新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第24讲 定值问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点 SKIPIF 1 < 0
（Ⅰ）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点 SKIPIF 1 < 0 作与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直的任意直线 SKIPIF 1 < 0 ”交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为定值，且定值是 SKIPIF 1 < 0 ”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过该圆锥曲线焦点 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长度与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线 SKIPIF 1 < 0 的类似的正确命题，并加以证明．
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 的另一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 （1分）
由 SKIPIF 1 < 0 （3分）
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 （4分）
双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0
（Ⅱ）关于抛物线 SKIPIF 1 < 0 的类似命题为：过抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 作与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直的任意直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为定值，定值是2（6分）
证明如下：由于直线与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直，可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
联立方程 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
由题意 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，△ SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标 SKIPIF 1 < 0 （8分）
SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （9分）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 （10分）
（Ⅲ）过圆锥曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为定值，定值是 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 是圆锥曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率）（13分）
（法二）由题意可设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 （1分）
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 （3分）
解可得， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 （4分）
（Ⅱ），（Ⅲ）同法一
2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的射影恰为该椭圆的一个焦点 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点 SKIPIF 1 < 0 作与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直的任意直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴的射影恰为该椭圆的一个焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入，得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 （4分）
SKIPIF 1 < 0 “过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点 SKIPIF 1 < 0 作与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直的任意直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，
线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为定值，且定值是4” SKIPIF 1 < 0 （5分）
证明如下：
由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直，可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ．
依题意 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有两个交点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，所以△ SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （7分）
SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （9分）
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （10分）
所以 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （11分）
② SKIPIF 1 < 0 时，易得结论成立．
综上所述，结论成立．^ SKIPIF 1 < 0 （12分）
3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 分别为左、右焦点，椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且△ SKIPIF 1 < 0 的面积为1．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．过点 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【解答】（1）解：方法一：由离心率 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 为圆： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交点，
联立方程组解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以柯圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：由椭圆定义； SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
得到： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
设过点 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 方程： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
4．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为3．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 直线方程；（注意用两种方法作答，每种方法4分）
（3）设直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 ，证明：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为定值．
【解答】解：（1） SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为3，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）方法一（点差法），
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
方法二：易知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，不妨设为 SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）证明：易知直线 SKIPIF 1 < 0 斜率恒小于0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （定值）．
5．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的离心率等于 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，是否存在定直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 总在直线 SKIPIF 1 < 0 上？若存在，求出一个满足条件的 SKIPIF 1 < 0 值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1） SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的离心率等于 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
分别化为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．联立解得 SKIPIF 1 < 0 ．猜测常数 SKIPIF 1 < 0 ．
即存在定直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 总在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
证明：当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
联立 SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，要证明三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线．
即证明 SKIPIF 1 < 0 ．即证明 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 成立．
SKIPIF 1 < 0 存在定直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 总在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
综上可知：存在定直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 总在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
6．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
（Ⅰ）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的顶点）．点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
SKIPIF 1 < 0 设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，问是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由；
SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【解答】解： SKIPIF 1 < 0 上顶点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 存在常数 SKIPIF 1 < 0 使得结论成立．
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，此时 SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点， SKIPIF 1 < 0 是右准线与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 上顶点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆另一点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（3）设点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为零的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，试问 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
则， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因此 SKIPIF 1 < 0 为定值，定值为0．
8．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作与坐标轴不垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 ，交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的中垂线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 点坐标；
（2）问： SKIPIF 1 < 0 是否为定值．
【解答】解：（1） SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作与坐标轴不垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 ，交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 由椭圆的第二定义得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入直线 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上的一个动点，且△ SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 作与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，第一象限点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上且满足 SKIPIF 1 < 0 轴，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，探索 SKIPIF 1 < 0 是否为定值，若是求出；若不是说明理由．
【解答】解：（1） SKIPIF 1 < 0 椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，△ SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为定值，定值为 SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 且不与坐标轴垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 截直线 SKIPIF 1 < 0 所得弦长为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 横坐标的取值范围；
