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    5.5 用二次函数解决问题-2023-2024学年九年级数学下册同步课堂练习(苏科版)
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    苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题精品课时训练

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    这是一份苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题精品课时训练,文件包含55用二次函数解决问题-九年级数学下册同步课堂帮帮帮苏科版原卷版docx、55用二次函数解决问题-九年级数学下册同步课堂帮帮帮苏科版解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共35页, 欢迎下载使用。

    1.找:找等量,分析题目中的数量关系;
    2.列:列出函数表达式;
    3.求:利用配方法把y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式或利用公式法明确确定最值.
    例:用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形,求长方形的面积y(平方米)和长方形的一边的长x(米)的关系式为( )
    A.y=﹣x2+20xB.y=x2﹣20xC.y=﹣x2+10xD.y=x2﹣10x
    【解答】C
    【解析】∵长方形一边的长度为x米,周长为20米,
    ∴长方形的另外一边的长度为(10﹣x)米,
    则长方形的面积y=x(10﹣x)=﹣x2+10x,
    故选C.
    知识点二、建立二次函数模型解决生活中的抛物线型问题
    常见的问题:求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等,对此类问题要正确地建立模型,选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键,然后用待定系数法求出函数表达式,利用函数性质解决问题.
    例:如图1,是某次比赛中垫球时的动作,若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线,在如图2所示的平面直角坐标系中,已知运动员垫球时(图中点A)离球网的水平距离为5米,排球与地面的垂直距离为0.5米,排球在球网上端0.26米处(图中点B)越过球网(女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米),落地时(图中点C)距球网的水平距离为2.5米,则排球运动路线的函数表达式为( )
    A.B.
    C.D.
    【解答】A
    【解析】方法一:
    0.26+2.24=2.5=(米)
    根据题意和所建立的坐标系可知,A(﹣5,),B(0,),C(,0),
    设排球运动路线的函数关系式为y=ax2+bx+c,将A、B、C的坐标代入得:

    解得,a=,b=,c=,
    ∴排球运动路线的函数关系式为,
    故选:A.
    方法二:排球运动路线的函数关系式为y=ax2+bx+c,由图象可知,a<0,a、b同号,即b<0,c=,
    故选A.
    巩固练习
    一.选择题
    1.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米,若大孔水面宽度为20米,则单个小孔的水面宽度为( )
    A.43米B.52米C.213米D.7米
    2.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=﹣5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( )
    A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20.5m
    3.某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),并在如图所示位置留2m宽的门,已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m.设饲养室长为xm,占地面积为ym2,则y关于x的函数表达式是( )
    A.y=﹣x2+50xB.y=-12x2+24x
    C.y=-12x2+25xD.y=-12x2+26x
    4.向上抛出的小球离地面的高度是其运动时间的二次函数,小甬相隔2秒依次抛出两个小球,假设两个小球出手时离地面高度相同,在各自抛出后1.2秒时达到相同的离地面最大高度.若第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球离地面高度相同,则t=( )
    A.2.2B.2.5C.2.6D.2.7
    5.如图1所示的是山西大同北都桥的照片,桥上面的部分是以抛物线为模型设计而成的,从正面观察该桥的上面部分是一条抛物线,如图2,若AB=60,OC=15,以AB所在直线为x轴,抛物线的顶点C在y轴上建立平面直角坐标系,则此桥上半部分所在抛物线的解析式为( )
    A.y=-160x2+15B.y=-160x2-15
    C.y=-1240x2+15D.y=-1240x2-15
    6.小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”,从最低点开始旋转一圈,她离地面的高度y(米)与旋转时间x(分)之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得出部分数据如表.根据函数模型和数据,可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是( )
    A.32分B.30分C.15分D.13分
    7.记某商品销售单价为x元,商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元,且y是关于x的二次函数.已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时,他每月均可获得销售利润1800元;当商家将此种商品销售单价定为80元时,他每月可获得销售利润1550元,则y与x的函数关系式是( )
    A.y=﹣(x﹣60)2+1825B.y=﹣2(x﹣60)2+1850
    C.y=﹣(x﹣65)2+1900D.y=﹣2(x﹣65)2+2000
    8.如图是抛物线形拱桥,当拱顶高离水面2m时,水面宽4m,水面下降2.5m,水面宽度增加( )
    A.1 mB.2 mC.3 mD.6 m
    9.设等边三角形的边长为x(x>0),面积为y,则y与x的函数关系式是( )
    A.y=12x2B.y=14x2C.y=32x2D.y=34x2
    10.在西宁市中考体考前,某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间满足函数解析式y=-112x2+23x+53,由此可知该生此次实心球训练的成绩为( )
    A.6米B.8米C.10米D.12米
    11.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:
    ①小球在空中经过的路程是40m;
    ②小球运动的时间为6s;
    ③小球抛出3秒时,速度为0;
    ④当t=1.5s时,小球的高度h=30m.
    其中正确的是( )
    A.①④B.①②C.②③④D.②④
    12.某广场有一个小型喷泉,水流从垂直于地面的水管OA喷出,OA长为1.5m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上,某方向上抛物线路径的形状如图所示,落点B到O的距离为3m.建立平面直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系y=ax2+x+c(a≠0),则水流喷出的最大高度为( )
    A.1米B.32米C.2米D.138米
    13.如图是王阿姨晚饭后步行的路程S(单位:m)与时间t(单位:min)的函数图象,其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )
    A.25min~50min,王阿姨步行的路程为800m
    B.线段CD的函数解析式为S=32t+400(25≤t≤50)
    C.5min~20min,王阿姨步行速度由慢到快
    D.曲线段AB的函数解析式为S=﹣3(t﹣20)2+1200(5≤t≤20)
    二.填空题
    14.已知某商品每箱盈利10元.现每天可售出50箱,如果每箱商品每涨价1元,日销售量就减少2箱.设每箱涨价x元时(其中x为正整数),每天的总利润为y元,则y与x之间的关系式为 .
    15.某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为 元.
    16.如图,有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙(墙长为15m),另外三边用长为16m的篱笆围成,则这个苗圃园面积的最大值为 .
    17.如图,有一座抛物线拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m达到警戒水位时,水面CD的宽是10米,建立如图所示的平面直角坐标系,O为坐标原点,如果水位以0.2m/h的速度匀速上涨,那么达到警戒水位后,再过 h水位达到桥拱最高点O.
    18.若把一根长200cm的铁丝分成两部分,分别围成两个正方形,则这两个正方形的面积的和最小值为 .
    19.如图,某大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的解析式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 分钟.
    20.某公司新产品上市30天全部售完,图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系,图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系,则最大日销售利润是 元.
    21.如图,要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端A点安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高,高度为5m,水柱落地处离池中心距离为9m,则水管的长度OA是 m.
    22.抗击疫情,我们每个人都要做到讲卫生,勤洗手,科学消毒,如右图(1)是一瓶消毒洗手液.图(2)是它的示意图,当手按住顶部A下压时,洗手液瞬间从喷口B流出,路线从抛物线经过C,E两点.瓶子上部分是由弧CE和弧FD组成,其圆心分别为D,C.下部分的是矩形CGHD的视图,CG=8cm,GH=10cm,点E到台面GH的距离为14cm,点B到台面的距离为20cm,且B,D,H三点共线.若手心距DH的水平距离为2cm时刚好接洗手液,此时手心距水平台面的高度为 cm.
    23.某旅社有客房144间,每间房的日租金为200元时,每天都客满,经市场调查发现,如果每间房的日租金每增加10元时,则每天客房出租数会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到 元时,客房的日租金总收入最高.
    24.某超市销售某种玩具,进货价为20元.根据市场调查:在一段时间内,销售单价是30元时,销售量是400件,而销售单价每上涨1元,就会少售出10件玩具,超市要完成不少于300件的销售任务,又要获得最大利润,则销售单价应定为 元.
    三.解答题
    25.某经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每降低10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.
    (1)当每吨售价为x元时,月销售量为y吨,求出y与x之间的函数解析式;
    (2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元;
    (3)若在规定每吨售价不得超过320元的情况下,当每吨售价定为多少元时,经销店的月利润最大?
    26.小红经营的网店以销售文具为主,其中一款笔记本进价为每本10元,该网店在试销售期间发现,每周销售数量y(本)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,三对对应值如下表:
    (1)求y与x之间的函数关系式;
    (2)通过与其他网店对比,小红将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15,且x为整数),设每周销售该款笔记本所获利润为w元,当销售单价定为多少元时每周所获利润最大,最大利润是多少元?
    27.网络销售已经成为一种热门的销售方式,为了减少农产品的库存,我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗,为提高大家购买的积极性,直播时,板栗公司每天拿出2000元现金,作为红包发给购买者.已知该板栗的成本价格为6元/kg,每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式:y=﹣100x+5000.经销售发现,销售单价不低于成本价且不高于30元/kg.当每日销售量不低于4000kg时,每千克成本将降低1元,设板栗公司销售该板栗的日获利为w(元).
    (1)请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式;
    (2)当销售单价定为多少时,销售这种板栗日获利最大?最大利润为多少元?
    (3)当w≥40000元时,网络平台将向板栗公司收取a元/kg(a<4)的相关费用,若此时日获利的最大值为42100元,求a的值.
    28.如图,直线y=12x+c与x轴交于点B(4,0),与y轴交于点C,抛物线y=12x2+bx+c经过点B,C,与x轴的另一个交点为A.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)点P是直线BC下方抛物线上一动点,求四边形ACPB面积最大时点P的坐标;
    (3)若M是抛物线上一点,且∠MCB=∠ABC,请直接写出点M的坐标.
    29.某一农家计划利用已有的一堵长为8m的墙,用篱笆圈成一个面积为12m2的矩形ABCD花园,现在可用的篱笆总长为11m.
    (1)若设AB=x,BC=y.请写出y关于x的函数表达式;
    (2)若要使11m的篱笆全部用完,能否围成面积为15m2的花园?若能,请求出长和宽;若不能,请说明理由;
    (3)若要使11m的篱笆全部用完,请写出y关于x的第二种函数解析式.请在坐标系中画出两个函数的图象,观察图象,满足条件的围法有几种?请说明理由.
    30.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC=3.
    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
    (2)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当△PBC面积最大时,求点P的坐标;
    (3)若点Q为线段OC上的一动点,问:AQ+12QC是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
    x(分)

    13.5
    14.7
    16.0

    y(米)

    156.25
    159.85
    158.33

    销售单价x(元)
    12
    14
    16
    每周的销售量y(本)
    500
    400
    300
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