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离散型随机变量的分布列及数字特征课件-2024届高考数学一轮复习
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这是一份离散型随机变量的分布列及数字特征课件-2024届高考数学一轮复习，共41页。PPT课件主要包含了平均水平，偏离程度，常用结论，ABD，答案不唯一，ABC，拓展探究，对点训练，对接高考等内容，欢迎下载使用。
【课时目标】 了解离散型随机变量的概念，会求离散型随机变量的分 布列；理解离散型随机变量的均值、方差、标准差的意义，会用离散型 随机变量的均值、方差解决有关实际问题.【考情概述】 离散型随机变量的分布列及数字特征是解决情境中的概 率问题的重要工具之一，常以解答题的形式进行考查，属于高频考点， 难度中等.
知识梳理1. 随机变量（1） 随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一 的实数 X （ω）与之对应，我们称 X 为随机变量.（2） 离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量.（3） 随机变量的线性关系：若 X 是随机变量， Y ＝ aX ＋ b ， a ， b 是常 数，则 Y 也是随机变量.
2. 离散型随机变量的分布列及性质（1） 一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 x 1， x 2，…， xn ，我 们称 X 取每一个值 xi 的概率 P （ X ＝ xi ）＝ pi ， i ＝1，2，…， n 为 X 的 概率分布列，简称分布列.以表格的形式表示如下：
（2） 离散型随机变量的分布列的性质
① pi （ i ＝1，2，…， n ）的取值范围是 ；
② p 1＋ p 2＋…＋ pn ＝ .
3. 离散型随机变量的数字特征
说明：（1） 随机变量的均值是常数；样本的平均数是变量，不确定.
（2） 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的 偏离程度，反映了随机变量的取值的离散程度.方差或标准差越小，随 机变量的取值越集中.
E （ X ））2 pi
1. 均值与方差的性质
（1） E （ aX ＋ b ）＝ （ a ， b 为常数）.
（2） D （ aX ＋ b ）＝ （ a ， b 为常数）.
（3） E （ X 1＋ X 2）＝ .
2. 均值与方差的关系
aE （ X ）＋ b
a 2 D （ X ）
E （ X 1）＋ E （ X 2）
回归课本1. 判断：（1） （RA选三P60练习第2（1）题改编）抛掷甲、乙2颗质地均匀的骰 子，“所得点数之和为3”表示1个样本点，即“一颗的点数为1，一颗 的点数为2”.（ ✕ ）（2） （RA选三P58性质改编）在离散型随机变量的分布列中，随机变 量取各个值时的概率之和可以小于1.（ ✕ ）（3） （RA选三P64性质改编） 随机变量的均值与样本的均值一定相同. （ ✕ ）（4） （RA选三P68定义改编）随机变量的方差越大，则随机变量的取 值越分散.（ √ ）
2. （RA选三P61习题7.2第4题改编）某位射箭运动员命中目标箭靶的环 数 X 的分布列如下表：
如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是 （ C ）
3. （RA选三P71习题7.3第7题改编）甲、乙两种品牌的手表，它们的日 走时误差分别为 X 和 Y （单位：s），其分布列如下表：甲品牌手表的日走时误差分布列
下列说法正确的是（ A ）
乙品牌手表的日走时误差分布列
4. （多选）（RA选三P71习题7.3第3题改编）某种果树的产量 X （单 位：千克）的分布列为 P （ X ＝0）＝0.2， P （ X ＝3）＝ a ， P （ X ＝ 6）＝ b .已知 E （ X ）＝3，则下列说法正确的是（ ABD ）
5. （RA选三P71习题7.3第4题改编）在单项选择题中，每道题有四个选 项，其中仅有一个选项正确.从四个选项中随机选一个，选对的概率为 0.25.若选对得分 X ＝ ，选错得分 Y ＝ ，则随机选择时，每 题得分的均值为0. （答案不唯一）
考向2 数字特征的计算例2 （1） 已知随机变量 X 的分布列如下表：
则随着 b 的增大，下列说法正确的是（ B ）
（2） （多选）（2022·菏泽模考）已知离散型随机变量 X 的分布列 如下表：
若离散型随机变量 Y 满足 Y ＝2 X ＋1，则下列结果正确的有 （ ABC ）
设 E （ X ）＝μ， a 是不等于μ的常数，探究 X 相对于μ的偏离程度与 X 相 对于 a 的偏离程度的大小，并说明结论的意义.
