初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.1 二次函数优秀同步测试题

这是一份初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.1 二次函数优秀同步测试题，文件包含53用待定系数法确定二次函数表达式-九年级数学下册同步课堂帮帮帮苏科版原卷版docx、53用待定系数法确定二次函数表达式-九年级数学下册同步课堂帮帮帮苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）；
2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）；
3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）.
例：二次函数化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】A
【解析】．
故选A．
知识点二、待定系数法求二次函数表达式
在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式.
1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解.
2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k.
3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
例：若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为 ．
【解答】y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．
【解析】图象顶点坐标为（0，﹣2），
可以设函数解析式是y＝ax2﹣2，
又∵形状与抛物线y＝﹣3x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝3，
∴这个函数解析式是：y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2，
故答案为y＝3x2﹣2或y＝﹣3x2﹣2．
巩固练习
一．选择题
1．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（ ）
A．﹣6B．﹣6或7C．3D．3或﹣2
【解答】D
【解析】∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，
∴顶点（1，b﹣a）
当a＞0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最小值，
∴b﹣a＝﹣2，
当a＜0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最大值，
∴b﹣a＝3，
故选D．
2．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（ ）
A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0
【解答】C
【解析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：1=a(1-h)2+k8=a(8-h)2+k，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a=-13，故C正确；
若h＝7，则a=-15，故D错误；
故选C．
3．将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x+2）2﹣5C．y＝（x﹣4）2﹣1D．y＝（x+4）2﹣5
【解答】B
【解析】y＝x2+4x﹣1＝y＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，
故选B．
4．用配方法将二次函数y＝x2﹣6x﹣7化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣16
C．y＝（x+3）2+2D．y＝（x+3）2﹣16
【解答】B
【解析】y＝x2﹣6x﹣7＝（x﹣3）2﹣16，
故选B．
5．将二次函数y＝2x2﹣4x+1的右边进行配方，正确的结果是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣1
C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+1）2+1
【解答】C
【解析】提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+1，
配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+1﹣2，
即y＝2（x﹣1）2﹣1．
故选C．
6．抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x﹣3C．y＝x2﹣2x+3D．y＝2x2﹣3x﹣3
【解答】A
【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
故选A．
7．将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2+3D．y＝2（x﹣2）2+3
【解答】C
【解析】提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，
配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，
即y＝2（x﹣1）2+3．
故选C．
