新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案61第十章计数原理概率随机变量及其分布第五讲离散型随机变量的分布列数字特征及超几何分布

练案[61]　第五讲　离散型随机变量的分布列、数字特征及超几何分布

A组基础巩固

一、单选题

1．设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，则E(X)＝( D )

A．0.3  B．0.4

C．0.6  D．0.7

[解析]　由题意得P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，

因为P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，

所以解得P(X＝1)＝0.7，P(X＝0)＝0.3，

所以E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7，故选D.

2．(2023·浙江百校联考)若某随机事件的概率分布列满足P(X＝i)＝a·(i＝1,2,3,4)，则D(X)＝( D )

A．3  B．10

C．9  D．1

[解析]　由分布列的性质知a＝1，

∴a＝1，∴X的分布列为

∴E(X)＝＋＋＋＝3，

∴D(X)＝(3－1)2×＋(3－2)2×＋(4－3)2×＝1，故选D.

3．(2022·江西赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3球，以X表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量X的分布列为( C )

A.

B.

C.

D.

[解析]　随机变量X的可能取值为1,2,3，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝.故选C.

4．(2023·河南五市联考)某一随机变量X的概率分布如下表，且n－m＝0.1，则P(X≤2)＝( C )

A.0.3  B．0.4

C．0.6  D．0.7

[解析]　由题意可得：

解得

故P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.3＋0.2＝0.6，故选C.

5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是( C )

A．P(X＝2)  B．P(X≤2)

C．P(X＝4)  D．P(X≤4)

[解析]　X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4.故选C.

6．(2022·山东潍坊模拟)已知甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经考察一段时间，X，Y的分布列分别是

据此判定( A )

A．甲比乙质量好  B．乙比甲质量好

C．甲与乙质量相同  D．无法判定

[解析]　E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙质量好．

7．(2023·辽宁鞍山一中模拟)冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为( B )

A．1  B．2

C．3  D．1.5 

[解析]　设小华收到的“冰墩墩”的个数为ξ，则ξ＝0,1,2,3.

则P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；

P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝.

所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.故选B.

二、多选题

8．(2023·福建福州质检)一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是( ACD )

A．X的所有可能取值是3,4,5

B．X最有可能的取值是5

C．X等于3的概率为

D．X的数学期望是

[解析]　记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，任取3个球的所有可能是：1A2B,2A1B,3A；

A使用后成为B，故X的所有可能取值是3,4,5；

P(X＝3)＝＝＝，

P(X＝4)＝＝，

P(X＝5)＝＝，

∴X最有可能的取值是4，

E(X)＝3×＋4×＋5×＝.

∴ACD正确．

9．在一个袋中装有大小相同的4个黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是( ACD )

A．随机变量X服从超几何分布

B．随机变量X服从二项分布

C．P(X＝2)＝

D．E(X)＝

[解析]　由题设描述知：随机变量X服从h(10,3,6)超几何分布，故A正确，B错误；

P(X＝2)＝＝，故C正确；

E(X)＝n·＝3×＝，故D正确．

故选ACD.

10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列说法正确的是( BC )

A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是

B．从中任取3球，恰有两个白球的概率是

C．从中任取3球，取得白球个数X的数学期望是1

D．从中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率为

[解析]　从中任取3球，恰有一个白球的概率P＝＝，故A错误；

从中任取3球，恰有两个白球的概率P＝＝，故B正确；

从中任取3球，全为红球的概率P＝＝，

故X的分布列为：

故E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，故C正确；

从中不放回地取3次球，每次任取1球，

则第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率P＝×＋×＝，故D错误．

故选BC.

三、填空题

11．(2023·吉林质检)设随机变量X的概率分布列为

则X的数学期望的最小值是 　.

[解析]　E(X)＝0×＋1×＋2×＝2－p，

又∵1>≥0,1≥1－≥0，∴0≤p≤.

∴当p＝时，E(X)的值最小，E(X)＝2－＝.

12．袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数X的数学期望为 　.

[解析]　由题意得X的所有可能值为1,2,3，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝，

∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

四、解答题

13．(2021·北京高考真题)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．

(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；

②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；

(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．

[解析]　(1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；

②由题意，X可以取20,30，

P(X＝20)＝，P(X＝30)＝1－＝，

则X的分布列：

所以E(X)＝20×＋30×＝.

(2)由题意，Y可以取25,30，

两名感染者在同一组的概率为P1＝＝，

不在同一组的概率为P2＝，

则E(Y)＝25×＋30×＝>E(X)．

14．(2023·广西省摸底)每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1 000名高一学生进行在线调查，得到了这1 000名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[0,2]、(2,4]、(4,6]、(6,8]、(8,10]、(10,12]、(12,14]、(14,16]、(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值；

(2)为进一步了解这1 000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(8,10]，(10,12]两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(10,12]内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．

[解析]　(1)由频率分布直方图得：2×(0.02＋0.03＋0.05＋0.05＋0.15＋a＋0.05＋0.04＋0.01)＝1.解得a＝0.10.