解：设随机变量 X 的所有可能取值为 x 1， x 2，…， xn ，对应的概率分 别为 p 1， p 2，…， pn ，则 X 相对于μ的偏离程度 D 1＝（ x 1－μ）2 p 1＋ （ x 2－μ）2 p 2＋…＋（ xn －μ）2 pn .因为μ≠ a ，不妨设μ＝ a ＋ t （ t ≠0），
所以 X 相对于 a 的偏离程度 D 2＝（ x 1－ a ）2 p 1＋（ x 2－ a ）2 p 2＋…＋ （ xn － a ）2 pn ＝（ x 1－μ＋ t ）2 p 1＋（ x 2－μ＋ t ）2 p 2＋…＋（ xn －μ ＋ t ）2 pn ＝[（ x 1－μ）2 p 1＋（ x 2－μ）2 p 2＋…＋（ xn －μ）2 pn ]＋[2 t （ x 1－μ） p 1＋2 t （ x 2－μ） p 2＋…＋2 t （ xn －μ） pn ]＋[ t 2 p 1＋ t 2 p 2 ＋…＋ t 2 pn ]＝ D 1＋2 t [（ x 1－μ） p 1＋（ x 2－μ） p 2＋…＋（ xn －μ） pn ]＋ t 2＝ D 1＋2 t [ x 1 p 1＋ x 2 p 2＋…＋ xnpn －μ（ p 1＋ p 2＋…＋ pn ）]＋ t 2＝ D 1＋2 t （μ－μ）＋ t 2＝ D 1＋ t 2＞ D 1.所以 X 相对于 a 的偏离程度大 于 X 相对于μ的偏离程度.这个结论的意义是说明了 X 相对于μ的偏离程 度（即 X 的方差）是 X 相对于任意常数 a 的偏离程度中最小的，从而说 明了方差能很好地反映一组数据的集中与离散程度.
1. （2024·温州模考）已知离散型随机变量 X 的分布列如下表：
则 D （ X ）等于（ D ）
解：由分布列，可得 E （ X ）＝0.4 a ＋0.2（ a ＋1）＋0.4（ a ＋2）＝ a ＋1，所以 D （ X ）＝0.4（ a － a －1）2＋0.2（ a ＋1－ a －1）2＋0.4（ a ＋2－ a －1）2＝0.8.
考点二 情境问题中的分布列例3 某地发现6名疑似病例中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定 该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感 染.拟采用两种方案检测：方案一：将这6名疑似病例的血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.方案二：将这6名疑似病例随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清 混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该 组中的每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性， 则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.
分别求出两种方案中检测次数的分布列.
（2） 两个回合后，用 X 表示A箱子中小球的个数，用 Y 表示B箱子中小 球的个数，求 X － Y 的分布列.
3. （2022·南通模考）某知识竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个 选项，并有多个选项符合题目要求.每题的评分标准如下：全部选对得 10分，部分选对得4分，有选错得0分.已知其中一道题设置了2个正确选项，另一道题设置了3个正确选项.由 于准备不充分，小明准备从以下两种方案中选择一种进行答题.方案一：每道题都随机选1个选项；方案二：每道题都随机选2个选项.为使得得分的期望最大，小明应选择哪一种方案？请说明理由.
（2022·北京卷）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比 赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测 获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并 整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1） 估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2） 设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X 的数学期望 E （ X ）；
【课时目标】 了解离散型随机变量的概念，会求离散型随机变量的分 布列；理解离散型随机变量的均值、方差、标准差的意义，会用离散型 随机变量的均值、方差解决有关实际问题.【考情概述】 离散型随机变量的分布列及数字特征是解决情境中的概 率问题的重要工具之一，常以解答题的形式进行考查，属于高频考点， 难度中等.
知识梳理1. 随机变量（1） 随机变量：对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一 的实数 X （ω）与之对应，我们称 X 为随机变量.（2） 离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量.（3） 随机变量的线性关系：若 X 是随机变量， Y ＝ aX ＋ b ， a ， b 是常 数，则 Y 也是随机变量.
2. 离散型随机变量的分布列及性质（1） 一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 x 1， x 2，…， xn ，我 们称 X 取每一个值 xi 的概率 P （ X ＝ xi ）＝ pi ， i ＝1，2，…， n 为 X 的 概率分布列，简称分布列.以表格的形式表示如下：
（2） 离散型随机变量的分布列的性质
① pi （ i ＝1，2，…， n ）的取值范围是 ；
② p 1＋ p 2＋…＋ pn ＝ .
3. 离散型随机变量的数字特征
说明：（1） 随机变量的均值是常数；样本的平均数是变量，不确定.
（2） 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的 偏离程度，反映了随机变量的取值的离散程度.方差或标准差越小，随 机变量的取值越集中.
E （ X ））2 pi
1. 均值与方差的性质
（1） E （ aX ＋ b ）＝ （ a ， b 为常数）.
（2） D （ aX ＋ b ）＝ （ a ， b 为常数）.
（3） E （ X 1＋ X 2）＝ .