8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝33x2B．y＝43x2C．y＝8x2D．y＝9x2
【解答】C
【解析】设正方形的边长为2a，
∴BC＝2a，BE＝a，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE，
∵EG⊥AF，FH⊥CE，
∴四边形EHFG是矩形，
∵∠AEG+∠BEC＝∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠AEG＝∠BCE，
∴tan∠AEG＝tan∠BCE，
∴AGEG=BEBC，
∴EG＝2x，
∴由勾股定理可知：AE=5x，
∴AB＝BC＝25x，
∴CE＝5x，
易证：△AEG≌△CFH，
∴AG＝CH，
∴EH＝EC﹣CH＝4x，
∴y＝EG•EH＝8x2，
故选C．
9．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2．则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
【解答】D
【解析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
∵OC＝2，
∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；
把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．
即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
故选D．
10．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式，正确的是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x+1）2﹣1
C．y＝2（x﹣1）2﹣1D．y＝2（x+1）2+1
【解答】C
【解析】y＝2x2﹣4x+1
＝2（x2﹣2x）+1
＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1
＝2（x﹣1）2﹣2+1
＝2（x﹣1）2﹣1，
故选C．
11．将二次函数y＝﹣x2+4x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2﹣1B．y＝﹣（x+2）2+1
C．y＝﹣（x﹣2）2+1D．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
【解答】D
【解析】y＝﹣x2+4x﹣5，
＝﹣（x2﹣4x+4）﹣1，
＝﹣（x﹣2）2﹣1．
故选D．
12．与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x2B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝x2+1
【解答】D
【解析】与抛物线y＝﹣x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同．
即y＝x2+1，
故选D．
二．填空题
13．已知二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣3），且过点（2，0），则这个二次函数的解析式 ．
【解答】y＝3x2﹣6x
【解析】设此二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3．
∵其图象经过点（2，0），
∴a（2﹣1）2﹣3＝0，
∴a＝3，
∴y＝3（x﹣1）2﹣3，即y＝3x2﹣6x，
故答案为y＝3x2﹣6x．
14．二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），则此二次函数的解析式是 ．
【解答】y＝x2﹣x﹣2．
【解析】∵二次函数图象经过A（﹣1，0），B（2，0），
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），
将C（0，﹣2）代入，得：﹣2a＝﹣2，
解得a＝1，
则抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，
故答案为y＝x2﹣x﹣2．
15．若某抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c，已知a，b为正整数，c为整数，b＞2a，且当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，则抛物线的函数解析式为 ．
【解答】y＝x2+3x﹣2
【解析】抛物线y＝ax2+bx+c中，a，b为正整数，c为整数，b＞2a，
∴抛物线开口向上，对称轴直线x＜﹣1，
∵当﹣1≤x≤1时，有﹣4≤y≤2成立，
∴当x＝﹣1时y＝﹣4，x＝1时y＝2，
∴a-b+c=-4①a+b+c=2②，
②﹣①得2b＝6，
∴b＝3，
∵a，b为正整数，b＞2a，
∴a＝1，
∴1+3+c＝2，解得c＝﹣2，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2+3x﹣2，
故答案为y＝x2+3x﹣2．
16．若二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则此函数的解析式为 ．
【解答】y＝﹣x2+4x﹣3
【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，
将B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得，0＝a+1
∴a＝﹣1，
∴函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1，
