高考数学一轮复习课时分层作业61离散型随机变量的分布列和数字特征含答案

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1．C [∵E(X)＝13，∴由随机变量X的分布列得：
16+a+b=1，-16+b=13， 解得a=13，b=12，
∴D(X)＝-1-132×16 +0-132×13 +1-132×12＝59，
∴D(3X－2)＝9D(X)＝9×59＝5.故选C.]
2．D [由题意可知取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝1C32＝13，P(X＝3)＝C21C32＝23，所以E(X)＝2×13＋3×23＝83.]
3．B [试验次数ξ的可能取值为ξ＝1，2，3，
P(ξ＝1)＝23，P(ξ＝2)＝13×23＝29，
P(ξ＝3)＝13×13×23+13＝19.
所以ξ的分布列为
所以E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.]
4．B [对于A，当p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4时，随机变量X1的分布列为
E(X1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D(X1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以DX1＝0.65.
对于B，当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，随机变量X2的分布列为
E(X2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D(X2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，
所以DX2＝1.85.
对于C，当p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3时，随机变量X3的分布列为
E(X3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D(X3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以DX3＝1.05.
对于D，当p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2时，随机变量X4的分布列为
E(X4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D(X4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，
所以DX4＝1.45.所以B中的标准差最大．]
5．BCD [由分布列的性质得m＋n＋m＝2m＋n＝1，PX=1＝n，PX≠1＝2m，
当m＝14，n＝12时，PX=1＝PX≠1，故选项A错误；
因为EX＝n＋2m＝1，故选项B正确；
因为m，n均为正数，所以1＝n＋2m≥22mn，即mn≤18，当且仅当n＝2m＝12时，等号成立，故选项C正确；
由n＝1－2m>0，得06．BD [由题意可得，目标没有被击中的概率为143＝164，所以目标被击中的概率为1－164＝6364，A错误；
易知该射手每次射击未命中的概率为14，
X的取值范围为{1，2，3}，所以PX=1＝34，
PX=2＝14×34＝316，PX=3＝14×14＝116，
所以X的分布列为
EX＝1×34＋2×316＋3×116＝2116，
DX＝1-21162×34 +2-21162×316 +3-21162×116＝87256，BD正确，C错误．
故选BD.]
7．4.4 [由题意可得：ξ可能取值为2，4，6，
Pξ=2＝0.4×0.4＝0.16，Pξ=4＝C21×0.6×0.4＝0.48，
Pξ=6＝0.6×0.6＝0.36，
所以Eξ＝2×0.16＋4×0.48＋6×0.36＝4.4.]
8． 1635 127 [由题意知P(ξ＝2)＝C21C42+C22C41C73＝1635.
ξ的所有可能取值为1，2，3，4.
P(ξ＝1)＝C62C73＝1535＝37，P(ξ＝2)＝1635，P(ξ＝3)＝C32C73＝335，P(ξ＝4)＝135，
∴E(ξ)＝1×37＋2×1635＋3×335＋4×135＝6035＝127.]
9．1 1 [ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝2A33＝13；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ＝1)＝C31A33＝12；
ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝1A33＝16.
所以ξ的分布列为
E(ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1.
D(ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.]
10．[解] (1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
(2)由(1)可知当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
则Y的期望为E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为E(Y)＞E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
11．[解] (1)记事件A为“题目答对了”，事件B为“知道正确答案”，则P(AB)＝1，P(AB)＝14，
P(B)＝P(B)＝12.
由全概率公式：P(A)＝P(B)P(AB)＋P(B)P(AB)＝12×1＋12×14＝58，
所求概率为P(BA)＝PBAPA＝PBPABPA＝12×158＝45.
(2)设事件Ai表示小明选择了i个选项，i＝1，2，3，C表示选到的选项都是正确的．
则P(X＝2)＝PA1C＝P(A1)P(CA1)＝12×12＝14，P(X＝5)＝PA2C＝P(A2)P(CA2)＝13×1C42＝118，P(X＝0)＝1－P(X＝2)－P(X＝5)＝2536.
(ⅰ)P(X＝0)＝2536.
(ⅱ)随机变量X的分布列为
EX＝0×2536＋2×14＋5×118＝79.
12．B [ξ1可能的取值为0，1，2；ξ2可能的取值为0，1，
Pξ1=0＝49，Pξ1=2＝19，Pξ1=1＝1－49-19＝49，
故E(ξ1)＝23，D(ξ1)＝49.
Pξ2=0＝2×13×2＝13，Pξ2=1＝2×1×23×2＝23，
故E(ξ2)＝23，D(ξ2)＝29，
故E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)．故选B.]
13．ABD [根据分布列的性质得a＋b2+b2＝1，即a＋b＝1，故A正确；根据期望公式得E(ξ)＝0×a＋1×b2＋2×b2＝3b2，故B正确；根据方差公式得D(ξ)＝0-3b22×a＋1-3b22×b2 +2-3b22×b2＝－94b2＋52b＝－94×b-592＋2536，因为0＜b＜1，所以b＝59时，D(ξ)取得最大值2536，故C不正确，D正确．]
14．[解] 若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150.则X1的分布列为
∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．
若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300，0.则X2的分布列为：
∴E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．
D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
15．AD [因为f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，
则g(x)＝f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2＋…＋ipixi-1＋…＋npnxn-1，
E(X)＝p1＋2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn，
令x＝1，则E(X)＝p1＋2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn＝g(1)，故选项A正确，选项C错误；
连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X，则X的分布列为
f1(x)＝116x2＋216x3＋316x4＋416x5＋316x6＋216x7＋116x8，
f1(2)＝116×22＋216×23＋316×24＋416×25＋316×26＋216×27＋116×28＝2254.故选项B错误，选项D正确．故选AD.]
ξ
1
2
3
P
23
29
19
X1
1
2
3
4
P
0.1
0.4
0.4
0.1
X2
1
2
3
4
P
0.4
0.1
0.1
0.4
X3
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.3
0.2
X4
1
2
3
4
P
0.3
0.2
0.2
0.3
X
1
2
3
P
34
316
116
ξ
0
1
3
P
13
12
16
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
X
0
2
5
P
2536
14
118
X1
300
－150
P
79
29
X2
500
－300
0
P
35
13
115
X
2
3
4
5
6
7
8
P
116
216
316
416
316
216
116