2. 均值与方差的关系
aE （ X ）＋ b
a 2 D （ X ）
E （ X 1）＋ E （ X 2）
回归课本1. 判断：（1） （RA选三P60练习第2（1）题改编）抛掷甲、乙2颗质地均匀的骰 子，“所得点数之和为3”表示1个样本点，即“一颗的点数为1，一颗 的点数为2”.（ ✕ ）（2） （RA选三P58性质改编）在离散型随机变量的分布列中，随机变 量取各个值时的概率之和可以小于1.（ ✕ ）（3） （RA选三P64性质改编） 随机变量的均值与样本的均值一定相同. （ ✕ ）（4） （RA选三P68定义改编）随机变量的方差越大，则随机变量的取 值越分散.（ √ ）
2. （RA选三P61习题7.2第4题改编）某位射箭运动员命中目标箭靶的环 数 X 的分布列如下表：
如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是 （ C ）
3. （RA选三P71习题7.3第7题改编）甲、乙两种品牌的手表，它们的日 走时误差分别为 X 和 Y （单位：s），其分布列如下表：甲品牌手表的日走时误差分布列
下列说法正确的是（ A ）
乙品牌手表的日走时误差分布列
4. （多选）（RA选三P71习题7.3第3题改编）某种果树的产量 X （单 位：千克）的分布列为 P （ X ＝0）＝0.2， P （ X ＝3）＝ a ， P （ X ＝ 6）＝ b .已知 E （ X ）＝3，则下列说法正确的是（ ABD ）
5. （RA选三P71习题7.3第4题改编）在单项选择题中，每道题有四个选 项，其中仅有一个选项正确.从四个选项中随机选一个，选对的概率为 0.25.若选对得分 X ＝ ，选错得分 Y ＝ ，则随机选择时，每 题得分的均值为0. （答案不唯一）
考向2 数字特征的计算例2 （1） 已知随机变量 X 的分布列如下表：
则随着 b 的增大，下列说法正确的是（ B ）
（2） （多选）（2022·菏泽模考）已知离散型随机变量 X 的分布列 如下表：
若离散型随机变量 Y 满足 Y ＝2 X ＋1，则下列结果正确的有 （ ABC ）
设 E （ X ）＝μ， a 是不等于μ的常数，探究 X 相对于μ的偏离程度与 X 相 对于 a 的偏离程度的大小，并说明结论的意义.
解：设随机变量 X 的所有可能取值为 x 1， x 2，…， xn ，对应的概率分 别为 p 1， p 2，…， pn ，则 X 相对于μ的偏离程度 D 1＝（ x 1－μ）2 p 1＋ （ x 2－μ）2 p 2＋…＋（ xn －μ）2 pn .因为μ≠ a ，不妨设μ＝ a ＋ t （ t ≠0），
所以 X 相对于 a 的偏离程度 D 2＝（ x 1－ a ）2 p 1＋（ x 2－ a ）2 p 2＋…＋ （ xn － a ）2 pn ＝（ x 1－μ＋ t ）2 p 1＋（ x 2－μ＋ t ）2 p 2＋…＋（ xn －μ ＋ t ）2 pn ＝[（ x 1－μ）2 p 1＋（ x 2－μ）2 p 2＋…＋（ xn －μ）2 pn ]＋[2 t （ x 1－μ） p 1＋2 t （ x 2－μ） p 2＋…＋2 t （ xn －μ） pn ]＋[ t 2 p 1＋ t 2 p 2 ＋…＋ t 2 pn ]＝ D 1＋2 t [（ x 1－μ） p 1＋（ x 2－μ） p 2＋…＋（ xn －μ） pn ]＋ t 2＝ D 1＋2 t [ x 1 p 1＋ x 2 p 2＋…＋ xnpn －μ（ p 1＋ p 2＋…＋ pn ）]＋ t 2＝ D 1＋2 t （μ－μ）＋ t 2＝ D 1＋ t 2＞ D 1.所以 X 相对于 a 的偏离程度大 于 X 相对于μ的偏离程度.这个结论的意义是说明了 X 相对于μ的偏离程 度（即 X 的方差）是 X 相对于任意常数 a 的偏离程度中最小的，从而说 明了方差能很好地反映一组数据的集中与离散程度.
1. （2024·温州模考）已知离散型随机变量 X 的分布列如下表：
则 D （ X ）等于（ D ）
解：由分布列，可得 E （ X ）＝0.4 a ＋0.2（ a ＋1）＋0.4（ a ＋2）＝ a ＋1，所以 D （ X ）＝0.4（ a － a －1）2＋0.2（ a ＋1－ a －1）2＋0.4（ a ＋2－ a －1）2＝0.8.
考点二 情境问题中的分布列例3 某地发现6名疑似病例中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定 该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感 染.拟采用两种方案检测：方案一：将这6名疑似病例的血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.方案二：将这6名疑似病例随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清 混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该 组中的每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性， 则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.
分别求出两种方案中检测次数的分布列.
（2） 两个回合后，用 X 表示A箱子中小球的个数，用 Y 表示B箱子中小 球的个数，求 X － Y 的分布列.
3. （2022·南通模考）某知识竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个 选项，并有多个选项符合题目要求.每题的评分标准如下：全部选对得 10分，部分选对得4分，有选错得0分.已知其中一道题设置了2个正确选项，另一道题设置了3个正确选项.由 于准备不充分，小明准备从以下两种方案中选择一种进行答题.方案一：每道题都随机选1个选项；方案二：每道题都随机选2个选项.为使得得分的期望最大，小明应选择哪一种方案？请说明理由.
（2022·北京卷）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比 赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测 获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并 整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（1） 估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2） 设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X 的数学期望 E （ X ）；
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