所以该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是 ．
【解答】y＝﹣x2+2x+3
【解析】根据题意设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，3）代入，得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
故答案为y＝﹣x2+2x+3．
18．把二次函数y＝x2+4x﹣1变形为y＝a（x+h）2+k的形式为 ．
【解答】y＝（x+2）2﹣5
【解析】y＝x2+4x﹣1＝（x2+4x+4）﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，即y＝（x+2）2﹣5．
故答案是：y＝（x+2）2﹣5．
19．二次函数y＝x2+6x﹣3配方后为y＝（x+3）2+ ．
【解答】（﹣12）
【解析】∵y＝x2+6x﹣3
＝（x2+6x）﹣3
＝（x2+6x+32﹣32）﹣3
＝（x+3）2﹣9﹣3
＝（x+3）2﹣12，
故答案为（﹣12）．
20．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数解析式 ．
【解答】答案不唯一
【解析】∵当x＜1时y随x增大而减小； 当x＞1时y随x增大而增大，
∴对称轴为x＝1，开口向上，
∴符合条件的二次函数可以为：y＝（x﹣1）2，
故答案为y＝（x﹣1）2（答案不唯一）．
21．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式是 ．
【解答】y＝x2-145x+285或y＝x2-223x+443
【解析】当x＝2时，y＝4+2m﹣2m＝4
∴无论m取何值，该抛物线都经过定点H（2，4）
过点A作AB⊥PH于点B，过点B作DC⊥x轴于点C，过点H作HD⊥CD于点D，
∴∠ABH＝∠ACB＝∠BDH＝90°
∴∠ABC+∠DBH＝∠ABC+∠BAC＝90°
∴∠BAC＝∠DBH
∵∠AHP＝45°
∴△ABH是等腰直角三角形，AB＝BH
在△ABC与△BHD中
∠ACB=∠BDH∠BAC=∠HBDAB=BH
∴△ABC≌△BHD（AAS）
∴AC＝BD，BC＝HD
设点B坐标为（a，b）
①若点P在AH左侧，即点B在AH左侧，如图1，
∴AC＝1﹣a，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝2﹣a
∴1-a=4-bb=2-a 解得：a=-12b=52
∴点B（-12，52）
设直线BH解析式为y＝kx+h
∴-12k+h=522k+h=4解得：k=35h=145
∴直线BH：y=35x+145，
∵y＝x2+mx﹣2m，
∴抛物线顶点P为（-m2，-m24-2m），
∵点P（-m2，-m24-2m）在直线BH上
∴35（-m2）+145=-m24-2m
解得：m1=-145，m2＝﹣4
∵m＝﹣4时，P（2，4）与点H重合，要舍去
∴抛物线解析式为y＝x2-145x+285；
②若点P在AH右侧，即点B在AH右侧，如图2，
∴AC＝a﹣1，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝a﹣2
∴a-1=4-bb=a-2 解得：a=72b=32
∴点B（72，32）
设直线BH解析式为y＝kx+h
∴72k+h=322k+h=4解得：k=-53h=223
∴直线BH：y=-53x+223，
∵点P（-m2，-m24-2m）在直线BH上
∴-53（-m2）+223=-m24-2m
解得：m1=-223，m2＝﹣4（舍去）
∴抛物线解析式为y＝x2-223x+443，
综上所述，抛物线解析式为y＝x2-145x+285或y＝x2-223x+443，
故答案为y＝x2-145x+285或y＝x2-223x+443．
22．若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，﹣1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 ．
【解答】y＝x2﹣4x+3
【解析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
将B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2﹣1得，
a＝1，
函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，
展开得y＝x2﹣4x+3．
故答案为y＝x2﹣4x+3．
23．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ．
【解答】答案不唯一
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
令a＝﹣1，
设抛物线的关系式为y＝﹣（x﹣h）2+k，
∵对称轴为直线x＝2，
∴h＝2，
把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k，
解得，k＝7，
∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，
故答案为y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．
24．已知函数y＝﹣x2+2x+c2的部分图象如图所示，则c＝ ，当x 时，y随x的增大而减小．
【解答】c＝±3，当x＞1时，y随x的增大而减小
【解析】图象过（3，0），将（3，0）代入y＝﹣x2+2x+c2，得：
c2＝3，即c＝±3，
根据图象得：对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小．
三．解答题
25．已知二次函数的图象经过（1，﹣1），（0，1），（﹣1，13）三点，求此二次函数的解析式．