（3）试问在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒为定值？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意椭圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，
则满足方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，
消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，△ SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）假设存在，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
结合第（2）问知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ．
11．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，
① SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值及对应的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
②过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 是定值，并求出这个定值．
【解答】解：（1）由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
①设点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时对应的点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
②由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
从而椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，右准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ．
12．已知左焦点为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆过点 SKIPIF 1 < 0 ，过右焦点 SKIPIF 1 < 0 分别作斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的椭圆的动弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求三角形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，
①求证：直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点 SKIPIF 1 < 0 ，并求出定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
②求证：点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离的平方和为定值．
【解答】（1）解：由题意 SKIPIF 1 < 0 ，且右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 所求椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
三角形 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号；
（3）①证明：由题意， SKIPIF 1 < 0 ，令直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程并化简得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ；
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
②证明：直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 距离的平方 SKIPIF 1 < 0 ，到 SKIPIF 1 < 0 距离的平方 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离的平方和为 SKIPIF 1 < 0 ，为定值．
13．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 中，以 SKIPIF 1 < 0 为中点的弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 长轴上的一个动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，证明： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【解答】解：（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ．
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
于是 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 为定值，且为15．
14．如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 是过抛物线 SKIPIF 1 < 0 焦点 SKIPIF 1 < 0 的动弦， SKIPIF 1 < 0 是坐标原点，过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若动弦 SKIPIF 1 < 0 不经过点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与准线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．问：是否存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 在弦 SKIPIF 1 < 0 运动时恒成立？若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，依题意，设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
若有 SKIPIF 1 < 0 成立，则有 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故存在 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 成立．
15．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，焦距为2，过 SKIPIF 1 < 0 作斜率存在且不为零的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且△ SKIPIF 1 < 0 的周长为8．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）已知弦 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义可得△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为△ SKIPIF 1 < 0 的周长为8，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且该圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 也在圆 SKIPIF 1 < 0 上，且弦 SKIPIF 1 < 0 长为8，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（3）直线 SKIPIF 1 < 0 交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为2，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过一个定点，并求出该定点坐标．
（4）直线 SKIPIF 1 < 0 交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为0，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率是定值，并求出该定值．
【解答】解：（1）设圆的标准为 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
故圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）① SKIPIF 1 < 0 不存在时，根据题意，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根据弦 SKIPIF 1 < 0 长为8，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 不存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为2， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在圆上，
SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，无解，舍去，
当直线 SKIPIF 1 < 0 存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ①
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入①
得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，所以过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
（4）设直线 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率是定值，且为 SKIPIF 1 < 0 ．
17．已知圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，试判断直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率互为相反数．
①若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率；
②试问：不论直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率怎样变化，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解答】解：（1）当点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交． SKIPIF 1 < 0 （5分）
（2）①由点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意， SKIPIF 1 < 0 是圆的直径，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
又直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率互为相反数，所以 SKIPIF 1 < 0 （7分）
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （10分）
②记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
将 SKIPIF 1 < 0 代入圆 SKIPIF 1 < 0 的方程得： SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是方程的一个根， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，同理可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （13分）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 不论直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率怎样变化，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率总为定值 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 （16分）
18．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的顶点，且△ SKIPIF 1 < 0 的周长为6．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的射影分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 变化时，证明直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于一定点，并求出该定点的坐标；
（3）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 分别相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试问：当 SKIPIF 1 < 0 变化时，以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【解答】（1）解：当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时，可得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直时，下面证明 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可证 SKIPIF 1 < 0 也过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于一定点，该定点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由题意可得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
即以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆恒过 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 变化时，以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆被 SKIPIF 1 < 0 轴截得的弦长是定值6．
19．已知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 内一个定点，点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与半径 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）给定点 SKIPIF 1 < 0 ，若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与轨迹 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（均不同于点 SKIPIF 1 < 0 ．证明：直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为定值．
【解答】解：（1）如图，由已知，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，长轴长 SKIPIF 1 < 0 的椭圆，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求轨迹 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由已知，直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且不过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，
设 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则△ SKIPIF 1 < 0 成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为定值．