，则他这个月用电多少度？2.为了节约用水，某市决定调整居民用水收费方法，规定如果每户每月用水不超过20吨，每吨水收费2元，如果每户每月用水超过20吨，则超过部分每吨水收费2.5元；小红看到这种收费方法后，想算算她家每月的水费，但她不清楚家里每月用水是否超过20吨． （1）如果小红家每月用水15吨，则水费是 元；如果小红家每月用水23吨，则水费是 元．（2）如果字母x表示小红家每月用水的吨数，那么小红家每月的水费该如何用x的代数式表示．当时，每个月的水费为： （用含x的代数式表示）；当时，每个月的水费为： （用含x的代数式表示）；（3）小红家第二季度交纳水费的情况如下：小红家这个季度共用水多少吨？3.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，自来水收费价格见下表．若某户居民1月用水8吨，则应收水费：2×6+4×（8-6）=20元．（注：水费按月结．）（1）若该户居民2月用水12.5吨，则应收水费多少元？（2）若该户居民3、4月共用水15吨（4月用水量超过3月），共交水费44元，则该户居民3、4月各用水多少吨？类型七 方案选择问题1.某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x（x>20）．（1）若该客户按方案①购买，需付款_________元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款________元（用含x的代数式表示）；（2）若x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．2.为了抗击新冠肺炎疫情，健民药店对消毒液和口罩开展优惠活动．消毒液每桶标价15元，口罩每包标价5元．现在药店有两种优惠方式：①按标价购买时，买一桶消毒液送一包口罩；②消毒液和口罩都按定价的80%付款．现在某单位要到该药店购买消毒液40桶，口罩x包．（1）该单位按优惠方式①购买需要付款________元（用含x的式子表示）；该单位按优惠方式②购买需要付款________元（用含x的式子表示）．（2）试求当x取何值时，方式①和方式②的购买费用一样．（3）当时，通过计算说明按哪个优惠方式购买最合适．3.某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案：方案一：买一件裤子送一件T恤；方案二：裤子和T恤都按定价的80%付款．现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）：（1）按方案一，购买裤子和T恤共需付款______（用含x的式子表示）；按方案二，购买裤子和T恤共需付款______（用含x的式子表示）；（2）计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？（3）若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若能，请直接写出该购买方案下共需付款数目．4.某家具厂生产一种餐桌和椅子，餐桌每张定价为500元，椅子每把定价为100元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：方案一：每买一张餐桌就赠送2把椅子；方案二：餐桌和椅子都按定价的八折付款．某餐厅计划添置100张餐桌和x把椅子：（1）当x＝200时，若按方案一购买，共需付款　 　元，若按方案二购买，共需付款　 　元；（2）当x＞200时，若按方案一购买，共需付款　 　元，若按方案二购买，共需付款　 　元；（用含x的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，按哪种方案购买更省钱？为什么？5.甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案：（1）小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？（2）小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？（3）小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？类型八 行程问题1.“十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家．（1）若两人同时出发，小张车速为20千米，小李车速为15千米，经过多少小时能相遇？（2）若小李的车速为10千米，小张提前20分钟出发，两人商定小李出发后半小时二人相遇，则小张的车速应为多少？2.、两地相距215千米，甲骑自行车从地去地，乙开汽车从地去地，若汽车的速度是自行车速度的4倍，若2小时后两车相距25千米，则自行车的速度为　 　千米时．3.一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶用2小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用3小时，已知轮船在静水中的速度为30千米时，则水流的速度为　 　千米时．4.一艘轮船在一条河流里航行，轮船先从码头顺流航行至码头，然后逆流航行至码头共用了3小时，已知这艘轮船在静水中的速度是7.5千米小时，水流速度是2.5千米小时，码头至码头的航程比码头至码头的航程少3千米，问这艘轮船一共走了多少千米？5.已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．6.桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．课程标准1.掌握一元一次方程及其解的概念； 2.掌握等式的性质；3.掌握一元一次方程的解法（移项、去括号、去分母）；4.掌握一元一次方程的各类题型（整数解、同解方程、定义新运算等）；5.掌握一元一次方程的实际应用的各类题型的方法.类型公式或关系式销售问题利润=售价-进价；工程问题工作总量=工作效率×工作时间行程问题路程=速度×时间顺水逆水问题顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速A．-2B．C．2D．0A．3B．-3C．±3D．A．2B．3C．4D．5A．B．1C．D．3A．11B．-11C．-7D．7A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则A．若，则B．若，则 C．若，则D．若，则A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则A．若则B．若则C．若则D．若则A．若a=b，则B．若a=b，则C．若，则a=bD．若a=b，则A．B．C．5D．24A．B．23C．D．34A．−9B．+2＝C．−2＝D．+9A．B．C．D．A．25B．75C．81D．90A．9x-11=6x+16B．9x+11=6x-16C．D．A．B．C．D．A．63B．70C．105D．96A．41B．42C．81D．120A．34B．62C．118D．158A．64B．75C．86D．126A．B．C．D．A．B．C．D．A．B．C．D．甲乙修建速度（米/天）9080每天所需工程费（元）12001000A．1600元B．1640元C．1680元D．1860元A．8折B．7折C．6折D．5折A．赚7元B．赚8元C．赔7元D．赔8元A．盈利B．亏损C．不盈不亏D．无法确定A．不盈不亏B．盈利10元C．亏损10元D．盈利50元A．赢利16.8元B．亏本3元C．赢利3元D．不赢不亏打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于450元不优惠超过450元但不超过600元按售价打九折超过600元其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠打折前一次性购物总金额优惠措施不超过380元不优惠超过380元，但不超过500元售价打九折超过500元售价打八折月份四月份五月份六月份交费金额（单位：元）263450.5每月用水量单价不超过6吨的部分2元/吨超过6吨不超过10吨的部分4元/吨超过10吨部分8元/吨甲超市乙超市消费金额（元）优惠活动消费金额（元）优惠活动0～100（包含100）无优惠0～200（包含200）无优惠100～350（包含350）一律享受九折优惠大于200超过200元的部分享受八折优惠大于350一律享受八折优惠