【解答】y＝5x2﹣7x+1．
【解析】设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得a+b+c=-1c=1a-b+c=13，解得a=5b=-7c=1，
所以抛物线解析式为y＝5x2﹣7x+1．
26．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S△AOB=12．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求△ABC面积的最大值．
【解答】（1）抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2；（2）△ABC面积的最大值是18．
【解析】（1）由题意得：A（﹣1，0），B（0，a），
∴OA＝1，OB＝﹣a，
∵S△AOB=12．
∴12×1×(-a)=12，
解得，a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2；
（2）∵A（﹣1，0），B（0，﹣1），
∴直线AB为y＝﹣x﹣1，
过C作CD⊥x轴，交直线AB于点D，
设C（x，﹣（x+1）2），则D（x，﹣x﹣1），
∴CD＝﹣（x+1）2+x+1，
∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD=12[﹣（x+1）2+x+1]×1，
∴S△ABC=-12（x+12）2+18，
∵-12＜0，
∴△ABC面积的最大值是18．
27．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m的值．
【解答】（1）y=-34x2+32x+6；（2）m＝3．
【解析】（1））∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴4a-2b+6=016a+4b+6=0，解之，得：a=-34b=32，
∴故抛物线的表达式为：y=-34x2+32x+6；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，
将点B、C的坐标代入得：4k+n=0n=6，解得k=-32n=6，
∴直线BC的表达式为：y=-32x+6，
如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC于点H，
设点D（m，-34m2+32m+6），则点H（m，-32m+6）
∴S△BDC=12HD×OB=12（-34m2+32m+6+32m﹣6）×4＝2（-34m2+3m），
∵34S△ACO=34×12×6×2=92，
即：2（-34m2+3m）=92，
解得：m1＝3，m2＝1（舍去），
故m＝3．
28．已知二次函数y＝x2+bx+2b（b是常数）．
（1）若函数图象过（1，4），求函数解析式；
（2）设函数图象顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数关系式；
（3）若函数图象不经过第三象限时，当﹣5≤x≤3时，函数的最大值和最小值之差是20，求b的值．
【解答】（1）y＝x2+x+2；（2）n=-m2﹣4m；（3）b＝﹣6+45或b＝10﹣45
【解析】（1）将点（1，4）代入y＝x2+bx+2b，
得1+b+2b＝4，
∴b＝1，
∴函数解析式是y＝x2+x+2；
（2）∵y＝x2+bx+2b＝（x+12b）2-14b2+2b，
设函数图象顶点坐标为（m，n），
∴m=-12b，n=-14b2+2b，
∴b＝﹣2m，
∴n=-14×(-2m)2+2(-2m)=-m2﹣4m；
（3）∵y＝（x+12b）2-14b2+2b，
∴对称轴x=-12b，
在y＝x2+bx+2b中，
当x＝﹣5时，y＝25﹣5b+2b＝25﹣3b，
当x＝3时，y＝9+3b+2b＝9+5b，
分两种情况：
①当b≤0时，2b＝c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；
此时y＝x2，当﹣5≤x≤3时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25，此种情况不符合题意；
②当b＞0时，2b＝c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴b2﹣8b≤0，
∴0＜b≤8，
∴﹣4≤x=-b2＜0，
当﹣5≤x≤3时，函数有最小值-14b2+2b，
∵当x＝3和x＝﹣5对称时，对称轴是：x＝﹣1，
∴当﹣4≤-b2＜-1时，函数有最大值9+5b，
∵函数的最大值与最小值之差为20，
∴9+5b﹣（-14b2+2b）＝20，
∴b＝﹣6+45或﹣6﹣45（舍），
当﹣1＜-b2＜0时，函数有最大值25﹣3b；
∵函数的最大值与最小值之差为20，
∴25﹣3b﹣（-14b2+2b）＝20，
∴b＝10﹣45或10+45＞8（舍），
综上所述b＝﹣6+45或b＝10﹣45．
29．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B两点，对称轴为x＝1，与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m（1＜m＜4）．连接BC．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△BCP的面积等于92时，求点P的坐标；
【解答】（1）y=-34x2+32x+6；（2）点P(3，154)
【解析】（1）依题意得4a-2b+c=0-b2a=1c=6
解得a=-34b=32c=6，
故抛物线的解析式为：y=-34x2+32x+6；
（2）A（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点B（4，0），