(2)由频率分布直方图得：这1 000名学生中日平均阅读时间在(8,10]、(10,12]两组内的学生人数之比为0.150.1＝32，

若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(8,10]内的学生中抽取×10＝6(人)，

在日平均阅读时间在(10,12]内的学生中抽取4人，

现从这10人中随机抽取3人，则X服从超几何分布，其可能取值为0,1,2,3，

P(X＝0)＝＝＝，

P(X＝1)＝＝＝，

P(X＝2)＝＝＝，

P(X＝3)＝＝＝，

∴X的分布列为：

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

15．(2023·广东惠州调研)教育部《关于进一步加强学校体育工作的若干意见》中指出：提高学生的体质健康水平应作为落实教育规划纲要和办好人民满意教育的重要任务．惠州市多所中小学校响应教育部的号召，增设了多项体育课程．为了解全市中小学生在排球和足球这两项体育运动的参与情况，在全市中小学校中随机抽取了10所学校(记为A、B、C、…、J)10所学校的参与人数统计图如下：

(1)若从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与足球运动人数都超过40人的概率；

(2)现有一名排球教练在这10所学校中随机选取3所学校进行指导，记X为教练选中参加排球人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望．

[解析]　(1)参与足球人数超过40人的学校共4所，记“选出的两所学校参与足球人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校，可得基本事件总数为C.

随机选择2所学校参与足球运动人数都超过40人的共C＝6种，

所以P(S)＝＝，

所以选出的两所学校参与足球人数都超过40人的概率为.

(2)参加排球人数在30人以上的学校共4所，

X的所有可能取值为0,1,2,3，

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝.

X的分布列为：

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

B组能力提升

1．(2022·广东期末)随机变量X的分布列如表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝( B )

A.  B．

C．  D．不确定

[解析]　因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，又有a＋b＋c＝1，解得a＋c＝.

由分布列可得：P(|X|＝1)＝a＋c＝.故选B.

2．(多选题)(2023·山东质检二)已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表：

则下列结论一定成立的是( BCD )

A．P(X＝1)<P(X≠1)  B．E(X)＝1

C．mn≤  D．D(X＋1)<1

[解析]　由分布列的性质得m＋n＋m＝2m＋n＝1，P(X＝1)＝n，P(X≠1)＝2m，当m＝，n＝时，P(X＝1)＝P(X≠1)，故选项A错误；因为E(X)＝n＋2m＝1，故选项B正确；因为m，n均为正数，所以1＝n＋2m≥2，即mn≤，当且仅当n＝2m＝时，等号成立，故选项C正确；由n＝1－2m>0，得0<m<.又E(X)＝1，所以D(X＋1)＝D(X)＝m＋m＝2m<1，故选项D正确．

3．(2021·浙江卷)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝_1__，E(X)＝ 　.

[解析]　P(X＝2)＝＝＝⇒C＝36，所以m＋n＋4＝9，P(一红一黄)＝＝＝＝⇒m＝3，所以n＝2，则m－n＝1.

解法一：由于P(X＝2)＝，P(X＝1)＝＝＝，

P(X＝0)＝＝＝，

∴E(X)＝×2＋×1＋×0＝＋＝.

解法二：E(X)＝2×＝.

4．(2023·河北邯郸摸底)暑假期间，学生居家生活和学习，教育部门特别强调，身体健康与学习成绩同样重要．某校对300名学生的锻炼时间进行调查，数据如表：

将学生日均锻炼的时间在[40,60]的学生评价为“体育合格”．

(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“体育合格”与性别有关.

(2)从上述体育合格的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间较多的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

参考公式：x 2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

参考数据：

　　[解析]　(1)

x 2的观测值＝≈9.2<10.828＝x0.001，

所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“体育合格”与性别有关．

(2)易知，所抽取的9名学生中，男生为9×＝6名，女生为3名．

X可取0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝.

所以X的分布列为：

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.

5．(2023·湖北新高考协作体联考)袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：

(1)P(ξ＝2)的值；

(2)随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

[解析]　(1)由已知可得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有CC种，事件ξ＝2表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，故事件ξ＝2包含CC＋CC种取法，

所以P(ξ＝2)＝＝.

(2)随机变量ξ可取的值为2,3,4.

由(1)知P(ξ＝2)＝；

P(ξ＝3)＝＝；

P(ξ＝4)＝＝.

得随机变量ξ的概率分布列为：

随机变量ξ的数学期望为：

E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝2.5.