如图所示，过点P做y轴的平行线交直线BC于点D，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴4k+b=0b=6，
解得k=-32，
∴直线BC的解析式为y=-32x+6，
设点P(m，-34m2+32m+6)，则点D(m，-32m+6)，
S△BPC=12PD×OB=2(-34m2+32m+6+32m-6)=2(-34m2+3m)，
∴2(-34m2+3m)=92，
解得：m1＝1，m2＝3，
又∵1＜m＜4，
∴m＝3，
∴yP=-34×9+32×3+6=154，
∴点P(3，154)．
30．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）
（1）求抛物线的解析式和顶点E坐标；
（2）该抛物线有一点D，使得S△DBC＝S△EBC，求点D的坐标．
【解答】（1）y=45(x-3)2-165，E坐标为(3，-165)；（2）D(3-22，165)或(3+22，165)
【解析】（1）由题意，设y＝a（x﹣1）（x﹣5），
代入A（0，4），得a=45，
∴y=45(x-1)(x-5)，
∴y=45(x-3)2-165，
故顶点E坐标为(3，-165)；
（2）∵S△DBC＝S△EBC，
∴两个三角形在公共边BC上的高相等，
又点E到BC的距离为165，
∴点D到BC的距离也为165，
则45（x﹣3）2-165=165，
解得x＝3±22，
则点D(3-22，165)或(3+22，165)．
31．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）．
（1）求出二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a，b满足4＜a+|b|＜9，求二次函数的表达式；
（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥5时，均有y1≤y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．
【解答】（1）对称轴是x=--4a2a=2；（2）y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；（3）当a＞0时，﹣1≤t≤4
【解析】（1）二次函数图象的对称轴是x=--4a2a=2；
（2）该二次函数的图象经过点（1，3），
∴a﹣4a+3+b＝3，
∴b＝3a，
把b＝3a代入4＜a+|b|＜9，
得4＜a+3|a|＜9．
当a＞0时，4＜4a＜9，则1＜a＜94．
而a为整数，
∴a＝2，则b＝6，
∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+9；
当a＜0时，4＜﹣2a＜9，则-92＜a＜-2．
而a为整数，
∴a＝﹣3或﹣4，
则对应的b＝﹣9或﹣12，
∴二次函数的表达式为y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；
（3）∵当x2≥5时，均有y1≤y2，
二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）的对称轴是x＝2，
∵y1≤y2，
∴①当a＞0时，有|x1﹣2|≤|x2﹣2|，即|x1﹣2|≤x2﹣2
∴2﹣x2≤x1﹣2≤x2﹣2，
∴4﹣x2≤x1≤x2，
∵x2≥5，
∴4﹣x2≤﹣1，
∵该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），
设t≤x1≤t+1，当x2≥5时，均有y1≤y2，
∴t≥-1t+1≤5
∴﹣1≤t≤4．
②当a＜0时，|x1﹣2|≥|x2﹣2|，即|x1﹣2|≥x2﹣2
∴x1﹣2≥x2﹣2，或x1﹣2≤2﹣x2，
∴x1≥x2，或x1≤4﹣x2
∵x2≥5，
∴4﹣x2≤﹣1，
∵该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），
设t≤x1≤t+1，当x2≥5时，均有y1≤y2，
∴t比x2的最大值还大，或t+1≤比4﹣x2的最小值还小，这是不存在的，
故a＜0时，t的值不存在，
综上，当a＞0时，﹣1≤t≤4．
32．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，它的对称轴与x轴交于点F，过点C作CE∥x轴交抛物线于另一点E，连结EF，AC．
（1）求该抛物线的表达式及点E的坐标；
（2）在线段EF上任取点P，连结OP，作点F关于直线OP的对称点G，连结EG和PG，当点G恰好落到y轴上时，求△EGP的面积．
【解答】（1）y＝﹣（x﹣1）2+4，E（2，3）；（2）S△EGP=12S△EGF=12×12×22×2=1
【解析】（1）把A（﹣1，0），C（0，3）两点代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：
-1-b+c=0c=3，解得：b=2c=3，
∴该抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴是：x＝1，
∵CE∥x轴，
∴点C与点E是对称点，
∴E（2，3）；
（2）连接FG，过P作PM⊥x轴于M，过E作EN⊥x轴于N，则PM∥EN，
∵F与G关于OP对称，且G在y轴上，
∴OF＝OG＝1，
∴FG=2，∠OGF＝45°，
∵OC＝3，
∴OG＝3﹣1＝2＝CE，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∴EG＝22，∠CGE＝45°，
∴∠EGF＝90°，
∵E（2，3），F（1，0），
易得EF的解析式为：y＝3x﹣3，
设P（x，3x﹣3），
∵∠POM＝45°，
∴△POM是等腰直角三角形，
∴PM＝OM，即x＝3x﹣3，
x=32，
∴P（32，32），
∴FM＝MN=12，
∵PM∥EN，
∴FP＝EP，
∴S△EGP=12S△EGF=12×12×22×2=1.